Calor Placa Anillo (18B)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación del calor en una placa en forma de anillo (Grupo 18) |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2013-14 |
| Autores | • Arantxa Abascal Colomar • Patricia Fernández Aibar • Paula Lacanal Cuadrado • David Ortiz Liriano • Álvaro Pintor Sousa • Alberto Rodríguez Fernández |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
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Contenido
1 Introducción
Consideramos una placa plana en forma de anillo, comprendida entre los radios \(\rho=1\) y \(\rho=6\), dividida en diferentes franjas, cuya temperatura oscila en dirección radial.
Disponemos de la función que determina la temperatura inicial de la placa, para las diferentes franjas en las que se divide:
\[
\begin{array}{c} \\u(\rho,0)=\begin{cases} 100(\rho - 1) && \text{ si } \rho \epsilon (1,2) \\ 100 && \text{ si } \rho \epsilon (2,5) \\ 90(6-\rho) && \text{ si } \rho \epsilon (5,6) \end{cases} \end{array}
\]
Los extremos de la placa están en contacto con objetos que, por alguna razón física, hacen que el límite interior de la placa se encuentre a 0ºC, mientras que el exterior está, por un motivo similar, a 10ºC. Estas temperaturas se mantienen constantes con el paso del tiempo.
Este problema se resolverá en coordenadas polares por la facilidad práctica que supone.
Analizando la situación, vemos que es un problema que se puede representar por la ecuación del calor y su distribución a lo largo del tiempo para las diferentes franjas representadas anteriormente.
OBSERVACIÓN: La temperatura no varía en función de \(\theta\) (siendo \(\theta\) el ángulo girado con respecto al centro de coordenadas), por lo que simularemos este problema al de una varilla cuya función de temperatura depende del tiempo y de la distancia \(\rho\) al extremo izquierdo \(\rho=1\).
Considerando u(\(\rho\),t) a la función que determinará el calor de la placa, las condiciones iniciales y de frontera, serán las siguientes:
- Para \(\rho\)= 1, tenemos una temperatura constante de 0ºC
- Para \(\rho\) = 6, tenemos una temperatura constante de 10ºC
2 Planteamiento del sistema de ecuaciones
Suponemos que la temperatura u de la placa en forma de anillo depende solo de la cordenada radial \(\rho\) y del tiempo t es decir \[
u = u(\rho,t) \]
y que satisface la ecuacion del calor \[
u_t - \Delta u =0 \]
El sistema de ecuaciones que satisface \( u = u(\rho,t)\) es el siguiente: \[
\begin{array}{c} u_t - u_{\rho\rho} =0 & \rho \epsilon (1,6)& y & t>0 \\ u(1,t)=0 , u(6,t)=10 & t>0 \\u(\rho,0)=\begin{cases} 100(\rho - 1) && \text{ si } \rho \epsilon (1,2) \\ 100 && \text{ si } \rho \epsilon (2,5) \\ 90(6-\rho) && \text{ si } \rho \epsilon (5,6) \end{cases} \end{array}
\]
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4 Representación de la temperatura en el tiempo para p=3
clear all
h=0.1;
a=2; b=5;
x=a:h:b
N=(b-a)/h;
%El vector x tiene N+1 elementos
% matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
% término F y valor inicial
xx=x(2:N); %quitamos primer y último elemento de x
F=0*xx;
U=100*ones(size(xx)); %valor inicial
% discretización en t
j= 0.5*h^2; % paso en t. Menor h2 para estabilidad con Euler.
t=0:j:10;
M=length(t); %número de puntos de t
sol(1,:)=[0,U,10];
U=U';
for k=1:M-1
U= U + j*(-K*U +F');
sol(k+1,:)=[0,U',10];
end
plot(t,sol(:,10)) %la columna 10 es la correspondiente a p=3
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7 Transformación del problema en disco
Considerando que la placa ocupa todo el disco \(\rho<6\), aproximaremos las soluciones usando el método de Fourier. De nuevo, la solución dependerá sólo de \(\rho\) y \(t\), y tomaremos ahora como condición frontera \(u(6;t) = 0\).
