Series de Fourier (LAJS)

1 Introducción

La manera más común de representar la serie de Fourier de una función [math]f(x) [/math] es mediante

[math] f(x) \sim\frac{a_0}{2 \pi} + \sum_{n=1}^{N} \left( a_n \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(n x) + b_n \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin (n x)\right) [/math]

siendo [math] a_0,a_n,b_n [/math] los coeficientes de Fourier, que se calculan mediante las integrales:

[math] a_0 = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{\sqrt{\pi}} f(x) dx \quad a_n = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(n x) f(x) dx \quad b_n = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(n x) f(x) dx [/math]

Es decir, la función [math]f(x) [/math] se expresa como una combinación lineal de funciones seno y coseno con coeficientes constantes. Sin embargo, en algunos contextos reales, como la modelización de fenómenos naturales, no es razonable suponer que dichos coeficientes son conocidos de forma exacta. En algunos casos, la información que conocemos sobre el sistema puede ser intrínsecamente aleatoria, lo que motiva la introducción de modelos probabilísticos. Una forma natural de incorporar esta aleatoriedad consiste en sustituir los coeficientes de Fourier que conocemos por variables aleatorias. Este planteamiento permite definir funciones aleatorias cuyos valores, aun conservando una estructura armónica, presentan fluctuaciones controladas en función de la distribución estadística de los coeficientes.

2 Modelo matemático

Comenzamos definiendo la ecuación general que utilizaremos:

[math] f_{\sigma}(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N} \left( a_n \cos(n\pi x) + b_n \sin(n\pi x) \right) [/math]

donde los coeficientes [math] a_n [/math] y [math] b_n [/math] serán variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que se generarán a partir de distribuciones de probabilidad en lugar de calcularlos mediante integrales. Estudiaremos dos escenarios diferentes:

• Distribución uniforme: los coeficientes seguirán una distribución uniforme en el intervalo [math] [-c,c] [/math], es decir, [math]a_n, b_n \sim \mathcal{U}(-c, c) [/math]

• Distribución normal: los coeficientes seguirán una distribución normal de media 0 y varianza [math]\sigma^2[/math] , [math] a_n, b_n \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) [/math]

3 Esperanza [math]E[f_\sigma(x)][/math]

[math]E[f_\sigma(x)] = \sum_{n=0}^{N} [E[a_n] \cos(nx) + E[b_n] \sin(nx)] = 0[/math]

La esperanza puntual es 0 para todo [math]x[/math].

4 Varianza [math]V(f_\sigma(x))[/math]

Como [math]E[f] = 0[/math]:

[math]V(f_\sigma(x)) = E[f_\sigma(x)^2][/math]

Pero

[math]f_\sigma(x)^2 = \sum_{n,m} [a_n a_m \cos(nx) \cos(mx) + b_n b_m \sin(nx) \sin(mx) + 2 a_n b_m \cos(nx) \sin(mx)][/math]

Tomando esperanza y usando independencia y media cero de [math]a_n, b_n[/math]:

•⁠ ⁠[math]E[a_n a_m] = 0[/math] si [math]n \neq m[/math], [math]= \sigma_{a_n}^2[/math] si [math]n = m[/math]. •⁠ ⁠Igual para [math]b_n b_m[/math]. •⁠ ⁠[math]E[a_n b_m] = 0[/math] para todo [math]n, m[/math].

Entonces

[math]V(f_\sigma(x)) = \sum_{n=0}^{N} [\sigma_{a_n}^2 \cos^2(nx) + \sigma_{b_n}^2 \sin^2(nx)][/math]

Si tomamos [math]\sigma_{a_n}^2 = \sigma_{b_n}^2 = \sigma_n^2[/math] (misma varianza para seno y coseno):

[math]V(f_\sigma(x)) = \sum_{n=0}^{N} \sigma_n^2[/math]

independiente de [math]x[/math].