Ecuación del calor LAJS

1 Introducción

El objetivo de este trabajo será dibujar diferentes soluciones de la ecuación del calor en una dimensión, lo que nos ayudará a tener una idea más gráfica e intuitiva sobre las soluciones de este problema que hemos estudiado en clase.

2 Planteamiento del problema

Comenzamos considerando una varilla metálica que ocupa el intervalo [math][0, 1][/math] y que se encuentra aislada por su superficie lateral, de forma que la conducción de calor únicamente ocurre en dirección longitudinal. La temperatura inicial de la varilla será de [math]10ºC[/math]. En el extremo derecho la temperatura se mantiene en [math]10ºC[/math], mientras que en el izquierdo la temperatura es siempre de [math]1ºC[/math]. Por tanto, si consideramos las constantes de conductividad térmica y calor específico iguales a uno, la ecuación que modeliza nuestro problema queda [math]u_t - u_{xx}=0, \quad x \in (0,1), \ t \gt 0[/math], sujeta a las condiciones de contorno [math]u(0,t) = 1[/math] (extremo izquierdo) y [math]u(1,t) = 10[/math] (extremo derecho). Por último, la condición inicial será [math]u(x,0) = 10 \quad \forall x \in [0,1][/math]. El sistema de EDPs que modeliza nuestro problema queda:

[math]\begin{cases} u_t - u_{xx}=0 & \text{en } (0,1) \times (0, \infty) \\[10pt] u(0,t) = 1 & t \gt 0 \\[5pt] u(1,t) = 10 & t \gt 0 \\[5pt] u(x,0) = 10 & x \in [0,1] \end{cases}[/math]

En cuanto a la ecuación del estado estacionario, sabemos que ocurre al suponer [math]t \to \infty [/math] y que por tanto la solución ya no varía en tiempo, es decir, cuando [math] u_t \sim 0 [/math]. Entonces el problema para la solución estacionaria es

[math]\begin{cases} - v_{xx}=0 & \text{en } (0,1) \\[10pt] v(0) = 1 \\[5pt] v(1) = 10 \end{cases}[/math]

Lo que nos da una EDO que se resuelve fácilmente y se llega a la solución [math] v(x)=9x+1 [/math]

3 Construcción con serie de Fourier real

Para [math]x \in [-1, 1][/math], definimos la función [math]f_{\sigma}(x)[/math] mediante la siguiente expresión:

[math]f_{\sigma}(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N} [a_n \cos(\pi n x) + b_n \sin(\pi n x)][/math]

3.1 Propiedades de los coeficientes

Como vimos en el anterior trabajo, podemos elegir los coeficientes de Fourier de forma aleatoria. Los coeficientes [math]a_n[/math] y [math]b_n[/math] se considerarán variables aleatorias independientes siguiendo una distribución simétrica (con media cero). Los ejemplos para este trabajo, igual que en el anterior serán:

• Distribución Uniforme: [math]a_n, b_n \sim \mathcal{U}[-c_n, c_n][/math]
• Distribución Normal: [math]a_n, b_n \sim \mathcal{N}(0, \sigma_n^2)[/math]

3.2 Función acotada

Para garantizar que la función sea acotada, es decir, que [math]|f_{\sigma}(x)| \leq M[/math], se pueden seguir dos enfoques:

1. Normalización: Elegir coeficientes acotados y aplicar un proceso de normalización.
2. Suma de coeficientes pequeños: Aprovechar el hecho de que una suma de senos y cosenos con coeficientes suficientemente pequeños produce funciones acotadas.

4 Ecuación del calor y solución con dato inicial [math]f_{\sigma}[/math]

Consideramos el problema de Cauchy en [math]\mathbb{R}[/math]:

[math]\begin{cases} u_t = u_{xx}, \\ u(x,0) = f_{\sigma}(x), \end{cases} x \in \mathbb{R}, t \gt 0,[/math]

con [math]f_{\sigma}[/math] de soporte en [math](-1, 1)[/math]. La solución viene dada por la convolución con la solución fundamental de la ecuación del calor:

[math]u(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty} G(x - y, t) f_{\sigma}(y) \, dy, \quad G(z,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{-z^2/(4t)}.[/math]

5 Promedio de la temperatura en [math]x = 0[/math] a lo largo del tiempo

Calculamos la esperanza matemática de la temperatura, fijando [math] x=0 [/math]. Por las propiedades de la esperanza,

[math]\mathbb{E}[u(0,t)] = \int_{-\infty}^{\infty} G(-y, t) \mathbb{E}[f_{\sigma}(y)] \, dy = 0,[/math]

porque [math]\mathbb{E}[f_{\sigma}(y)] = 0[/math] (los coeficientes tienen media cero). Por tanto, la temperatura esperada en [math]x = 0[/math] es nula para todo [math]t \gt 0[/math].