Series de Fourier (Grupo CCE)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Series de Fourier. Grupo CCE
Asignatura	EDP
Curso	2025-26
Autores	Coloma de Lara, Carlos de Miguel y Elena Rodríguez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

Este trabajo tiene como objetivo principal profundizar en la aproximación de funciones por series trigonométricas, herramienta fundamental en el estudio de las Ecuaciones en Derivadas Parciales.En este artículo, se abordan tres puntos de los propuestos: primero visualizar la aproximación de la serie de Fourier de una función, segundo comparar la serie de Fourier de una función en términos de la regularidad, y tercero ilustrar el fenómeno de Gibbs al aproximar una función discontinua.

1.1 La Base Trigonométrica en [-T, T]

Para una función definida en un intervalo [math][-T, T][/math], utilizamos un conjunto de funciones que actúan como generadores del espacio. Esta familia de funciones es la denominada base trigonométrica normalizada:

[math] \mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2T}}, \frac{1}{\sqrt{T}}\cos\left(\frac{n\pi x}{T}\right), \frac{1}{\sqrt{T}}\sin\left(\frac{n\pi x}{T}\right) \right\}_{n \in \mathbb{N}} [/math]

Estas funciones son las piezas fundamentales para construir cualquier función periódica con la regularidad suficiente.

1.2 Definición de la Serie de Fourier

Dada una función [math]f(x)[/math] integrable en el intervalo [math][-T, T][/math], su desarrollo en Serie de Fourier se define como:

[math] f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{2T}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cdot \frac{1}{\sqrt{T}}\cos\left(\frac{n\pi x}{T}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cdot \frac{1}{\sqrt{T}}\sin\left(\frac{n\pi x}{T}\right) [/math]

Donde los coeficientes de Fourier se calculan mediante las siguientes proyecciones (integrales)[cite: 28, 29]:

• Coeficiente constante: [math] d_0 = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2T}} dx [/math]
• Coeficientes de cosenos: [math] d_n = \frac{1}{\sqrt{T}} \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \cos\left(\frac{n\pi x}{T}\right) dx [/math]
• Coeficientes de senos: [math] c_n = \frac{1}{\sqrt{T}} \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \sin\left(\frac{n\pi x}{T}\right) dx [/math]

2 Visualizar la base trigométrica

Vamos a dibujar en una gráfica, con Matlab, los 10 primeros términos de la serie trigonométrica en [math] x\in [-1,1] [/math], para que sea más fácil visualizarla.

T = 1;                  
x = linspace(-T, T, 1000); 
n_max = 10;             
%factores de normalización
phi_0_factor = 1/sqrt(2*T);
phi_n_factor = 1/sqrt(T);
figure('Color', 'w', 'Name', 'Base de Fourier Ortonormal');
%coeficiente d0 y funciones para dn (Cosenos) ---
subplot(2,1,1);
hold on;
% gráfica de la función asociada a d0
plot(x, ones(size(x)) * phi_0_factor, 'k', 'LineWidth', 2.5, 'DisplayName', 'Base para d_0');
% gráfica de las funciones asociadas a dn (Cosenos)
colors_d = lines(n_max);
for n = 1:n_max
    y_cos = phi_n_factor * cos(n * pi * x / T);
    plot(x, y_cos, 'Color', [colors_d(n,:), 0.5], 'LineWidth', 1);
end
title('Funciones de la base para d_0 y d_n (Cosenos - Pares)');
ylabel('Amplitud');
grid on;
%funciones para cn (Senos) ---
subplot(2,1,2);
hold on;
% gráfica de las funciones asociadas a cn (Senos)
colors_c = jet(n_max);
for n = 1:n_max
    y_sin = phi_n_factor * sin(n * pi * x / T);
    plot(x, y_sin, 'Color', [colors_c(n,:), 0.5], 'LineWidth', 1);
end
title('Funciones de la base para c_n (Senos - Impares)');
xlabel('x'); ylabel('Amplitud');
grid on;
sgtitle('Base Trigonométrica Normalizada en [-1, 1]');