Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (grupo 51)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 51) |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2025-26 |
| Autores | Cristina Zamorano Reinoso Lucía Álvarez Cegarra Alba Jorge Urraca Guadalupe Moralo Alonso |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Coordenadas Cilíndricas Parabólicas
Introducción
En este trabajo analizaremos las coordenadas cilíndricas parabólicas, un sistema de coordenadas especialmente útil para estudiar campos físicos en situaciones donde aparecen geometrías parabólicas. Este sistema facilita la descripción de diversos problemas vinculados a distintos tipos de campos, como los potenciales. Examinaremos su funcionamiento y sus ventajas tanto en contextos físicos como en aplicaciones propias de nuestra área de la ingeniería.
La relación que emplearemos a continuación es la siguiente:
Contenido
- 1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas
- 2 CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\)
- 3 Matrices de cambio de base
- 4 Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico
- 5 Gradiente de un campo escalar
- 6 Divergencia de un campo vectorial
- 7 Rotacional de un campo vectorial
- 8 Superficies de nivel
- 9 Curvatura de la parábola
- 10 Uso de la parábola en ingeniería
- 11 Bibliografía
- 12 Póster
1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas
1.1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\)
Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:
- Línea coordenada \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
[math] \gamma_u(w): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = wv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]
- Línea coordenada \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
[math] \gamma_v(w): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\ x_2 = uw \\ x_3 = z \end{cases} [/math]
- Línea coordenada \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
[math]
\gamma_z(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = w
\end{cases}
[/math]
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))
1.2 Gráficas y códigos MATLAB
1.2.1 Código de las líneas coordenadas en 2 dimensiones
%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc
figure;
hold on;
%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v
%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);
%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);
%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
1.2.2 Código de la líneas coordenadas en 3 dimensiones
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);
% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;
% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;
% Crear una figura combinada
figure;
% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;
% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);
% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title(' Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
1.2.3 Código de las sucesión de las lineas coordenadas, partiendo del origen
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);
% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;
% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = zeros(size(x1_f1)); % En el plano z = 0
% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = zeros(size(x1_f2)); % En el plano z = 0
% Crear una figura combinada
figure;
% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;
% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);
% figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
2 CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\)
2.1 Campos de Velocidad Lineas Coordenadas
Los campos de velocidad son los vectores tangentes obtenidos derivando las coordenadas:
1. Derivada respecto a \(u\):
[math]
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}.
\end{aligned}
[/math]
2. Derivada respecto a \(v\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\ \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\ \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}. \end{aligned} [/math]
3. Derivada respecto a \(z\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}. \end{aligned} [/math]
2.2 Factores de Escala
Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad:
1. Para \(\gamma'_u\)→
[math]
h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2}
[/math]
2. Para \(\gamma'_v\)→
[math]
h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2}
[/math]
3. Para \(\gamma'_z\)→
[math]
h_z = |\gamma'_z| =1
[/math]
2.3 Vectores Tangentes
Los vectores tangentes unitarios se obtienen normalizando los vectores de velocidad que hemos calculado anteriormente:
1. [math]\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)[/math]
2. [math]\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)[/math]
3. [math]\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right)[/math]
2.4 Comprobación de Ortonormalidad y Orientación
Para comprobar que estos vectores forman una base ortonormal:
1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = [math]\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0[/math]
2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= [math]\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]
3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=[math] \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]
Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores unitarios.
En cuanto a la orientación, tenemos en cuenta que el producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) [math] = \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0 \end{bmatrix} = \vec{k} = \vec{e}_z [/math]
La orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector.
Conclusión
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.
2.5 Representación Gráfica
clear;clc
%Lineas Coordenadas
figure;
hold on;
%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v
%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);
%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);
%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;
%Vectores Tangentes
%Puntos de interes
u=1;
v=1;
%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;
%Vectores tangentes en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v
%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'m','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'b','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Tangentes Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;
hold off;
3 Matrices de cambio de base
Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas. La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).
[math] Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]
[math] Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]
La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:
[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]
[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]
4 Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico
Las coordenadas cilíndricas parabólicas constituyen un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que garantiza las coordenadas polares del plano mediante el uso de parábolas como curvas coordenadas. Este sistema se representa mediante \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) esta dada por las siguientes expresiones:
[math]
x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z.
[/math]
-Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados a las coordenadas \( u, v, z \) son:
[math]
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
[/math]
Derivadas parciales
Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:
[math] \frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 [/math]
[math] \frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 [/math]
[math] \frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1. [/math]
Matriz de cambio de base
La matriz de cambio de base se utiliza para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico. Dicha matriz \( Q^{-1} \) se expresa como:
[math]
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
[/math]
Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \)
Utilizando el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), expresado a continuación, produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \)
[math]
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix},
[/math]
La multiplicación de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:
[math] r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]
Conclusión
En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas \( (u, v, z) \) las coordenadas se obtienen aplicando la matriz inversa \( Q^{-1} \) al vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación es especialmente útil cuando las coordenadas cartesianas dificultan la resolución de un problema, ya que permite simplificar los cálculos en situaciones donde predominan las geometrías parabólicas.
5 Gradiente de un campo escalar
Se nos pide calcular el gradiente del campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3)=x_2\) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) \) = \( (0, 1, 1) \).
5.1 Cambio de coordenadas
[math]
x_2 = uv
[/math]
Por lo que en terminos \( (u, v, z) \) obtenemos que \(f(u,v,z)=uv\).
5.2 Cálculo del gradiente
Expresión del gradiante
el gradiante de f en coordenadas\( (u, v, z) \) es : [math]\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z [/math]
Derivadas parciales
[math] \frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0 [/math]
Cálculo de coordenadas \( (u, v, z) \)
se obtienen de las ecuaciones de transformación. [math]x_1= \frac{u^2-v^2}{2} ; x_2= uv ; x_3=z [/math]
Para el punto \( (0,1,1) \): [math] uv=1 [/math] ; [math] \frac{u^2-v^2}{2}=0 [/math]. Por lo que [math] u^2=v^2, uv=1 → u=v=z=1 [/math]
Sustitución en el gradiente en el punto \( (u, v, z) \)=\( (1, 1, 1) \).
Sabiendo que \( h_u, h_v, h_z \) corresponden a los factores de escala calculados en el punto 2.2
Sustituyendo en el gradiante: [math] \nabla f= \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}\vec{e_u} + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}
[/math]
Conclusión: el Gradiente en el punto de interés es [math]\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v}) [/math]
6 Divergencia de un campo vectorial
La divergencia de un campo vectorial cuantifica como cambia el volumen de un elemento de fluido al desplazarse bajo la influencia del campo. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas, esta se calcula mediante la siguiente expresión:
[math]\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{h_uh_vh_z}[\frac{\partial}{\partial{u}}({h_vh_zF_u})+\frac{\partial}{\partial{v}}(h_uh_zF_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(h_uh_vF_z)] [/math]
Divergencia del campo posición \(\vec{r}\)
Partiendo de la expresión anterior, se puede deducir la fórmula de la divergencia de un campo vectorial \(\vec{r}\) en coordenadas cilíndricas parabólicas. Al incorporar los factores de la escala correspondiente, la expresión final se obtiene de la siguiente manera:
[math]\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{u^2+v^2}[\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u)+\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(r_z)] [/math]
Las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):
[math] r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]
Derivada parcial respecto u
[math]\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u) = \frac{3u^2+v^2}{2}[/math]
Derivada parcial respecto v
[math]\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v) = \frac{u^2+3v^2}{2}[/math]
Derivada parcial respecto z
[math]\frac{\partial}{\partial{z}}r_z = 1[/math]
Sustituyendo cada una de las derivadas parciales en la expresión de la divergencia queda así:
[math]\nabla\cdot\vec r=\frac{1}{u^2+v^2}(\frac{3u^2+v^2}{2}+\frac{u^2+3v^2}{2})+1 = \frac{1}{u^2+v^2}·2(u^2+v^2)+1 = 2+1 = 3[/math]
Resultado final
[math]\nabla\cdot\vec r = 3[/math]
7 Rotacional de un campo vectorial
El rotacional es un operador vectorial que indica la tendencia de un campo vectorial a generar rotación en un punto. En coordenadas cilíndricas parabólicas, el rotacional de un campo vectorial se expresa mediante la siguiente fórmula:
[math]\nabla×\vec F = \frac{1}{h_uh_vh_z}\left|\begin{matrix} h_u\vec e_u & h_v\vec e_v & h_z\vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u\vec F_u & h_v\vec F_v & h_z\vec F_z \end{matrix}\right| [/math]
teniendo en cuenta los factores de escala:
[math] h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1. [/math]
y por tanto:
[math]h_uh_vh_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 · 1 = u^2+v^2[/math]
Sustituyendo los factores de escala, obtenemos la siguiente expresión:
[math]\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| [/math]
Rotacional del campo posición \(\vec{r}\)
Utilizando la expresión anterior y con las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\), calcularemos su rotacional
[math] r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]
Cálculo de la componente \( e_u \)
[math] e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v) [/math]
[math]
\frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial v}(z) = 0
[/math]
[math] \frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_v) = 0[/math] ;ya que la componente \( F_v \) no depende de z
[math]
e_u = 0
[/math]
Cálculo de la componente \( e_v \)
[math] e_u = \frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z) [/math]
[math]
\frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_u) = 0[/math] ;ya que la componente \( F_u \) no depende de z
[math] \frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial u}(z) = 0 [/math]
[math]
e_v = 0
[/math]
Cálculo de la componente \( e_z \)
[math] e_u = \frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u) [/math]
[math]
(h_vF_v) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{vu^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{vu^2 + v^3}{2}
[/math]
[math] \frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2 + v^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial u}(\frac{v^3}{2}) = vu [/math]
[math]
(h_uF_u) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{uv^2 + u^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{uv^2 + u^3}{2}
[/math]
[math] \frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2 + u^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial v}(\frac{u^3}{2}) = uv [/math]
[math]
e_z = vu - uv = 0
[/math]
Resultado final
[math]\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0[/math]
Es irrotacional, lo que significa que puede expresarse como el gradiente de un potencial escalar, es conservativo y no presenta rotación ni giros locales.
8 Superficies de nivel
8.1 ¿Cómo son estas superficies?
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:
- \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
- \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
- \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)
Las coordenadas cilíndricas parabólicas están definidas en términos de las cartesianas por:
[math]\begin{cases} x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\ x_2 &= uv\\ x_3 &= z \end{cases}[/math]
- Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección positiva del eje de \(x_1\), [math]\bar{i}[/math]
- Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección opuesta, es decir, en la dirección negativa del eje de \(x_1\),[math]\bar{(-i)}[/math]
- Las superficies con \(z\) constante forman planos paralelos al plano \(x_1Ox_2\), a "cota" \(z\)
8.2 Código MATLAB y representación gráfica
En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares \(f_1, f_2\) y \(f_3\):
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
z = linspace(0, 2, 50);
% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Superficie de nivel para f1
u_const=1; %fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2-V.^2)/2;
x2_f1 = u_const.*V;
x3_f1 = z;
figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;
% Superficie de nivel para f2
v_const=1; % fijamos v
x1_f2 =(U.^2-v_const.^2)/2 ;
x2_f2 = U.*v_const;
x3_f2 = z;
subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;
% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);
% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);
z_const = 1; % fijamos z
z_malla= z_const * ones(size(x1_malla));
subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
8.3 Superficies regladas
8.3.1 ¿Son las superficies de nivel superficies regladas?
Una superficie reglada es aquella que se puede describir a partir de una curva geométrica \(\gamma\), junto con segmentos de la longitud d y un vector director [math]\bar{w}[/math]. Una superficie se considera reglada si admite una parametrización de la forma:
Por lo tanto, las superficies de nivel de \(u\) y \(v\) son superficies regladas ya que son cilindros parabólicos, y también lo es la asociada a \(z\) por ser un plano horizontal generado por un vector.
- La parametrización de la superficie de nivel f1 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(u=1\) constante:
- La parametrización de la superficie de nivel f2 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(v=1\) constante:
- La parametrización de la superficie de nivel f3 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(z=1\) constante:
8.3.2 Uso de las superficies regladas en la ingeniería
Estas superficies tienen una gran importancia en numerosos campos, pero centrándonos en su aplicación en ingeniería, existen varias razones que las hacen especialmente útiles:
1. Flexibilidad de diseño: mediante el desplazamiento controlado de las rectas generatrices, es posible obtener superficies con diferentes curvaturas y geometrías, lo que amplía considerablemente las posibilidades de diseño.
2. Eficiencia constructiva: su naturaleza geométrica facilita su fabricación, ya que permite emplear técnicas que reducen tanto el coste como el tiempo de producción.
3. Estabilidad estructural: gracias a su forma y a su método de construcción, pueden soportar grandes cargas y resistir deformaciones. Esto las convierte en una excelente opción para la creación de estructuras sólidas, estables y duraderas.
En cuanto a sus aplicaciones prácticas en ingeniería, estas superficies se emplean en la fabricación de componentes aerodinámicos (como las alas de los aviones), y en los productos que requieren formas ergonómicas y estéticamente atractivas. También desempeñan un papel fundamental en la construcción de techos, fachadas y otras estructuras curvas.
9 Curvatura de la parábola
9.1 Curvatura
Cálculo
Dada la parábola
[math] y=-Ax+B; x ∈ [−1, 1] [/math]
[math] A=3 [/math] [math] B=1 [/math]
es decir
[math] y=-3x^2+1; x ∈ [−1, 1] [/math]
La fórmula de la función curvatura para cualquier parametrización γ(t) es:
[math] \kappa(x)=\frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{3/2}} [/math]
por lo que particularizando para nuestra parábola:
[math] x(t)=x^2 [/math]
[math] x(t)'=2x [/math]
[math] x(t)''=2 [/math]
[math] y(t)=-3x^2+1 [/math]
[math] y(t)'=-6x [/math]
[math] y(t)''=-6 [/math]
La curvatura es:
[math] \kappa(x)=\frac{|y''(x)|}{1+(y'(x))^2)^{3/2}} [/math]
[math] \kappa(x)=\frac{6}{1+(36x^2)^{3/2}} [/math]
Interpretación de la curvatura
La curvatura ‘‘κ(t)’’ de una curva indica que, en torno al punto ‘‘γ(t)’’ , la curva que mejor aproxima a ‘‘γ’’ es un circulo de curvatura ‘‘κ(t)’’ (y por tanto de radio ‘‘1/|κ(t)’’). Este círculo se conoce como círculo osculatriz.
9.2 Código MATLAB y representación gráfica
Este es el código de Matlab utilizado para dibujar la función de la curvatura:
% Parámetros
A = 3;
x = linspace(-1, 1, 100);
% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + 36*x.^2).^(3/2));
% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'g-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = -3x^2 + 1');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
Y esta, por ende, es la gráfica resultante:
.jpg)
Como bien se puede apreciar en la gráfica, la función de la curvatura alcanza su máximo valor en x=0. Luego, el punto de mayor curvatura será A(0,6). No existe mínimo de curvatura, ya que la curvatura tiende a 0 cuando el valor absoluto de x tiende a infinito.
10 Uso de la parábola en ingeniería
10.1 ¿Qué es la parabola?
La parábola puede describirse de diferentes formas según su el área de estudio:
1. En matemáticas, se considera una de las secciones cónicas, que se forma cuando un plano inclinado corta un cono de tal manera que su inclinación coincide con la generatriz del cono, obteniendo una curva cuya excentricidad es 1.
2. En dibujo técnico, se describe como el conjunto de puntos que están a la misma distancia de una recta, llamada directriz, y de un punto fijo situado frente a ella, llamado foco.
3. En geometría proyectiva, la parábola se entiende como la curva que resulta de la envolvente de las líneas que unen puntos correspondientes en una proyectividad.
Esta curva aparece con frecuencia en distintas áreas científicas, ya que su forma coincide con la de las gráficas de funciones cuadráticas. Un ejemplo común es la trayectoria ideal de un objeto que se mueve únicamente bajo la acción de la gravedad, la cual adopta una forma parabólica.
10.2 Aplicaciones en ingeniería civil y arquitectura
Una de las características más notables de la parábola es su habilidad para repartir las cargas de forma equilibrada y dirigir la energía hacia un punto concreto, el foco. Esto es posible gracias a su simetría y a la manera en que los vectores de fuerza actúan sobre sus puntos de apoyo.
A lo largo del tiempo, esta propiedad ha permitido desarrollar múltiples aplicaciones en el ámbito estructural y arquitectónico. Entre las más importantes se encuentran:
1. Puentes colgantes y arcos
1.1. Puentes colgantes. En estas estructuras, los cables principales adoptan una forma cercana a la de una parábola, aunque técnicamente responden al comportamiento de una catenaria. Gracias a esta geometría, las cargas se transmiten de manera eficiente desde el tablero hacia las torres. Un ejemplo emblemático es el Puente de la Torre en Londres.
1.2. Arcos parabólicos. Algunos puentes utilizan arcos con forma parabólica para sostener el tablero. Esta geometría mejora la estabilidad de la estructura y permite disminuir tanto el peso total como la cantidad de material requerido para su construcción. Un ejemplo destacado es el Puente de la Barqueta.
2. Techos y cúpulas
Gracias a su solidez y a la eficiencia con la que trabajan las cargas, las estructuras parabólicas resultan especialmente adecuadas para cubrir grandes áreas.
2.1. Estadios y auditorios. Además de repartir las cargas de manera uniforme, (tal como se mencionó anteriormente), este tipo de estructuras ofrece la ventaja adicional de dirigir las ondas sonoras hacia el centro. Esto mejora notablemente la acústica del espacio, como ocurre en el Estadio Hollywood Bowl en Los Ángeles.
2.2. Cúpulas arquitectónicas. Nuevamente, la capacidad de la forma parabólica para distribuir cargas permite que el peso se transfiera eficazmente hacia los pilares. Esto hace posibles construcciones más elevadas y visualmente atractivas, como iglesias o edificios emblemáticos.
3. Diseño de fachadas y estructuras ornamentales
3.1. Fachadas paramétricas. Otro uso de las geometrías parabólicas aparece en el diseño de fachadas que generan efectos visuales dinámicos mientras regulan la entrada de luz natural. Un ejemplo de ello es el Museo Soumaya en Ciudad de México.
3.2. Ventilación y luz natural. Las formas parabólicas permiten un flujo de aire e iluminación más eficiente, lo que contribuye a mejorar la sostenibilidad de los edificios.
4. Acueductos y canalizaciones
En la ingeniería hidráulica, el estudio de la parábola resulta fundamental para guiar y canalizar fluidos de manera eficiente.
4.1. Acueductos históricos. Los acuerdos romanos son un ejemplo clásico: empleaban curvas parabólicas para garantizar la estabilidad de la estructura y transportar agua a grandes distancias.
4.2. Diseños modernos. En la actualidad, los canales de agua aprovechan diseños parabólicos para optimizar el flujo, reduciendo la pérdida de energía causada por la fricción y la resistencia del agua.
5. Estructuras antisísmicas
Las estructuras parabólicas también se emplean en zonas sísmicas debido a su capacidad para disipar energía durante movimientos de tierra.
5.1. Absorción de energía. Los arcos parabólicos pueden deformarse de manera controlada durante un sismo, lo que permite que la estructura mantenga su integridad sin colapsar.
5.2. Diseños innovadores. En edificios modernos, se utilizan formas parabólicas para reforzar elementos clave, reduciendo así los daños ocasionados por lo terremotos.
10.3 Otras aplicaciones en ingeniería
Una de las características esenciales de la parábola es su poder de reflexión: cualquier rayo que llegue de forma paralela a su eje se desvía de tal manera que termina pasando por su foco.
Esto explica su uso habitual en tecnologías destinadas a concentrar y dirigir la energía, lo que permite múltiples aplicaciones, entre las cuales se encuentran:
1. Antenas parabólicas y radiotelescopios
Para captar y concentrar ondas electromagnéticas en su foco, las antenas parabólicas emplean la forma de una parábola. Esta tecnología es fundamental en las comunicaciones satelitales y en la radioastronomía, ya que permite recibir señales provenientes de grandes distancias.
2. Faros y linternas
Asimismo, esta forma se utiliza en objetos cotidianos como los faros de los vehículos y las linternas, donde se coloca una fuente luminosa en el foco del paraboloide. La luz generada se refleja en la superficie parabólica y se proyecta en un haz paralelo, lo que mejora tanto su alcance como su dirección.
3. Concentradores de energía solar
En los sistemas solares, los paraboloides reúnen los rayos del sol en un punto, alcanzando temperaturas muy elevadas que pueden aprovecharse para producir energía térmica o eléctrica. Esta técnica se emplea en plantas solares de gran escala.
4. Micrófonos parabólicos
Empleados tanto en la industria del entretenimiento como en la investigación, los micrófonos parabólicos dirigen las ondas sonoras hacia un micrófono situado en el foco del paraboloide, lo que permite amplificar los sonidos. Gracias a ello, es posible captar con claridad ruidos provenientes de una dirección determinada.
11 Bibliografía
https://dma.aq.upm.es/profesor/rosado_e/Leccion_Regladas.pdf información sobre las superficies regladas
https://prezi.com/p/rueykj5pmi5_/superficie-reglada/ información sobre las aplicaciones en la ingeniería
https://www.lifeder.com/aplicaciones-parabola-vida/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Libro%3A_Algebra_universitaria_y_trigonometria_(Beveridge)/05%3A_Secciones_C%C3%B3nicas_-_C%C3%ADrculo_y_Par%C3%A1bola/5.03%3A_Aplicaciones_de_la_Par%C3%A1bola información sobre el uso de la parábola en ingeniería
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Libro%3A_Calculo_elemental_(Corral)/07%3A_Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADtica_y_Curvas_Planas/7.02%3A_Par%C3%A1bolas información sobre el uso de la parábola en ingeniería
https://matematix.org/parabola-como-lugar-geometrico/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica) información sobre el uso de la parábola en ingeniería
12 Póster
Archivo:Coordenadas Cilíndricas Parabólicas Grupo51 ACGL.pdf
