Ecuación del calor LAJS

1 Introducción

La ecuación del calor

2 Construcción con serie de Fourier real

Para [math]x \in [-1, 1][/math], definimos la función [math]f_{\sigma}(x)[/math] mediante la siguiente expresión:

[math]f_{\sigma}(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N} [a_n \cos(\pi n x) + b_n \sin(\pi n x)][/math]

2.1 Propiedades de los coeficientes

Como vimos en el anterior trabajo, podemos elegir los coeficientes de Fourier de forma aleatoria. Los coeficientes [math]a_n[/math] y [math]b_n[/math] se considerarán variables aleatorias independientes siguiendo una distribución simétrica (con media cero). Los ejemplos para este trabajo, igual que en el anterior serán:

• Distribución Uniforme: [math]a_n, b_n \sim \mathcal{U}[-c_n, c_n][/math]
• Distribución Normal: [math]a_n, b_n \sim \mathcal{N}(0, \sigma_n^2)[/math]

2.2 Función acotada

Para garantizar que la función sea acotada, es decir, que [math]|f_{\sigma}(x)| \leq M[/math], se pueden seguir dos enfoques:

1. Normalización: Elegir coeficientes acotados y aplicar un proceso de normalización.
2. Suma de coeficientes pequeños: Aprovechar el hecho de que una suma de senos y cosenos con coeficientes suficientemente pequeños produce funciones acotadas.

3 Ecuación del calor y solución con dato inicial [math]f_{\sigma}[/math]

Consideramos el problema de Cauchy en [math]\mathbb{R}[/math]:

[math]\begin{cases} u_t = u_{xx}, \\ u(x,0) = f_{\sigma}(x), \end{cases} x \in \mathbb{R}, t \gt 0,[/math]

con [math]f_{\sigma}[/math] de soporte en [math](-1, 1)[/math]. La solución viene dada por la convolución con la solución fundamental de la ecuación del calor:

[math]u(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty} G(x - y, t) f_{\sigma}(y) \, dy, \quad G(z,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{-z^2/(4t)}.[/math]

4 Promedio de la temperatura en [math]x = 0[/math] a lo largo del tiempo

Calculamos la esperanza matemática de la temperatura, fijando [math] x=0 [/math]. Por las propiedades de la esperanza,

[math]\mathbb{E}[u(0,t)] = \int_{-\infty}^{\infty} G(-y, t) \mathbb{E}[f_{\sigma}(y)] \, dy = 0,[/math]

porque [math]\mathbb{E}[f_{\sigma}(y)] = 0[/math] (los coeficientes tienen media cero). Por tanto, la temperatura esperada en [math]x = 0[/math] es nula para todo [math]t \gt 0[/math].