Ecuación del calor MMA

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación del calor. Grupo MMA
Asignatura	EDP
Curso	2025-26
Autores	Marta Tejedor María Romojaro Andrea Sánchez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Dispersión de partículas

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parámetros
np.random.seed(42)
n_particles = 400
times = [0.05, 0.4, 1.0]

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(12, 4))

for ax, t in zip(axes, times):
    # Movimiento aleatorio (normal)
    x = np.random.normal(0, np.sqrt(t), n_particles)
    y = np.random.normal(0, np.sqrt(t), n_particles)

    ax.scatter(x, y, s=10, alpha=0.7)
    ax.set_title(f"t = {t}")
    ax.set_aspect("equal")

    # Límites visuales
    ax.set_xlim(-4, 4)
    ax.set_ylim(-4, 4)
    ax.grid(True)

fig.suptitle("Dispersión de partículas")
plt.tight_layout()
plt.show()

2 Trayectorias de movimiento browniano

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parámetros
np.random.seed(42)
T = 1
n_steps = 300
dt = T / n_steps

t = np.linspace(0, T, n_steps + 1)

plt.figure(figsize=(8, 5))

# Varias trayectorias
for _ in range(12):
    increments = np.random.normal(0, np.sqrt(dt), n_steps)
    B = np.concatenate([[0], np.cumsum(increments)])
    plt.plot(t, B)

plt.title("Trayectorias de movimiento browniano")
plt.xlabel("tiempo")
plt.ylabel("posición")
plt.grid(True)

plt.show()

3 Evolución de la densidad

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Dominio
x = np.linspace(-6, 6, 1000)

# Distintos tiempos
times = [0.2, 0.8, 1.6, 5,50]

plt.figure(figsize=(8, 5))

for t in times:
    # Solución de la ecuación del calor (gaussiana)
    p = 1 / np.sqrt(2 * np.pi * t) * np.exp(-x**2 / (2 * t))
    plt.plot(x, p, label=f"t = {t}")

plt.title("Evolución de la densidad")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("densidad")
plt.legend()
plt.grid(True)

plt.show()

4 Evolución de la densidad con ruido blanco

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Dominio espacial
x = np.linspace(-6, 6, 500)

# Parámetro de difusión
D = 1

# Tiempos 
times = [0.2, 0.8, 1.6]

# Solución del calor
def u(x, t, D=1):
    return (1 / np.sqrt(4 * np.pi * D * t)) * np.exp(-x**2 / (4 * D * t))

# Semilla 
np.random.seed(4)

plt.figure(figsize=(8,5))

for t in times:
    u_det = u(x, t, D)
    
    # Ruido proporcional 
    noise = 0.02 * np.random.randn(len(x))
    u_noise = u_det + noise
    
    plt.plot(x, u_noise, label=f"t = {t}")

plt.xlabel("x")
plt.ylabel("densidad")
plt.title("Evolución de la densidad con ruido blanco")
plt.legend()
plt.grid(True)

plt.show()