Difusión de una sustancia contaminante (Grupo 3B)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Difusión de una sustancia contaminante. Grupo 3B
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2013-14
Autores	María Bartol Calderón Rodrigo Bellot Rodríguez Margarita Santiago Ruiz Rocío Santos Rodrigo
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 MODELIZACIÓN DEL PROBLEMA

Se considera una solución en un tubo largo compuesta por dos sustancias de las cuales una de ellas es un contaminante. Se orienta el tubo en la dirección del eje x, desde x=0 hasta x=L, siendo L la longitud del tubo, cuyo valor es igual a 5 metros. Dicho tubo presenta sección transversal constante.

Se denota por u la concentración de contaminante en cada posición del tubo, medida en mol/m²s. La concentración es la misma en cualquier punto de la sección transversal del tubo. Por tanto, va a depender únicamente de dos variables u=u(x,t).

Se designa por F(x,t) el flujo de difusión del contaminante, siendo éste la cantidad de sustancia contaminante que fluye por unidad de tiempo y unidad de área. La superficie del tubo está aislada, por lo que solamente hay flujo de contaminante en la dirección del eje x. En los extremos se coloca un aislante que hace que F(x,t) al exterior del tubo sea nulo.

Dado que la sección del tubo es constante, la concentración del contaminante va a depender únicamente del tiempo y el número de moles, siendo éste último proporcional a la masa de la sustancia.

Teniendo en cuenta el principio de conservación de masa, se deduce, que la variación de la concentración de contaminante en cada posición del tubo en función del tiempo, es igual a la suma del flujo de contaminante a través de los extremos del tubo por unidad de tiempo, más la concentración de contaminante generada en el interior por unidad de tiempo. Al ser nulo el último sumando, la variación de u va a estar influenciada únicamente por el flujo de contaminante.

La ley de Flick establece que el flujo de difusión del contaminante es proporcional a la variación de concentración: [math]F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}[/math]

donde D es el coeficiente de difusión (medido en m²/s), que depende de las propiedades químicas de los compuestos, y que se supone constante D=1.

Utilizando la ley de Flick y aplicando el principio de conservación de masa, se deduce que la concentración de la sustancia contaminante en una sección del tubo que dista x del extremo x=0, cuando pasa un tiempo t debe satisfacer:

[math]u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_xx(x,t)[/math]

Imponiendo que D es el coeficiente de difusión y su valor es la unidad, la ecuación de difusión que describe cómo la sustancia contaminada se dispersa, queda de la forma:

[math]u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0[/math]

Para la deducción de dicha fórmula, se tienen en cuenta las siguientes consideraciones.

Se define [math] A [/math] como la variable de superficie, y se toma una sección pequeña del tubo, designada por [math]\Delta x[/math]: La variación de la concentración de contaminante en función del tiempo es:

[math] A u(x,t) \Delta x [/math]

Y al derivar en el tiempo:

[math] A u_t(x,t) \Delta x [/math]

De esta forma se obtiene el primer término de la ecuación de difusión.

A continuación, se considera nula la concentración de contaminante generada en el interior por unidad de tiempo debido a la ausencia de sumideros.

Suponiendo que Δx>0 y la concentración de contaminante en un tiempo t es menor en x+ Δx que en x, entonces u(x+ Δx) – u(x,t) < 0, y como Δx es pequeño, se tiene que ux(x,t)<0 y el flujo de difusión del contaminante es positivo y va hacia la derecha en la dirección del eje x.

Si [math]F(x,t)\gt 0[/math] pensamos que el flujo va hacia la derecha, si [math]F(x,t)\lt 0[/math], este va a hacia la izquierda. El flujo de

calor en un intervalo [math][x, x + ∆x ] [/math] viene dado dado por:

[math]F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A[/math]

Igualando los resultados anteriores:

[math]A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A[/math]

y seguidamente pasamos dividiendo [math]A \Delta x[/math]:

[math]u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}[/math]

Si hacemos [math]\Delta x \rightarrow 0 [/math]:

[math]u_t(x,t)= -F_x(x,t)[/math]

Aplicando la ley de Fick:

[math]u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_xx(x,t) [/math]

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

[math]u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 [/math]