Series de Fourier (Grupo CCE)
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Revisión del 08:08 19 feb 2026 de Coloma de Lara (Discusión | contribuciones) (→Aproximación de una función continua)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Series de Fourier. Grupo CCE |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2025-26 |
| Autores | Coloma de Lara
Carlos de Miguel Elena Rodríguez |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Visualizar la base trigométrica
Vamos a dibujar en una gráfica, con Matlab, los 7 primeros términos de la serie trigonométrica en [math] x\in [-1,1] [/math], para que sea más fácil visualizarla.
| Implementación en MATLAB | Resultado Gráfico |
|---|---|
% definimos intervalo [-T, T]
T = 1;
x = linspace(-T, T, 1000);
n_max = 7; %numero de terminos
% normalizamos
phi_0_factor = 1/sqrt(2*T);
phi_n_factor = 1/sqrt(T);
figure('Color', 'w');
% d0 y dn (Cosenos - Pares)
subplot(2,1,1); hold on;
plot(x, ones(size(x)) * phi_0_factor, 'k', 'LineWidth', 2.5, 'DisplayName', 'd_0');
colors_d = lines(n_max);
for n = 1:n_max
y_cos = phi_n_factor * cos(n * pi * x / T);
plot(x, y_cos, 'Color', [colors_d(n,:), 0.5]);
end
title('Funciones de la base para d_0 y d_n (Pares)');
grid on; ylabel('Amplitud');
% cn (Senos - Impares)
subplot(2,1,2); hold on;
colors_c = jet(n_max);
for n = 1:n_max
y_sin = phi_n_factor * sin(n * pi * x / T);
plot(x, y_sin, 'Color', [colors_c(n,:), 0.5]);
end
title('Funciones de la base para c_n (Impares)');
grid on; xlabel('x'); ylabel('Amplitud'); |
2 Aproximación de una función continua
En este apartado, aproximamos la función continua [math]f(x) = 1 - 2|1/2 - x|[/math] en el intervalo [math][0, 1][/math].
2.1 Estudio de Convergencia según el número de términos
Calculamos los coeficientes [math]a_k[/math] mediante la fórmula del trapecio con una división de [math]10^{-3}[/math]. Evaluamos el error en las normas [math]L^2[/math] y uniforme ([math]L^\infty[/math]) para observar la calidad de la aproximación en función del número de términos de la serie. Luego hemos dibujado en una gráfica el error en ambas normas en función de n, donde podemos ver que las gráficas obtenidas son del tipo exponencial negativa.
| Implementación en MATLAB | |
|---|---|
% Parámetros iniciales
dx = 1e-3; % división sugerida
x = 0:dx:1;
f = 1 - 2*abs(0.5 - x);
% Configuración de términos para visualización
valores_n = [1, 5, 10];
figure(1);
plot(x, f, 'k--', 'LineWidth', 2); hold on;
% Bucle para calcular aproximaciones y errores
N_max = 50;
err_L2 = zeros(1, N_max);
err_inf = zeros(1, N_max);
for n = 1:N_max
fn = zeros(size(x));
for k = 1:n
% Cálculo de ak mediante trapecio
integrando = 2 * f .* sin(k * pi * x);
ak = trapz(x, integrando);
% suma de los términos impares
fn = fn + ak * sin(k * pi * x);
end
% guardar errores en normas L2 y uniforme
err_L2(n) = sqrt(trapz(x, (f - fn).^2));
err_inf(n) = max(abs(f - fn));
if ismember(n, valores_n)
plot(x, fn, 'DisplayName', ['n = ' num2str(n)]);
end
end
title('Aproximación de f(x) por Serie de Fourier (Senos)');
xlabel('x'); ylabel('f(x)');
legend('Original', 'n=1', 'n=5', 'n=10');
grid on;
% gráfica de Errores
figure(2);
subplot(2,1,1);
plot(1:N_max, err_L2, 'bo-', 'LineWidth', 1.5);
title('Evolución del Error en Norma L^2');
xlabel('n (términos)'); ylabel('Error'); grid on;
subplot(2,1,2);
plot(1:N_max, err_inf, 'ro-', 'LineWidth', 1.5);
title('Evolución del Error en Norma Uniforme');
xlabel('n (términos)'); ylabel('Error'); grid on; | |
| Resultado de la Aproximación | Estudio de Convergencia |
2.2 Estudio de la Convergencia según la regularidad
| Implementación en MATLAB: Comparativa de Regularidad | ||
|---|---|---|
% Parámetros iniciales
dx = 1e-3;
x = 0:dx:1;
N = 20; % Número de armónicos para la comparativa
% Definición de las tres funciones
f1 = double(x < 0.5); % 1. Función Salto (C^-1)
f2 = 1 - 2*abs(0.5 - x); % 2. Función Triangular (C^0)
f3 = x.^2 - x; % 3. Parábola (C^inf)
funciones = {f1, f2, f3};
titulos = {'Aproximación Función Salto', 'Aproximación Función f(x)', 'Aproximación Parábola'};
for i = 1:3
f_actual = funciones{i};
figure(i);
plot(x, f_actual, 'k--', 'LineWidth', 2); hold on;
% Reconstrucción mediante Serie de Fourier (Base completa)
L = 1;
a0 = (2/L) * trapz(x, f_actual);
fn = (a0/2) * ones(size(x));
for k = 1:N
ak = (2/L) * trapz(x, f_actual .* cos(2*pi*k*x/L));
bk = (2/L) * trapz(x, f_actual .* sin(2*pi*k*x/L));
fn = fn + ak*cos(2*pi*k*x/L) + bk*sin(2*pi*k*x/L);
end
plot(x, fn, 'r', 'LineWidth', 1.5);
title(titulos{i});
xlabel('x'); ylabel('f(x)');
legend('Original', ['Serie Fourier (N=' num2str(N) ')']);
grid on;
end | ||
| 1. Función f(x) (Continua) | 2. Parábola (Suave) | 3. Función Salto (Discontinua) |
| Implementación en MATLAB | Resultado Gráfico |
|---|---|
dx = 1e-3;
x = 0:dx:1;
N_max = 50;
f1 = double(x < 0.5);
f2 = 1 - 2*abs(0.5 - x);
f3 = x.^2 - x;
funciones = {f1, f2, f3};
colores = {'b', 'r', 'g'};
nombres = {'Salto', 'Triangular f(x)', 'Parábola'};
figure(1);
hold on;
for i = 1:3
f_target = funciones{i};
err_L2 = zeros(1, N_max);
for n = 1:N_max
a0 = 2 * trapz(x, f_target);
fn = (a0/2) * ones(size(x));
for k = 1:n
ak = 2 * trapz(x, f_target .* cos(2*pi*k*x));
bk = 2 * trapz(x, f_target .* sin(2*pi*k*x));
fn = fn + ak*cos(2*pi*k*x) + bk*sin(2*pi*k*x);
end
% cálculo del error
err_L2(n) = sqrt(trapz(x, (f_target - fn).^2));
end
plot(1:N_max, err_L2, 'Color', colores{i}, 'LineWidth', 2, 'DisplayName', nombres{i});
end
set(gca, 'YScale', 'log'); % escala logarítmica para ver mejor las diferencias
title('Evolución del Error Residual (Norma L^2)');
xlabel('Número de terminos (N)'); ylabel('Error (log)');
legend('show'); grid on; |
Obtenemos los coeficientes de los términos impares mediante MatLab:
| n | Función Salto | Función Triangular | Parábola x^2-x |
|---|---|---|---|
| 1 | 1.2732 | 0.8106 | -0.2580 |
| 3 | 0.4244 | -0.0901 | -0.0096 |
| 5 | 0.2546 | 0.0324 | -0.0021 |
| 7 | 0.1819 | -0.0165 | -0.0008 |
| 9 | 0.1415 | 0.0100 | -0.0004 |
| 11 | 0.1157 | -0.0067 | -0.0002 |
| 13 | 0.0979 | 0.0048 | -0.0001 |
| 15 | 0.0849 | -0.0036 | -0.0001 |
| Decaimiento | 1/n | 1/n² | 1/n³ |
