Nivel piezométrico G5
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Nivel piezométrico G5 |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2013-14 |
| Autores | Francisco Durán Muñoz, Javier Bosch Martínez, Manuel Umbert Martín, Miguel Ángel García García, Emilio Valero Muñoz-Rojas, |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Definimos nivel piezométrico como la altura que alcanzaría el agua al realizar un sondeo en un punto de un acuífero confinado. Este valor depende de la presión a la que esté el propio acuifero.
Si construimos sobre el acuífero confinado un pozo circular de radio [math]\rho _{0}[/math], el nivel piezométrico varía. Para que el problema sea más sencillo utilizaremos coordenadas cilíndricas. Para poder conocer la variación del nivel piezométrico nos apoyaremos en la ecuación de la conservación de la masa y la ley de Darcy:
[math] S ·\frac{ \partial h }{ \partial t } + div q = 0[/math]
[math] q = - k ·\nabla h [/math]
La ley de Darcy establece que "el flujo de agua q a través de un medio poroso es proporcional a la diferencia de presión, que a su vez se puede escribir en términos del gradiente del nivel piezométrico en cada punto". La constante K se deduce experimentalmente para cada material y se conoce como la conductividad hidráulica o permeabilidad.
La constante S en la ley de conservación de la masa se conoce como almacenamiento específico y se interpreta como la cantidad de agua que libera el acuífero al descender el nivel piezométrico en una unidad, por unidad de volumen.
Combinando las ecuaciones de conservación de la masa con la ley de Darcy, obtenemos la ecuación:
[math] \frac{ \partial h }{ \partial t } - D · \Delta h = 0, \quad \rho \gt \rho _{0} \quad θ\in (0,2\pi ) \quad t\gt0 \quad (1) [/math]
Donde [math] D= \frac{k}{s}[/math] se conoce como difusividad hidráulica.
Contenido
- 1 Obtención del Laplaciano y ecuación diferencial en polares
- 2 Sistema completo de ecuaciones
- 3 Resolución del problema por diferencias finitas y método del trapecio
- 4 Dibujo del comportamiento del nivel piezométrico
- 5 Método de Euler
- 6 Nivel piezométrico en intervalos de tiempo grandes
- 7 Estado estacionario
- 8 Capacidad de recuperación en acuífero
- 9 Método de Fourier
1 Obtención del Laplaciano y ecuación diferencial en polares
El Laplaciano es la divergencia del gradiente. Al aplicarle ambos operadores a nuestra función, nos da que:
[math]\Delta h(\rho,\theta)[/math] = [math] (\frac{\partial ^2 h}{\partial \rho^2}+ \frac{1}{\rho}·\frac{\partial h}{\partial \rho}+\frac{\partial^2 h}{\partial \theta^2})= 0[/math]
y aplicándolo a la fórmula (1) nos quedaría:
[math] \frac{ \partial h }{ \partial t } - D·(\frac{\partial ^2 h}{\partial \rho^2}+ \frac{1}{\rho}·\frac{\partial h}{\partial \rho}+\frac{\partial^2 h}{\partial \theta^2})= 0[/math], [math]\rho \gt[/math] [math]\rho _{0} [/math]
Finalmente, al decirnos que h debe depender solamente de [math]\rho[/math],es decir h=h([math]\rho[/math]), se deduce que [math]h _{θ}[/math]=0 y por lo tanto [math]h _{θθ}[/math]=0, por lo que nuestra ecuación final será:
[math]\frac{\partial h}{\partial t}- D·(\frac{\partial ^2 h}{\partial \rho^2}+ \frac{1}{\rho}·\frac{\partial h}{\partial \rho})=0[/math]
2 Sistema completo de ecuaciones
Las condiciones de frontera serán:
[math]h(\rho _{0},t) = h _{\rho0} \quad \quad h(20,t) = h _{0}[/math]
Para que el problema tenga una única solución, nos falta una condición inicial del tipo [math]h(\rho,0) = h _{i}(\rho)[/math]. El problema quedará:
\[\left\{\begin{matrix}\ \frac{\partial h}{\partial t}- D·(\frac{\partial ^2 h}{\partial \rho^2}+ \frac{1}{\rho}·\frac{\partial h}{\partial \rho})=0 , & \\ h(\rho _{0},t)=h _{\rho}, \quad \quad h(20,t)=h _{0}, & \\ h(\rho,0)=h _{i}(\rho) , & \end{matrix}\right.\]
3 Resolución del problema por diferencias finitas y método del trapecio
4 Dibujo del comportamiento del nivel piezométrico
5 Método de Euler
6 Nivel piezométrico en intervalos de tiempo grandes
7 Estado estacionario
El nivel piezométrico varía desde que se empieza a extraer agua del pozo en t=0 hasta un determinado tiempo t a partir del cual el nivel piezométrico se mantiene constante a lo largo del tiempo, siempre que se mantengan las mismas condiciones de permeabilidad y se continúe con la extracción de agua. Por tanto, una vez que se ha llegado a dicha t donde el nivel no varía con el paso del tiempo, se puede despreciar la variación de h respecto del tiempo ,,en la ecuación hallada anteriormente.
Como consecuencia, se considerará que el nivel piezométrico solamente variará respecto de :
[math]\frac{\partial h}{\partial t}=0 \quad \quad \quad D·(\frac{\partial ^2 h}{\partial \rho^2}+ \frac{1}{\rho}·\frac{\partial h}{\partial \rho})=0[/math]
