Series de Fourier (LAJS)

1 Introducción

La manera más común de representar la serie de Fourier de una función [math]f(x) [/math] es mediante

[math] f(x) \sim\frac{a_0}{2 \pi} + \sum_{n=1}^{N} \left( a_n \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(n x) + b_n \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin (n x)\right) [/math]

siendo [math] a_0,a_n,b_n [/math] los coeficientes de Fourier, que se calculan mediante las integrales:

[math] a_0 = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{\sqrt{\pi}} f(x) dx \quad a_n = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(n x) f(x) dx \quad b_n = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(n x) f(x) dx [/math]

Es decir, la función [math]f(x) [/math] se expresa como una combinación lineal de funciones seno y coseno con coeficientes constantes. Sin embargo, en algunos contextos reales, como la modelización de fenómenos naturales, no es razonable suponer que dichos coeficientes son conocidos de forma exacta. En algunos casos, la información que conocemos sobre el sistema puede ser intrínsecamente aleatoria, lo que motiva la introducción de modelos probabilísticos. Una forma natural de incorporar esta aleatoriedad consiste en sustituir los coeficientes de Fourier que conocemos por variables aleatorias. Este planteamiento permite definir funciones aleatorias cuyos valores, aun conservando una estructura armónica, presentan fluctuaciones controladas en función de la distribución estadística de los coeficientes.

2 Modelo matemático

Comenzamos definiendo la ecuación general que utilizaremos:

[math] f_{\sigma}(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N} \left( a_n \cos(n\pi x) + b_n \sin(n\pi x) \right) [/math]

donde los coeficientes [math] a_n [/math] y [math] b_n [/math] serán variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que se generarán a partir de distribuciones de probabilidad en lugar de calcularlos mediante integrales. Estudiaremos dos escenarios diferentes:

• Distribución uniforme: los coeficientes seguirán una distribución uniforme en el intervalo [math] [-c,c] [/math], es decir, [math]a_n, b_n \sim \operatorname{U}(-c, c) [/math]

• Distribución normal: los coeficientes seguirán una distribución normal de media 0 y varianza [math]\sigma^2[/math] , [math] a_n, b_n \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) [/math]

3 Cálculo de la esperanza, varianza y covarianza

3.1 Cálculo de la esperanza [math]E[f_\sigma(x)][/math]

En los casos que hemos considerado, o bien [math]a_n, b_n \sim \operatorname{U}(-c, c) [/math], por lo que [math] E[a_n]=E[b_n] = \frac{-a+a}{2}=0 [/math], o bien [math] a_n, b_n \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) [/math], entonces [math] E[a_n]=E[b_n] =0 [/math]. Por lo tanto la esperanza se calcula:

[math]E[f_\sigma(x)] = \sum_{n=0}^{N} [E[a_n] \cos(nx) + E[b_n] \sin(nx)] = 0 [/math]

Es decir, la esperanza es 0 para todo [math]x[/math], siempre que [math]a_n, b_n[/math] sean variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas centradas en la media 0.

3.2 Cálculo de la varianza [math]V(f_\sigma(x))[/math]

Utilizamos la definición de varianza [math]V(f_\sigma(x)) = E[f_\sigma(x)^2] - E[f_\sigma(x)]^2 [/math] y utilizamos el resultado del apartado anterior, [math]E[f] =0[/math], luego [math]V(f_\sigma(x)) = E[f_\sigma(x)^2][/math], y teniendo en cuenta que

[math]f_\sigma(x)^2 = \sum_{n,m} [a_n a_m \cos(nx) \cos(mx) + b_n b_m \sin(nx) \sin(mx) + 2 a_n b_m \cos(nx) \sin(mx)][/math]

Tomando esperanza y usando independencia y que la media de [math]a_n, b_n[/math] es cero,

• [math]E[a_n a_m] = 0[/math] si [math]n \neq m[/math], [math]= \sigma_{a_n}^2[/math] si [math]n = m[/math] e igual para [math]b_n b_m[/math].
• [math]E[a_n b_m] = 0[/math] para todo [math]n, m[/math].

Entonces

[math]V(f_\sigma(x)) = \sum_{n=0}^{N} [\sigma_{a_n}^2 \cos^2(nx) + \sigma_{b_n}^2 \sin^2(nx)][/math]

Si tomamos [math]\sigma_{a_n}^2 = \sigma_{b_n}^2 = \sigma_n^2[/math] (misma varianza para seno y coseno):

[math]V(f_\sigma(x)) = \sum_{n=0}^{N} \sigma_n^2[/math]

independiente de [math]x[/math].

3.3 Cálculo de la covarianza [math]Cov(f_\sigma(x),f_\sigma(y))[/math]

Calculamos la covarianza de dos funciones [math]f_\sigma(x),f_\sigma(y)[/math] utilizando la definición [math]Cov(f(x), f(y)) = E[f(x)f(y)] - E[f(x)]E[f(y)][/math]. Ya hemos probado que [math]E[f_\sigma(x)] = 0[/math], por tanto basta calcular el primer término.

[math] E[f(x)f(y)] = \sum_{n=1}^{\infty} \sigma_n^2 \left[ \cos(n\pi x)\cos(n\pi y) + \sin(n\pi x)\sin(n\pi y) \right] [/math]

Y aplicando la identidad trigonométrica [math] \cos(A)\cos(B) + \sin(A)\sin(B) = \cos(A - B) [/math] se llega a

[math] Cov(f(x), f(y)) = \sum_{n=1}^{\infty} \sigma_n^2 \cos(n \pi (x - y)) [/math]