Torres de Enfriamiento Hiperbólicas (Grupo 15, Retiro)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Torres de Enfriamiento Hiperbolicas Grupo 15 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2025-26 |
| Autores | Miguel Cervigón, Ernesto Irazabal, Alejandro Barranquero, Guillermo Monreal |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
- 1 Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas
- 2 Modelo geométrico del hiperboloide
- 3 Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo
- 4 Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica
- 5 Análisis en profundidad de la presión del viento
- 6 Comparaciòn de la torre hiperbólica y cilíndrica
- 7 Flujo de aire y convección
- 7.1 ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical)
- 7.2 Divergencia del campo de velocidades
- 7.3 Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos)
- 7.4 Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z
- 7.5 Cálculo de la potencia disipada
- 7.6 Análisis del número de Reynolds en el flujo
1 Introducción a las torres de enfriamiento hiperbólicas
Las torres de enfriamiento constituyen un elemento distintivo en el ámbito energético global, teniendo como principal objetivo la disipación de calor producido por centrales termoeléctricas y nucleares. La forma hiperbólica hace que la refrigeración se produzca mediante un tiro natural, aspirando el aire frio y expulsando el calor, sin necesidad de ventiladores, su geometría ofrece ademas una gran resistencia al viento.
El diseño hiperbólico para torres de enfriamiento se introdujo en la década de 1950, cuando la industria energética buscaba soluciones más eficientes para la refrigeración en centrales térmicas y nucleares. Antes de esto, se utilizaban estructuras cilíndricas, que requerían grandes cantidades de material y ofrecían menor estabilidad frente al viento. Desde entonces, este diseño se convirtió en el estándar mundial, consolidándose como símbolo de la ingeniería moderna en el sector energético.
2 Modelo geométrico del hiperboloide
Una torre de enfriamiento hiperbólica, se caracteriza por su altura máxima [math]H[/math], su radio
minimo [math]Rmin[/math], y su radio máximo [math]Rmax[/math] alcanzado en la base de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura [math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math] , y se modela con la ecuación de un hiperboloide de revolución de una hoja:
Donde
y
2.1 Ecuación del hiperboloide y parámetros
Para poder definir el hiperboloide es imprescindible hallar los parámetros a, c y z0, para ello nos apoyaremos en el cambio de coordenadas cilíndricas:
La ecuación de un hiperboloide en coordenadas cartesianas es:
Sabiendo que en coordenadas cilíndricas x2 + y2 = ρ2, la ecuación se reescribira de la siguiente manera:
- Se conocen los siguientes datos:
Centro en z0 = 100 m, altura total H = 150 m, radio mínimo ρmin = 30 m, radio máximo ρmax = 55 m.
- Empezaremos calculando el paremetro a:
Sabemos que en el plano z = z0, el segundo término de la ecuación:
se anula porque (z - z0) = 0, lo que implica que estamos en la sección más estrecha del hiperboloide. Por tanto, la ecuación se simplifica a:
Sustituimos ρ = 30 m:
Con el parámetro a ya calculado, el cálculo del parámetro c se facilita enormemente:
Con a = 30 m y ρ = 55 m:
Despejamos:
Calculamos con z - z0 = 100 m:
- Los parametros obtenidos tras los calculos son los siguientes:
2.2 Representación gráfica de la superficie parametrizada
Primero se establecen los parámetros y sus rangos (definimos [math]v=\dfrac{z-z_0}{c}[/math]), después se escriben las ecuaciones paramétricas (despejando el radio en coordenadas cilíndricas) y, por último, se grafica la superficie.
</> Script de Modelado
% 1) Parámetros
a = 30; % radio mínimo
c = 65.1; % parámetro vertical
z0 = 100; % centro del hiperboloide
H = 150; % altura total
% 2) Rangos paramétricos (u: ángulo, v: altura normalizada)
u = linspace(0, 2*pi, 100); % ángulo
v_min = (0 - z0)/c; % para z = 0
v_max = (H - z0)/c; % para z = H
v = linspace(v_min, v_max, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% 3) Ecuaciones paramétricas (radio despejado en coord. cilíndricas)
% r(v) = a*sqrt(1+v^2), z(v)=z0+c*v
X = a * sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a * sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c * V;
% 4) Gráfica
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z);
axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Torre de Enfriamiento Hiperbólica');
shading faceted;
% --- Opcional (activar para un acabado más suave) ---
% shading interp; colormap(turbo); camlight headlight; lighting gouraud;
2.2.1 🟧 Puntos clave
- Parametrización: [math]r(v)=a\sqrt{1+v^2},\; z(v)=z_0+c\,v,\; (x,y)=(r\cos u,\; r\sin u)[/math].
- Rangos: [math]u\in[0,2\pi][/math], [math]v\in\big[(0-z_0)/c,\,(H-z_0)/c\big][/math].
- Interpretación: para [math]|v|[/math] grande, el radio crece y aparece la silueta hiperboloidal (garganta en [math]v=0[/math]).
3 Torres de enfriamiento hiperbólicas famosas en el mundo
A lo largo del mundo existen una serie de famosas centrales nucleares con sus propias torres de enfriamiento hiperbólicas, las más destacadas son las siguientes:
- Central nuclear de Cofrentes (España)
Se sitúa en la confluencia de los ríos Juncar y Cabriel. Sus dos torres de enfriamiento de tiro natural son vitales porque la central opera en un ciclo cerrado para minimizar el impacto térmico en el río y permitir la vida en él su geometría está dictada por la necesidad de enfriamiento frente a las altas temperaturas de la zona.
- Central nuclear de Kashiwazaki-Kariwa:
La central nuclear más grande del mundo en capacidad instalada (unos 8000MW). La estructura hiperbólica de sus torres de enfriamiento han permitido que resista terremotos de magnitud 6.8 en la escala de Richter.
- Central térmica de Niederaussem (Alemania):
La principal característica de dicha central es que alberga la torre de enfriamiento más alta del mundo (200 metros). La forma hiperbólica es la única viable para una estructura de tal magnitud, ya que una cilíndrica no aguantaría los momentos de vuelco. Esta torre también tiene funcionalidad como “chimenea”. Los gases de combustión desulfurados se inyectan en la atmósfera, de forma que la estructura se usa para dos cosas a la vez, enfriar y expulsar gases tratados.
- Las torres de Didcot (Reino Unido):
La demolición de esta estructura mostró con claridad la superioridad de esta forma. Al detonar los explosivos en la base, las torres se derrumbaron sobre su propia planta, mostrando que no depende de los materiales sino de su forma.
[math]\textbf{Otras estructuras hiperbólicas}[/math]
1. Torre Shabolovka (Moscú)
Pese a la escasez de acero en la Rusia post revolucionaria, la gran eficiencia de las torres hiperbólicas a nivel de materiales permitió su construcción. La torre de comunicaciones de Shújov (coloquialmente conocida como torre Shabolovka) fue la primera torre hiperbólica en construirse.
2. Torre de Cantón (Guangzhou, China):
Con 600 metros de altura. Es un hiperboloide generado por columnas de acero rectas pero inclinadas, creando una cintura estrecha. Esta forma se utiliza para resistencia sísmica y de tifones.
4 Superioridad de la forma hiperbólica ante la cilíndrica
Para abordar esto con la profundidad requerida, se contrastará desde los siguientes dos aspectos físicos: estabilidad estructural, resistencia al viento y termodinámica.
La carga crítica para una torre de enfriamiento no es su propio peso sino la presión dinámica del viento, cuya velocidad viene definida por la ley de potencia:
Y la presión dinámica del viento:
[math]\textbf{Problemas del cilindro}[/math]
El cilindro tiene varias desventajas frente a cargas laterales. Al ser una superficie con curvatura nula, no aporta rigidez geométrica, por lo que depende del grosor del material para resistir esfuerzos. Cuando actúa el viento, la sección circular puede deformarse en una elipse, lo que obliga a usar paredes muy gruesas o refuerzos adicionales. Además, su diámetro constante limita la estabilidad frente al vuelco, ya que la base no ofrece una superficie amplia.
El hiperboloide, en cambio, presenta curvatura negativa, lo que le da ventajas importantes. Su doble curvatura aporta rigidez, reduciendo esfuerzos de flexión sin aumentar el espesor. También desvía las fuerzas hacia las generatrices y la base, mejorando la resistencia al pandeo. La diferencia entre el radio mayor y el menor crea una base más amplia, aumentando la estabilidad y reduciendo el consumo de material.
Desde el punto de vista aerodinámico, el hiperboloide reduce la presión del viento; los cálculos muestran que soporta hasta un 40 % menos carga lateral que un cilindro de igual altura y radio máximo. Además, su forma favorece corrientes ascendentes de aire, útiles para enfriamiento mediante el efecto Venturi y el principio de Bernoulli.
5 Análisis en profundidad de la presión del viento
5.1 Representación del campo escalar P(z)
El viento sopla en dirección:
[math] \vec{v} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{i} + \vec{j}), \qquad \|\vec{v}\| = 1 [/math]
</> Script de Modelado
%% Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal (media expuesta)
clear; clc; close all;
% Parámetros del viento (ley de potencia)
V0 = 18; % velocidad a zref [m/s]
zref = 10; % altura de referencia [m]
alpha = 1/7; % exponente terreno abierto
rho_air = 1.2; % densidad del aire [kg/m^3]
% Geometría hiperboloide (parámetros)
a = 30; % radio mínimo (garganta) [m]
c = 65.1; % parámetro vertical [m]
z0 = 100; % centro del hiperboloide [m]
H = 150; % altura total [m]
% Mallado paramétrico (media torre expuesta al viento)
u = linspace(0, pi, 120); % semicarcasa (mitad expuesta)
v_min = (0 - z0)/c;
v_max = (H - z0)/c;
v = linspace(v_min, v_max, 240);
[U,V] = meshgrid(u, v);
% Coordenadas paramétricas de la superficie
X = a .* sqrt(1 + V.^2) .* cos(U);
Y = a .* sqrt(1 + V.^2) .* sin(U);
Z = z0 + c .* V;
% Campo de velocidad y presión dinámica
Vwind = V0 .* (Z ./ zref) .^ alpha; % ley de potencia: V(z)
Pwind = 0.5 .* rho_air .* Vwind.^2; % presión: P = 1/2 rho V^2
%Punto de máxima presión
[maxP, idx] = max(Pwind(:));
[rowMax, colMax] = ind2sub(size(Pwind), idx);
Xmax = X(rowMax, colMax);
Ymax = Y(rowMax, colMax);
Zmax = Z(rowMax, colMax);
%Gráfica de la superficie con mapa de presión
figure('Color','w');
surf(X, Y, Z, Pwind, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Mapa de presión del viento sobre la torre hiperboloidal');
colormap(jet); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P(z) [Pa]'; view(35,25)
%Resaltado del máximo
hold on;
plot3(Xmax, Ymax, Zmax, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'b', 'MarkerSize', 9);
text(Xmax, Ymax, Zmax + 5, sprintf('Max P = %.1f Pa', maxP), ...
'Color', 'k', 'FontSize', 10, 'HorizontalAlignment', 'center');
5.1.1 🔍 Claves rápidas
- Ley de potencia: [math]V(z)=V_0\,(z/z_{\mathrm{ref}})^{\alpha}[/math] ⇒ presión crece con la altura: [math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math].
- Mitad expuesta: el mallado usa [math]u\in[0,\pi][/math] para representar solo la cara al viento.
- Máximo de presión: marcado con punto azul; coincide con todas las cotas más altas donde [math]V(z)[/math] es mayor.
5.2 Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta de la torre hiperboloidal
</> Script de Modelado
%% Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)
clear; clc; close all;
%Parámetros de la torre
H = 150;
Rmax = 55; Rmin = 30;
h = (2/3)*H; a = Rmin; z0 = h;
c = h / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro vertical del hiperboloide
%V(z) y P(z) (ley de potencia)
V = @(z) 18*(z./10).^(1/7); % z > 0
rho = 1.204; % densidad aire [kg/m^3]
Pfun = @(z) 0.5*rho.*(V(z)).^2; % presión dinámica
%Malla paramétrica (theta, z) completa
nt = 120; nz = 220;
theta = linspace(0,2*pi,nt);
z = linspace(0, H, nz);
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); % tamaño: nz x nt
%Radio r(z) y coordenadas cartesianas (transpuestas a nt x nz)
r = a * sqrt(1 + (Z - z0).^2 ./ c^2); % nz x nt
X = (r .* cos(TH))';
Y = (r .* sin(TH))';
Zt = Z'; % nt x nz
%Presión P(z) (uniforme en theta para cada z)
Pz = Pfun(Zt); % nt x nz
%Normal exterior mediante nivel G(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/a^2 - (z-z0)^2/c^2 - 1
Gx = 2*X./a^2;
Gy = 2*Y./a^2;
Gz = -2*(Zt - z0)./c^2;
Nmag = sqrt(Gx.^2 + Gy.^2 + Gz.^2);
Nx = Gx ./ Nmag; Ny = Gy ./ Nmag; Nz = Gz ./ Nmag; % normal unitaria
%Dirección del viento (horizontal)
% Usamos viento con azimut 45° (NE) equivalente a w = (i + j)/sqrt(2)
az = deg2rad(45);
w_hat = [cos(az); sin(az); 0]; % vector unitario
%Proyección sobre barlovento: n · w_hat (nt x nz)
dotNW = Nx*w_hat(1) + Ny*w_hat(2) + Nz*w_hat(3);
% Máscara mitad expuesta: puntos donde F = -P n empuja hacia dentro => n·w_hat < 0
mask_windward = (dotNW < 0);
% Presión efectiva en barlovento (proyección escalar, no-negativa)
% P_eff = P(z) * max(0, - n·w_hat)
Peff = Pz .* max(0, -dotNW);
% Enmascarar sotavento con NaN para visualizar sólo la mitad expuesta
Peff(~mask_windward) = NaN;
% Gráfica: superficie coloreada por P_eff
figure('Color','w');
surf(X, Y, Zt, Peff, 'EdgeColor', 'none'); axis equal
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)'); zlabel('Z (m)');
title('Presión efectiva del viento sobre la mitad expuesta (barlovento)');
colormap(turbo); cb = colorbar; cb.Label.String = 'P_{\rm eff}(z,\theta) [Pa]'; view(35,25)
% Opcional: contornos de isopresión efectiva sobre la superficie (más legible desde proyección)
% Para una proyección X-Z (costado), recalculamos la cara visible con \theta ~ [0, \pi]
% (Descomente si deseas añadir el panel adicional)
%{
figure('Color','w');
imagesc(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff'); set(gca,'YDir','normal'); axis image tight
colormap(turbo); cb2 = colorbar; cb2.Label.String = 'P_{\rm eff} [Pa]';
title('Proyección X-Z: isopresiones efectivas (barlovento)');
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]'); hold on
% contornos
levels = 12;
contour(linspace(-Rmax,Rmax,nt), z, Peff', levels, 'LineColor',[0 0 0], 'LineWidth',0.7);
%}
5.2.1 🎈 Claves rápidas
- Mitad expuesta: se visualiza barlovento mediante [math]\{\,\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}}\lt0\,\}[/math].
- Presión efectiva: [math]P_{\rm eff}(z,\theta)=P(z)\,\max(0,\,-\mathbf{n}\cdot\hat{\mathbf{w}})[/math], mayor donde la normal “mira” al viento.
- Altura: al crecer [math]V(z)=18\,(z/10)^{1/7}[/math], también crece [math]P(z)=\tfrac{1}{2}\rho V(z)^2[/math], destacando cotas altas.
5.3 Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie
Queremos la fuerza total debida al viento sobre la mitad de la superficie lateral expuesta de la torre.
- El viento genera una presión que solo depende de la altura:
[math] V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha, \quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17. [/math]
- La presión dinámica del viento es:
[math] P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2, [/math]
Donde se toma como densidad del aire estandar, [math]\rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3[/math]
Como se pide “integrar la presión sobre la mitad de la superficie expuesta”, matemáticamente es una integral de superficie de un campo escalar:
[math] F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS. [/math]
A partir de la geometría y parametrización de la torre, un hiperboloide de revolución de una hoja, con ecuación:
[math] \frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1, [/math]
y con:
- Altura total: [math]H = 150\,\text{m}[/math].
- Radio máximo en la base: [math]R_{\max} = 55\,\text{m}[/math].
- Radio mínimo (estrangulamiento): [math]R_{\min} = 30\,\text{m}[/math], a la altura
- Elegimos [math]z_0 = h = 100\,\text{m}[/math] y [math]a = R_{\min} = 30\,\text{m}[/math].
Obtendremos el radio en función de la altura (coordenadas cilíndricas, [math]\rho[/math]):
[math] \rho(z) = \sqrt{x^2 + y^2} = a\,\sqrt{1 + \frac{(z - z_0)^2}{c^2}}. [/math]
Obtuvimos en el primer apartado los valores de; "a" y "c", siendo [math]c \approx 65{,}08\,\text{m}[/math]. Con los valores numéricos: [math] H = 150,\quad z_0 = 100,\quad a = 30,\quad R_{\max} = 55, [/math]
Ahora parametrizamos la superficie de revolución usando [math](\theta,z)[/math] como parámetros:
[math] \mathbf r(\theta,z) = \bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ z\bigr). [/math]
- [math]z[/math] recorre la altura: [math]0 \le z \le H[/math].
- [math]\theta[/math] recorre el ángulo alrededor del eje. Para toda la torre [math]0 \le \theta < 2\pi[/math].
Para la mitad expuesta al viento tomamos un intervalo de longitud de media circunferencia por ejemplo: [math] -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}, [/math] que corresponde a la “media circunferencia” que mira hacia el viento.
El elemento de área es:
[math] dS = \bigl|\mathbf r_\theta\times \mathbf r_z\bigr|\,d\theta\,dz. [/math]
Calculamos las derivadas parciales:
- Derivada respecto a [math]\theta[/math]:
[math] \mathbf r_\theta = \bigl(-\rho(z)\sin\theta,\ \rho(z)\cos\theta,\ 0\bigr). [/math]
- Derivada respecto a [math]z[/math]:
[math] \mathbf r_z = \bigl(\rho'(z)\cos\theta,\ \rho'(z)\sin\theta,\ 1\bigr), [/math]
El producto vectorial (simplificado) es:
[math] \mathbf r_\theta \times \mathbf r_z = \bigl(\rho(z)\cos\theta,\ \rho(z)\sin\theta,\ -\rho(z)\rho'(z)\bigr). [/math]
Su módulo:
[math] \bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr| = \sqrt{\rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^2(\rho')^2} = \rho(z)\sqrt{1 + \rho'(z)^2}. [/math]
Por lo tanto:
[math] dS = \rho(z)\,\sqrt{1 + \rho'(z)^2}\,d\theta\,dz. [/math]
Esta es la fórmula general del área de una superficie de revolución.
La derivada de [math]\rho(z)[/math] a partir de la fórmula del hiperboloide es:
[math] \rho(z) = a\sqrt{1 + \frac{(z-z_0)^2}{c^2}} \;\Longrightarrow\; \rho'(z) = \frac{a(z-z_0)}{c^2\sqrt{1 + \dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}}}. [/math]
Finalmente la Integral de la fuerza total se define como:
[math] F_{\text{total}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS = \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2} P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz. [/math]
Como [math]P(z)[/math] no depende de [math]\theta[/math], la integral en [math]\theta[/math] se puede sacar:
[math] \int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \pi. [/math]
Por tanto:
[math] F_{\text{total}} = \pi \int_0^{H} P(z)\,\rho(z)\,\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz, [/math]
Área de la mitad de la torre y fuerza por unidad de superficie
La superficie de la mitad de la torre expuesta al viento es la integral de [math]1[/math] sobre esa superficie:
[math] A_{\text{media}} = \iint_{S_{\text{media}}} dS = \int_0^H \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,d\theta\,dz = \pi\int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz. [/math]
La fuerza media por unidad de superficie (presión media) es:
[math] P_{\text{media}} = \frac{F_{\text{total}}}{A_{\text{media}}} = \frac{\displaystyle \int_0^H P(z)\,\rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz} {\displaystyle \int_0^H \rho(z)\sqrt{1+\rho'(z)^2}\,dz}. [/math]
Obsérvese que el factor [math]\pi[/math] se simplifica.
Para realizar los cálculos de estas integrales se usa una aproximación, con ayuda de Matlab por el método Simpson:
%% Torre de enfriamiento hiperbólica: fuerza total del viento
clear; clc;
%% Parámetros físicos del viento
rho_air = 1.204; % densidad del aire (kg/m^3)
V0 = 18; % velocidad de referencia (m/s)
zref = 10; % altura de referencia (m)
alpha = 1/7; % exponente de la ley de potencia
% Campo de presión P(z)
P = @(z) 0.5 * rho_air * V0.^2 .* (z./zref).^(2*alpha); % Pa
%% Geometría de la torre hiperbólica
H = 150; % altura total (m)
Rmax = 55; % radio máximo (m)
Rmin = 30; % radio mínimo (m)
a = Rmin; % parámetro a del hiperboloide
z0 = 2/3 * H; % altura del “cuello”
c = z0 / sqrt((Rmax^2 / a^2) - 1); % parámetro c del hiperboloide
% Radio de la torre en función de z
rhoFun = @(z) a .* sqrt(1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2);
% Derivada del radio respecto a z
drhoFun = @(z) a .* (z - z0) ./ (c.^2 .* sqrt(1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2));
%% Elemento de área y fuerza total
% Densidad de área (sin integrar en theta): rho(z)*sqrt(1+rho'(z)^2)
densArea = @(z) rhoFun(z) .* sqrt(1 + drhoFun(z).^2);
% Área de la mitad de la torre (theta de -pi/2 a pi/2 da un factor pi)
A_hip = pi * integral(densArea, 0, H);
% Integrando de la fuerza total: P(z)*densArea(z)
F_integrand = @(z) P(z) .* densArea(z);
% Fuerza total del viento sobre la mitad de la torre
F_total = pi * integral(F_integrand, 0, H);
% Presión media sobre la superficie
P_media = F_total / A_hip;
%% Mostrar resultados
fprintf('Área mitad torre hiperbólica: A_hip = %.3e m^2\n', A_hip);
fprintf('Fuerza total del viento: F_total = %.3e N\n', F_total);
fprintf('Presión media: P_media = %.3f Pa\n', P_media);Se obtiene aproximadamente:
- Fuerza total sobre la mitad de la torre:
[math] F_{\text{total}} \approx 5{,}7\times 10^6\ \text{N}. [/math]
- Área de la mitad de la torre:
[math] A_{\text{media}} \approx 1{,}8\times 10^4\ \text{m}^2. [/math]
- Fuerza por unidad de superficie (presión media):
[math] P_{\text{media}} \approx 3{,}1\times 10^2\ \text{Pa}. [/math]
5.4 Cálculo de la fuerza total y la fuerza por unidad de superficie en el cilindro
Ahora comparamos con una torre cilíndrica de radio [math]R = 55\,\text{m}[/math] y altura [math]H = 150\,\text{m}[/math]. De nuevo consideramos solo la mitad de la superficie lateral expuesta al viento.
Mantenemos la misma ley de viento y el mismo campo de presión dinámica que en el caso del hiperboloide:
[math] V(z) = V_0 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^\alpha, \quad V_0 = 18\,\text{m/s},\ z_{\text{ref}}=10\,\text{m},\ \alpha=\tfrac17, [/math]
[math] P(z) = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V(z)^2 = \tfrac12\,\rho_{\text{aire}}\,V_0^2 \left(\frac{z}{z_{\text{ref}}}\right)^{2\alpha}, \qquad \rho_{\text{aire}} \approx 1{,}204\ \text{kg/m}^3. [/math]
Como antes, la fuerza total sobre la mitad del cilindro es la integral de superficie del campo escalar [math]P(z)[/math]:
[math] F_{\text{total}}^{\text{(cil)}} = \iint_{S_{\text{media}}} P(z)\,dS. [/math]
- Parametrización del cilindro y elemento de área
En coordenadas cartesianas, un cilindro de radio constante [math]R[/math] y altura [math]H[/math] puede parametrizarse como:
[math] \mathbf r(\theta,z) = \bigl(R\cos\theta,\ R\sin\theta,\ z\bigr). [/math]
Calculamos las derivadas parciales:
- Derivada respecto a [math]\theta[/math]:
[math] \mathbf r_\theta = \bigl(-R\sin\theta,\ R\cos\theta,\ 0\bigr). [/math]
- Derivada respecto a [math]z[/math]:
[math] \mathbf r_z = \bigl(0,\ 0,\ 1\bigr). [/math]
El producto vectorial es:
[math] \mathbf r_\theta \times \mathbf r_z = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ -R\sin\theta & R\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \bigl(R\cos\theta,\ R\sin\theta,\ 0\bigr). [/math]
Su módulo:
[math] \bigl|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr| = \sqrt{R^2\cos^2\theta + R^2\sin^2\theta + 0} = R. [/math]
Por tanto, el elemento de área en la superficie lateral del cilindro es muy sencillo:
[math] dS = R\,d\theta\,dz. [/math]
- Fuerza total del viento sobre la mitad del cilindro
Sustituimos [math]dS[/math] en la integral de fuerza:
[math] F_{\text{total}}^{\text{(cil)}} = \int_{z=0}^{H} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2} P(z)\,R\,d\theta\,dz. [/math]
Como [math]P(z)[/math] no depende de [math]\theta[/math], podemos separar la integral angular:
[math] \int_{-\pi/2}^{\pi/2} R\,d\theta = R\left[\theta\right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = R\,\pi. [/math]
Así, la fuerza total queda:
[math] F_{\text{total}}^{\text{(cil)}} = \pi R \int_0^{H} P(z)\,dz. [/math]
Es decir, en el cilindro la fuerza total es simplemente el radio [math]R[/math] multiplicado por [math]\pi[/math] y por la integral en altura de la presión.
- Área de la mitad del cilindro y presión media
La superficie de la mitad del cilindro expuesta al viento es:
[math] A_{\text{media}}^{\text{(cil)}} = \iint_{S_{\text{media}}} dS = \int_0^{H} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} R\,d\theta\,dz = \int_0^{H} R\pi\,dz = \pi R H. [/math]
Con los valores numéricos:
[math] R = 55\,\text{m},\quad H = 150\,\text{m} \;\Longrightarrow\; A_{\text{media}}^{\text{(cil)}} = \pi \cdot 55 \cdot 150. [/math]
La **fuerza media por unidad de superficie** (presión media) en el cilindro es:
[math] P_{\text{media}}^{\text{(cil)}} = \frac{F_{\text{total}}^{\text{(cil)}}}{A_{\text{media}}^{\text{(cil)}}} = \frac{\pi R \displaystyle\int_0^{H} P(z)\,dz}{\pi R H} = \frac{1}{H}\int_0^{H} P(z)\,dz. [/math]
Es decir, en el cilindro la presión media sobre la superficie expuesta es simplemente la **media en altura** del campo de presión [math]P(z)[/math].
- Cálculo numérico con Matlab para el cilindro
Usamos el mismo campo de presión [math]P(z)[/math] y calculamos numéricamente las integrales con Matlab:
%% Torre cilíndrica: fuerza total del viento
clear; clc;
%% Parámetros físicos del viento
rho_air = 1.204; % densidad del aire (kg/m^3)
V0 = 18; % velocidad de referencia (m/s)
zref = 10; % altura de referencia (m)
alpha = 1/7; % exponente de la ley de potencia
% Campo de presión P(z)
P = @(z) 0.5 * rho_air * V0.^2 .* (z./zref).^(2*alpha); % Pa
%% Geometría del cilindro
H = 150; % altura total (m)
R = 55; % radio del cilindro (m)
%% Elemento de área y fuerza total en la mitad del cilindro
% Densidad de área (sin integrar en theta): para el cilindro es constante
densArea_cil = @(z) R * ones(size(z)); % dS/dtheta/dz = R
% Área de la mitad del cilindro (factor pi por integrar theta de -pi/2 a pi/2)
A_cil = pi * integral(densArea_cil, 0, H); % debería dar pi*R*H
% Integrando de la fuerza total: P(z)*densArea_cil(z)
F_integrand_cil = @(z) P(z) .* densArea_cil(z);
% Fuerza total del viento sobre la mitad del cilindro
F_total_cil = pi * integral(F_integrand_cil, 0, H);
% Presión media sobre la superficie de la mitad del cilindro
P_media_cil = F_total_cil / A_cil;
%% Mostrar resultados
fprintf('Área mitad cilindro: A_cil = %.3e m^2\n', A_cil);
fprintf('Fuerza total (cilindro): F_total = %.3e N\n', F_total_cil);
fprintf('Presión media (cilindro): P_media = %.3f Pa\n', P_media_cil);
Se obtienen los siguientes resultados:
- Fuerza total del viento sobre la mitad del cilindro:
[math] F_{\text{total}}^{\text{(cil)}} \approx 8{,}5\times 10^6\ \text{N}. [/math]
- Área de la mitad del cilindro:
[math] A_{\text{media}}^{\text{(cil)}} \approx 2{,}6\times 10^4\ \text{m}^2. [/math]
- Fuerza por unidad de superficie (presión media):
[math] P_{\text{media}}^{\text{(cil)}} \approx 3{,}3\times 10^2\ \text{Pa}. [/math]
6 Comparaciòn de la torre hiperbólica y cilíndrica
7 Flujo de aire y convección
7.1 ¿Cómo acelera el aire al subir? (Sección Vertical)
Para entender el comportamiento del aire, primero "cortamos" la torre por la mitad. Nuestro objetivo es visualizar dos fenómenos físicos: el perfil parabólico de la velocidad (más rápido en el centro) y la aceleración vertical debido al calentamiento.
</> Script de Modelado
%% Sección vertical de la torre hiperboloidal y campo de velocidad v_z(x,z)
clear; close all; clc;
%% 1. Definimos la geometría de la torre (La "Piel")
H = 150;
Rmax = 55;
Rmin = 30;
z0 = 100;
% Calculamos la curvatura 'c' necesaria para unir los puntos
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
%% 2. Definimos la física del flujo (El "Aire")
vmax = 4;
% Fórmula de velocidad: Perfil parabólico * Aceleración vertical
vz_fun = @(x,z) vmax .* ( 1 - (abs(x).^2) ./ (rho_torre(z).^2) ) .* (z./H).^(0.6);
%% 3. Creamos la malla y calculamos
Nx = 161; Nz = 161;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx);
z = linspace(0, H, Nz);
[X,Z] = meshgrid(x, z);
% Filtramos: ¿Qué puntos están DENTRO de la torre?
RHOz = rho_torre(Z);
inside = abs(X) <= RHOz;
Vz = vz_fun(X, Z);
Vz(~inside) = NaN; % Hacemos transparente lo de fuera
%% 4. Representación Gráfica
figure('Color','w');
% Mapa de calor
h = imagesc(x, z, Vz);
set(h, 'AlphaData', ~isnan(Vz));
set(gca,'YDir','normal');
colormap(turbo); colorbar;
hold on;
% Dibujamos las paredes
plot( rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
plot(-rho_torre(z), z, 'k-', 'LineWidth', 2);
% Añadimos flechas vectoriales
step = 8;
quiver(X(1:step:end, 1:step:end), Z(1:step:end, 1:step:end), ...
zeros(size(Vz(1:step:end, 1:step:end))), ...
Vz(1:step:end, 1:step:end), 'k', 'LineWidth', 1);
title('Perfil de Velocidad Vertical');
7.1.1 🔍 Lo que nos dicen los datos:
Esta gráfica revela tres comportamientos clave del fluido:
- Efecto Capa Límite: En las paredes (líneas negras), el color es azul oscuro (velocidad 0). El aire se frena por fricción.
- Núcleo Rápido: En el centro es donde el aire viaja más rápido (colores rojos/naranjas).
- Aceleración: A medida que subimos (eje vertical), los colores se vuelven más cálidos. El aire gana velocidad conforme asciende.
2. La geometría cambiante (Animación de Cortes)
Una imagen estática no hace justicia a la geometría hiperbólica. En esta simulación, recorremos la torre desde el suelo hasta la cima para observar cómo el estrangulamiento de la garganta afecta al área de paso del flujo.
</> Script de Animación
%% Animación 3D del campo de velocidad
clear; close all; clc;
%% Configuración inicial
H = 150; Rmax = 55; Rmin = 30; z0 = 100;
vmax = 4;
% Definimos funciones anónimas para geometría y velocidad
c = sqrt( (z0^2) / ( (Rmax^2 / Rmin^2) - 1 ) );
rho_torre = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ c.^2 );
vz_fun = @(rho,z) vmax .* (1 - (rho.^2) ./ (rho_torre(z).^2)) .* (z./H).^(0.6);
%% Preparamos el escenario 3D
figure('Color','w');
axis([-Rmax Rmax -Rmax Rmax 0 H]);
view(45,25); grid on; hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
% Dibujamos la torre "fantasma" (transparente) para referencia
theta = linspace(0,2*pi,50);
zt = linspace(0,H,50);
[TH,ZT] = meshgrid(theta,zt);
RT = rho_torre(ZT);
surf(RT.*cos(TH), RT.*sin(TH), ZT, 'FaceAlpha',0.1, 'EdgeColor','none', 'FaceColor','k');
%% Bucle de Animación
frames = 50;
z_steps = linspace(0, H, frames);
% Creamos la malla base para el plano móvil
x = linspace(-Rmax,Rmax,80);
[X,Y] = meshgrid(x,x);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);
for k = 1:frames
current_z = z_steps(k);
current_R = rho_torre(current_z);
% Calculamos velocidad en este corte
V = vz_fun(RHO, current_z);
V(RHO > current_R) = NaN; % Recortamos forma circular
% Dibujamos el plano
h = surf(X, Y, current_z*ones(size(X)), V, 'EdgeColor','none');
caxis([0 vmax]); colormap(turbo);
title(sprintf('Altura Z = %.1f m', current_z));
drawnow;
% Borramos para el siguiente frame (creando efecto movimiento)
if k < frames
delete(h);
end
end
7.1.2 💡 Interpretación del movimiento:
Esta animación es fundamental para entender el diseño de la torre:
- La base (Inicio): El círculo es muy grande (55m de radio) y azul. El aire entra lento y tiene mucho espacio.
- La garganta (Z=100m): Fíjate cómo el círculo se hace pequeño. El flujo se "estrangula".
- La cima (Final): El círculo vuelve a crecer, pero ahora es rojo intenso. El aire sale a máxima potencia y temperatura.
7.2 Divergencia del campo de velocidades
Campo de velocidad:
Divergencia en cilíndricas:
Al solo tener componente vertical ([math]v_z[/math]), la expresión se simplifica:
Sustituimos la expresión de la velocidad:
Al ser derivada respecto de [math]z[/math], se puede sacar el [math]\rho[/math] de dentro de la derivada y simplificarla con el [math]\frac{1}{\rho}[/math] de fuera. Aplicando la regla del producto para derivar respecto a [math]z[/math]:
- Zona 1: Del suelo hasta la garganta ([math]z=0 \to z=100[/math])
- Al subir, la torre se estrecha, el radio disminuye (Negativo).
- Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico (Positivo).
- Zona 2: De la garganta a la parte más alta ([math]z=100 \to z=150[/math])
- Al subir, la torre se ensancha, el radio aumenta (Positivo).
- Al subir, la velocidad aumenta por el tiro térmico (Positivo).
- [math] \Rightarrow \text{Es positiva} [/math]
Físicamente, una divergencia positiva indica que el fluido se expande a medida que asciende. Esto se debe a:
- Expansión térmica: El aire absorbe el calor, aumentando su temperatura y disminuyendo su densidad. Para conservar la masa, el gas debe aumentar su volumen.
- Tiro vertical: Se acelera más rápido que lo que se ensancha (o estrecha), por tanto también se expande verticalmente ("estiramiento" del flujo).
7.3 Gráfico de la divergencia en sección vertical (mapa + contornos)
Representamos el campo de velocidad vertical \(v_z(\rho,z)\) y su **divergencia** \(\partial v_z/\partial z\) en la sección X–Z, con **contornos** para resaltar gradientes y cambios de signo.
</> Script de Modelado
%% Divergencia del campo v y mapa de colores en sección vertical
clear; clc;
% Parámetros geométricos y de flujo
H = 150; % altura total [m]
z0 = 100; % cota del cuello [m]
Rmax = 55; % radio máximo (base y boca) [m]
Rmin = 30; % radio en el cuello [m]
vmax = 10; % velocidad máxima de referencia [m/s] <-- ajusta si quieres
% Parámetros hiperbólicos arriba/abajo (perfil bi-hiperbólico)
k = sqrt((Rmax/Rmin)^2 - 1);
cb = abs(z0) / k; % rama inferior (z <= z0)
ct = abs(H - z0) / k; % rama superior (z > z0)
% Funciones del radio de la torre y su derivada
rho_t = @(z) Rmin .* sqrt( 1 + ((z - z0).^2) ./ ( (z <= z0).*cb^2 + (z > z0).*ct^2 ) );
% Para evitar problemas con lógicos en derivada, definimos por partes:
rho_t_prime = @(z) arrayfun(@(zz) ...
(zz <= z0) * (Rmin*(zz - z0) / (cb^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/cb^2))) + ...
(zz > z0) * (Rmin*(zz - z0) / (ct^2*sqrt(1 + ((zz - z0)^2)/ct^2))), z);
% Malla de cálculo (sección X-Z)
Nx = 501; Nz = 401;
x = linspace(-Rmax, Rmax, Nx); % eje horizontal (sección)
z = linspace(0, H, Nz); % altura
[X,Z] = meshgrid(x,z);
RHO = abs(X); % radio cilíndrico en la sección
% Radio de torre en cada z (expandido a la malla)
Rt = rho_t(Z);
RtP = rho_t_prime(Z);
% Campo v_z(rho,z) y su divergencia
% v_z(rho,z) = vmax * (1 - rho^2/Rt^2) * (z/H)^0.6
vz = vmax .* (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (Z/H).^0.6;
% Divergencia: div v = ∂v_z/∂z
term1 = (1 - (RHO.^2)./(Rt.^2)) .* (0.6/H) .* (Z/H).^(-0.4);
term2 = (Z/H).^0.6 .* ( 2 .* (RHO.^2) .* RtP ./ (Rt.^3) );
divv = vmax .* (term1 + term2);
% Enmascarar exterior de la torre
mask = (RHO <= Rt); % dentro de la torre
vz(~mask) = NaN;
divv(~mask) = NaN;
% Gráficos
figure('Color','w','Position',[100 100 950 420])
subplot(1,2,1)
imagesc(x, z, vz); axis xy equal tight
colormap(turbo); colorbar
title('Velocidad vertical v_z(\rho,z) [m/s]')
7.3.1 🔍 Claves rápidas
- Perfil parabólico: contornos de [math]v_z[/math] muestran núcleo rápido y paredes lentas.
- Cambio de signo: contornos en [math]\nabla\!\cdot\!\mathbf{v}[/math] resaltan aceleración (+) y deceleración (–).
- Garganta: variaciones fuertes cerca de [math]z\approx z_0[/math] por el estrechamiento [math]\rho_{\text{torre}}(z)[/math].
7.4 Caudal volumétrico de aire en una sección a altura Z
Nos piden calcular:
En coordenadas cilíndricas [math] dS = \rho d\rho d\theta [/math]:
- [math] 0 \le \theta \le 2\pi [/math]
- [math] 0 \le \rho \le R(z) [/math]
Planteamos la integral:
Separamos los términos constantes respecto a la integral radial y angular:
Resolvemos la integral radial:
Evaluando en los límites:
Sustituimos el resultado en la expresión original del caudal:
Resultado final:
- ¿Es el caudal constante o varía con la altura?
- Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen [math]z[/math] y [math]R(z)[/math], ambas variables dependientes de la altura.
- Sí varía con la altura. En la expresión del caudal aparecen [math]z[/math] y [math]R(z)[/math], ambas variables dependientes de la altura.
- ¿Qué implica esto físicamente?
- Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.
- Implica que la densidad del aire está disminuyendo. Ya que si el caudal aumenta por la altura, por la ley de la conservación de la masa, la densidad disminuye.
- ¿Dónde es máximo y por qué?
- La expresión del caudal se maximiza cuando el radio es máximo y la altura es máxima, esto se da en la cima de la torre.
7.4.1 Representación gráfica de Q(z) en función de z
</> Script de Modelado
%% Q(z) en función de z: geometría variable + perfil vertical
clear; clc; close all;
% Parámetros del modelo
Vmax = 10; % Velocidad máxima de diseño (m/s)
H = 150; % Altura total de la torre (m)
R0 = 30; % Radio en la base inferior (m)
Rmax = 55; % Radio en la apertura superior (m)
% Dominio en altura
z = linspace(0, H, 200); % resolución suave
% Geometría: variación lineal del radio
Rz = R0 + (Rmax - R0) * (z / H);
% Caudal Q(z)
% Modelo: Q(z) = \int_{A(z)} v_z(r,z)\,dA ≈ (pi/2) * Vmax * R(z)^2 * (z/H)^0.6
Q = (pi/2) * Vmax .* (Rz.^2) .* ((z / H).^0.6);
% Visualización
figure('Color','w');
plot(z, Q, 'LineWidth', 2, 'Color', '#D95319'); % línea naranja
xlabel('Altura z (m)'); ylabel('Caudal Q(z) (m^3/s)');
title('Evolución del Caudal Volumétrico con la Altura');
grid on;
% Máximo y anotación
[maxQ, idx] = max(Q);
hold on; plot(z(idx), maxQ, 'ko', 'MarkerFaceColor', '#D95319');
text(z(idx), maxQ, sprintf(' Máx = %.2f m^3/s a z = %.1f m', maxQ, z(idx)), ...
'VerticalAlignment','bottom','Color','#D95319');
fprintf('El caudal alcanza su máximo de %.2f m^3/s en la cota z = %.2f m\n', maxQ, z(idx));
7.4.2 🟧 Claves rápidas
- Geometría: el radio crece linealmente [math]R(z)=R_0+(R_{\max}-R_0)\,z/H[/math].
- Perfil vertical: la aceleración se modela con math^{0.6}[/math].
- Caudal: [math]Q(z)\approx \tfrac{\pi}{2}\,V_{\max}\,R(z)^2\,(z/H)^{0.6}[/math] (área efectiva con perfil parabólico).
- Máximo: se marca automáticamente en la gráfica (punto y etiqueta).
7.5 Cálculo de la potencia disipada
Calculamos la potencia térmica disipada:
Datos:
- [math] c_p = 1005 \, J/(kg \cdot K) [/math]
- [math] \Delta T_z = 38^\circ C [/math]
- [math] \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 [/math] (Buscado)
- [math] v_{max} = 4 \, m/s [/math]
Calculamos Q(H) usando la fórmula hallada antes:
Necesitamos el radio en la cima ([math]R(z)[/math]):
Sustituimos en el caudal:
Calculamos la potencia:
Análisis con Radio mínimo = 20m
Habrá que calcular una nueva [math]c[/math] ([math]c'[/math]) con [math]a=20[/math]:
Nuevo radio en la cima:
Nuevo caudal:
Es menor debido a que se cumple [math]Q = V \cdot A[/math]. Si se mantiene la velocidad y el área disminuye, el caudal también lo hace.
Conclusiones sobre el estrangulamiento:
- ¿Cómo afecta un estrangulamiento mayor al flujo del aire?
- Como se ha explicado antes con la relación [math]Q = V \cdot A[/math], al reducir el área, se reduce el flujo.
- ¿Existe un compromiso entre resistencia estructural (menor Rmin) y eficiencia de enfriamiento?
- Sí. Estrechar el cuello tiene de positivo una mayor resistencia estructural y rigidez con una capa de poco espesor.
- Tiene de negativo, como se ha demostrado antes, que disminuye el caudal, y por tanto, disminuye su capacidad para evacuar calor.
7.6 Análisis del número de Reynolds en el flujo
El número de Reynolds caracteriza el flujo:
Datos:
- [math] \mu = 1,8 \cdot 10^{-5} \, Pa \cdot s [/math]
- [math] \rho_{aire} = 1,225 \, kg/m^3 [/math]
- Longitud característica: [math] L = 2 \cdot R_{min} = 2 \cdot 30 = 60 \, m [/math]
Cálculo de velocidad típica: Evaluamos en el centro ([math]\rho=0[/math]) y a la altura de la garganta ([math]z=2/3 H[/math]):
Al ser [math]\rho=0[/math] se simplifican los cálculos:
Sustituimos en el número de Reynolds:
Régimen del flujo
Por convención:
- Si [math] Re \lt 2000 \to [/math] Laminar
- Si [math] Re \gt 2000 \to [/math] Turbulento
El régimen es extremadamente turbulento.
¿Por qué es tan alto? En general esto es debido a la escala "L" (diámetro). Aunque la viscosidad del aire intente ordenar el flujo, la inercia de mover una masa de 60 metros de ancho a 4 m/s es millones de veces superior. Lejos de ser un problema, esto es beneficioso, ya que el caos en el aire genera vórtices y mezclas constantes, las cuales ayudan a la disipación del calor.
