Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 37)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Flujo alrededor de un obstáculo circular. Grupo 37
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Paula Gutiérrez Pascual Rafael Martín Candilejo Jaime Mateos Bermejo Hugo Zamora Ramos
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

El flujo es la cantidad de fluido que atraviesa una superficie por unidad de tiempo. Es decir, el flujo de un fluido nos marca el movimiento de este desde un lugar a otro.

Dadas las descripciones anteriores, no es difícil caer en la cuenta de que el flujo de un fluido será capaz de describirnos como este se desplaza a través de una sección de interés, siendo capaces de analizar la velocidad y dirección de su movimiento del fluido en cada punto; es decir, el campo de velocidades del mismo.

Si el interés se dirige a la mecánica de fluidos, podremos sacar información sobre los efectos internos al fluido estudiado, como la divergencia y rotacional. La divergencia nos marca el cambio del volumen del fluido al enfrentarse al movimiento, marcado por el campo vectorial de velocidades, mientras que el rotacional muestra la tendencia del fluido, de su campo vectorial, a rotar alrededor de un punto.

Aplicado al problema planteado, al tratarse de un fluido incompresible, el volumen siempre se conserva y, por consiguiente, la divergencia del mismo siempre será cero.

Otra información destacable que podemos sacar del campo de velocidades del fluido será la interacción con las paredes u obstáculos de la sección de interés. Esto tendrá una cierta trascendencia para el desarrollo de nuestro trabajo, dado que se plantea una situación donde el fluido estudiado interacciona con un obstáculo de forma circular.

Frente a esta situación, el desarrollo del trabajo se hará respecto a coordenadas cilíndricas.

1 Mallado

En primer lugar, se representará con un mallado la región ocupada por el fluido. El obstáculo, situado en el centro de la gráfica, será el círculo unidad y el fluido ocupará el espacio circundante. Para representarlo se considera que el obstáculo mencionado coincide con el círculo unidad, con centro en el origen de coordenadas; la región ocupada por el fluido será el exterior del círculo considerado. Además, los ejes se mostrarán en el intervalo [−4,4]×[−4,4], mostrando que el fluido ocupa el espacio exterior del círculo.

La representación del mallado facilita el análisis e intuición del comportamiento del fluido. Esto se debe a la división del espacio que ocupa en pequeñas celdas que se comportan como unidades de cálculo más manejables, lo que permite evaluar de manera precisa velocidades, temperaturas y otros fenómenos.

Mallado

r=linspace(1,5,50);
a=linspace(0,2*pi,50);

[R,A]=meshgrid(r,a);

hold on
X=R.*cos(A);
Y=R.*sin(A);
Z=zeros(size(A));

mesh(X,Y,Z);

plot3(cos(A), sin(A), zeros(size(A)), 'k', 'LineWidth', 1);
hold off

axis equal;
axis([-4,4,-4,4]);

xlabel ('Eje X');
ylabel ('Eje Y');
title ('Mallado de la región del fluido');

2 Velocidad del fluido

Se sabe que la velocidad de las partículas del fluido estudiado queda definida por el gradiente de la función potencial representada a continuación

[math] \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) [/math]

Función potencial

r=linspace(1,5,50);
a=linspace(0,2*pi,50);

[R,A]=meshgrid(r,a);

hold on
X=R.*cos(A);
Y=R.*sin(A);
Z=(R+1./R).*cos(A);

surf(X,Y,Z);

plot3(cos(A), sin(A), zeros(size(A)), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

axis equal;
axis([-4,4,-4,4]);

xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Función potencial');
colorbar;

Hallamos su función gradiente tal que [math]\vec{u}[/math]=∇φ.

[math] \vec{u}= \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho - \left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta [/math]

A continuación se ha representado el campo de velocidades, donde se observa que este es ortogonal a la función potencial.

Campo de velocidades y función potencial

Detalle del campo de velocidades

r=linspace(1,5,40);
a=linspace(0,2*pi,40);

[R,A]=meshgrid(r,a);

hold on
X1=R.*cos(A);
Y1=R.*sin(A);
Z1=(R+1./R).*cos(A);

contour(X1,Y1,Z1,50);

x2=(cos(A))-(cos(A)./R.^2);
y2=-(sin(A))-(sin(A)./R.^2);

X2=cos(A).*x2-(sin(A)./R).*y2;
Y2=sin(A).*x2+(cos(A)./R).*y2;

quiver(X1,Y1,X2,Y2,'m');

plot3(cos(A), sin(A), zeros(size(A)), 'k', 'LineWidth', 1);
hold off

axis equal;
axis([-4,4,-4,4]);

xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Campo de velocidades')
colorbar;

También se estudiará cómo se comporta el fluido al rodear el obstáculo, para ello se seguirá utilizando la función de velocidades

[math] \vec{u}= \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho - \left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta. [/math]

El rotacional se empleará para analizar como se comporta el fluido de forma puntual y la divergencia determinará la variación del volumen.

2.1 Rotacional nulo

Para calcular el rotacional se emplea la siguiente formula

[math] \nabla\times\vec{u} =\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\ \dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ \left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\left(\rho+\dfrac{1}{\rho}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =\frac{1}{\rho} [(-1 + 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z} \;-\; (-1 + 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}] = 0 [/math]

El resultado es cero debido a que el fluido carece de rotación local; únicamente curva sus trayectorias para rodear el obstáculo. En ningún momento se forman remolinos donde el fluido gire en torno a un eje.

2.2 Comprobación de la divergencia nula

Para calcular la divergencia se utiliza la siguiente formula

[math]\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho(u_\rho))+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho(u_z))] [/math]

[math] \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial\rho} \Bigl(\rho\, \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \;\vec{e}_{\rho} \Bigr) \;-\; \frac{\partial}{\partial\theta} \Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr) \right]=\frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial\rho} \Bigl(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta \;\vec{e}_{\rho} \Bigr) \;-\; \frac{\partial}{\partial\theta} \Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr) \right] [/math]

[math] \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta - \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \right] =0 [/math]

El fluido se considera incompresible, es decir, la divergencia es nula, a diferencia de otros fluidos como los gases. Esto indica que el volumen se mantiene constante durante todo el movimiento, ni se expande ni se contrae.

3 Líneas de corriente

Se va a calcular la líneas de corriente del campo [math]\vec{u}[/math] para ello primero se calcula el campo [math]\vec{v}[/math] ya que las líneas de corriente son ortogonales al campo [math]\vec{u}[/math], para calcularlo se toma [math]\vec{v}[/math] = [math]\vec{k}\times\vec{u}[/math], donde [math]\vec{k}[/math]=[math]\vec {e}_{z}[/math].

Primero calcularemos el campo [math]\vec{v}[/math], que en cada punto es ortogonal a [math]\vec{u}[/math], ([math]\vec{v}[/math] = [math]\vec{k}\times\vec{u}[/math], donde [math]\vec{k}[/math]=[math]\vec {e}_{z}[/math]).

[math]\vec v=\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ {0} & {0} & {1} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & -(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta) & {0} \end{vmatrix}= (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\vec {e}_{\rho} + [(1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{\theta} =\vec v[/math]

Se comprueba que [math]\vec{v}[/math] es irrotacional al ser [math]\vec{u}[/math] de divergencia nula:

[math]\nabla\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ v_\rho & \rho v_\theta & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}-[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}]=\vec {0}[/math]

A continuación se calcula [math]\psi[/math], para ello se resuelve el sistema de ecuaciones [math]\nabla\cdot\psi=\vec v[/math]

[math]\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=v_\rho; {\partial\psi}=v_\rho {\partial\rho} =\int (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\,d\rho=sin(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})+f(\theta)[/math]

[math]\rho v_\theta = (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta) + \frac{\partial f(\theta)}{\partial\theta};{\partial f(\theta)}= 0; f(\theta) = \int 0d\theta= C [/math]

Dando a la constante C un valor de 0 nos queda

[math]\psi = \sin(\theta)\left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)[/math]

Líneas de corriente del campo de velocidades

r=linspace(1,5,20);
a=linspace(0,2*pi,20);

[R,A]=meshgrid(r,a);

hold on
X3=R.*cos(A);
Y3=R.*sin(A);
Z3=sin(A).*(R-(1./R));

contour(X3,Y3,Z3,50);

x2=(cos(A))-(cos(A)./R.^2);
y2=-(sin(A))-(sin(A)./R.^2);

X2=cos(A).*x2-(sin(A)./R).*y2;
Y2=sin(A).*x2+(cos(A)./R).*y2;

quiver(X3,Y3,X2,Y2,'m');

plot3(cos(A), sin(A), zeros(size(A)), 'k', 'LineWidth', 1);
hold off

axis equal;
axis([-4,4,-4,4]);

xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Líneas de corriente del campo de velocidades');

4 Velocidades en la frontera de S

Dada la función de velocidades del fluido [math]\vec{u}[/math], calcularemos la velocidad máxima, mínima y nula en la frontera del obstáculo circular S, descrito por la circunferencia unidad centrada en (0,0). Como la función está expresada en coordenadas cilíndricas, el análisis nos resultará sencillo, pues solo se necesita sustituir [math]\rho[/math] por 1.

• [math]\vec{u}(\theta) = -2\sin\theta[/math].

La dirección de la velocidad resulta irrelevante para este análisis, por ello se estudiará únicamente el modulo de [math]\vec{u}[/math], simplificando así los cálculos.

• [math]|\vec{u}| = 2|\sin\theta|[/math]

4.1 Puntos de Velocidad Máxima :

Se dan cuando [math]|\sin\theta| = 1[/math].

• [math]\theta = \pi/2 [/math]

• [math]\theta = 3\pi/2 [/math]

4.2 Puntos de Remanso (Velocidad mínima = 0):

Se dan cuando [math]\sin\theta = 0[/math]. Además, por cómo es la función modulo de [math]\vec{u}[/math], los puntos de remanso coincidirán con los mínimos.

• [math]\theta = 0 [/math]

• [math]\theta = \pi [/math]

5 Presión del fluido

Para determinar la presión se utiliza la ecuación de Bernoulli en términos de presiones. Se considera una densidad [math]\rho = 2[/math], como el fluido se esta estudiando en un plano xy no tiene altura por lo que la z=0.

[math]\frac{1}{2}\rho|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}[/math]

Siendo u la función del campo velocidades del fluido [math] \vec{u}= \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho - \left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta [/math]

Es necesario hallar el modulo de este campo de velocidades al cuadrado por lo que [math]|\vec{u}|^2=1+\dfrac{1}{\rho^{4}}-\dfrac{2}{\rho^{2}}\cos2\theta[/math]

A continuación se sustituye la densidad por dos, se utiliza una cte cualquiera puesto que no influye para el calculo de máximos y mínimos ya que al derivar esta es 0. No obstante, es importante elegir un valor donde la presión resultante sea positiva ya que esta debe ser mayor o igual a 0, por ello se tomará cte=4, despejando la presión llegamos a la ecuación:

[math]p(\rho,\theta)=-\dfrac{1}{\rho^{4}}+\dfrac{2}{\rho^{2}}\cos2\theta + 3[/math]

Presión del fluido

r=linspace(1,5,20);
a=linspace(0,2*pi,20);

[R,A]=meshgrid(r,a);

hold on
X3=R.*cos(A);
Y3=R.*sin(A);
Z3=-(1./(R.^4))+((2./(R.^2)).*cos(2.*A))+4;

surf(X3,Y3,Z3);
shading interp;

plot3(cos(A), sin(A), zeros(size(A)), 'k', 'LineWidth', 1);
hold off

axis equal;
axis([-4,4,-4,4]);

xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presión del fluido');
colorbar;

Módulos del campo de velocidades

r=linspace(1,5,20);
a=linspace(0,2*pi,20);

[R,A]=meshgrid(r,a);

hold on
X3=R.*cos(A);
Y3=R.*sin(A);
Z3=(1+(1./(R.^4))-((2./(R.^2)).*cos(2.*A))).^(1./2);

surf(X3,Y3,Z3);
shading interp;

x2=(cos(A))-(cos(A)./R.^2);
y2=-(sin(A))-(sin(A)./R.^2);

X2=cos(A).*x2-(sin(A)./R).*y2;
Y2=sin(A).*x2+(cos(A)./R).*y2;

quiver(X3,Y3,X2,Y2,'m');

plot3(cos(A), sin(A), zeros(size(A)), 'k', 'LineWidth', 1);
hold off

axis equal;
axis([-4,4,-4,4]);

xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Módulos del campo de velocidades');
colorbar;

A continuación, se estudia cuando la presión alcanza los valores máximos y mínimos. Dado que se quiere comparar la velocidad del fluido con la presión tomaremos los puntos de la frontera ya que ahí es donde se alcanzan las velocidades máximas y mínimas. Por ello se tomará [math]\rho=1[/math] sustituyendo este valor en la expresión de la presión, se obtiene:

[math]p(\theta)=2+2cos2\theta[/math]

Al igual que en la velocidad la función solo depende de [math]\theta[/math]. Por tanto veremos que alcanza los máximos cuando [math]\theta=0,\pi[/math] y alcanza los máximos cuando [math]\theta=\pi/2,3\pi/2[/math]

Máximos:

• [math](\rho,\theta)=(1,0)[/math]
• [math](\rho,\theta)=(1,\pi)[/math]

Mínimos:

• [math](\rho,\theta)=(1,\pi/2)[/math]
• [math](\rho,\theta)=(1,3\pi/2)[/math]

Al comparar las presiones y velocidades se puede observar que la velocidad es máxima cuando la presión es mínima y viceversa.

6 Trayectoria de la partícula

Como se muestra en el apartado anterior, la presión es mínima cuando la velocidad es máxima, es decir, la velocidad incrementa cuando se produce un estrechamiento. Esto se debe a que el caudal será constante en todo momento.[math]Q=Av[/math]

Siendo Q el caudal, A el área y v la velocidad. Por lo que, cuando el área es mínima, la velocidad debe de ser máxima para [math]\theta = \pi/2 [/math] y [math]\theta = 3\pi/2 [/math], como se verifica en el apartado 4.1. Además, según el principio de Bernoulli, el trinomio es constante en todo momento. Sabiendo que la altura es cero, nos queda la ecuación:

[math]\frac{1}{2}\rho|\vec{u}|^2 + p = \text{cte.}[/math]

Asimismo, la presión aumenta al disminuir la velocidad y viceversa, conservando el trinomio, esto se ha comprobado en los apartados anteriores. La presión es máxima cuando el fluido choca con el obstáculo debido al impacto frontal, que hace que la velocidad sea nula.

7 Paradoja de D´Alembert

El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza ejercida por un fluido sobre un obstáculo es proporcional a la circulación del fluido alrededor del mismo. En este caso se sabe que la circulación del fluido es nula por lo que la fuerza ejercida sobre el obstáculo también será nula. Esto contrasta con la intuición a este fenómeno se conoce como la paradoja de D’Alembert.

Para demostrar este fenómeno debemos comprobar que la suma de las fuerzas proyectadas en [math]\vec i[/math] de todos los puntos de la frontera sean nulas, para realizar el calculo de las fuerzas sobre el obstáculo utilizaremos la definición de presión la cual dice que presión es igual a Fuerza divido del área en la que esta aplicada esta fuerza,

[math]\int_{0}^{2\pi}F·\vec{i}d\theta=\int_{0}^{2\pi}p·\vec{n}·\vec{i}d\theta[/math]

Al estar trabajando en coordenadas cilíndricas debemos utilizar la transpuesta de la matriz de cambio de base para cambiar [math]\vec i[/math] lo que nos da:

[math] \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta[/math]

La fuerza ejercida en cada punto de la frontera es [math]p\cdot\vec{n}[/math] siendo [math]\vec{n}[/math] el vector normal el cual tiene la misma dirección pero sentido opuesto que [math]\vec {e}_\rho[/math] por lo que [math]\vec {n} = -\vec {e}_\rho[/math].

Para proyectarlos en el eje [math]\vec i[/math] multiplicaremos escalarmente a la fuerza ejercida. Para ello se multiplica el vector normal por el vector i en coordenadas cilíndricas escalarmente.

[math]\vec{n}\cdot\vec{i}= \vec {e}_\rho\ \cdot (cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e})= -cos(\theta)[/math]

Para sumar todas las fuerzas se debe integrar el producto [math]p \cdot\vec{n}\cdot\vec{i} [/math] en todos los puntos de la frontera, por lo cual [math]\theta[/math] varia entre 0 y 2[math]\pi[/math]

8 Otro ejemplo

Sea la función potencial

[math] \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta) +\frac{\theta}{4 \pi} [/math]

Función potencial

r=linspace(1,5,50);
a=linspace(0,2*pi,50);

[R,A]=meshgrid(r,a);

hold on
X=R.*cos(A);
Y=R.*sin(A);
Z=((R+1./R).*cos(A))+(A./4.*pi);

surf(X,Y,Z);

plot3(cos(A), sin(A), zeros(size(A)), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

axis equal;
axis([-4,4,-4,4]);

xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Función potencial');
colorbar;

Hallamos su función gradiente tal que [math]\vec{u}[/math]=∇φ.

[math] \vec{u}= \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho - [\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta -\frac{1}{4 \pi \rho}]\vec{e}_\theta [/math]

Campo de velocidades y función potencial

Detalle del campo de velocidades

r=linspace(1,5,40);
a=linspace(0,2*pi,40);

[R,A]=meshgrid(r,a);

hold on
X1=R.*cos(A);
Y1=R.*sin(A);
Z1=((R+1./R).*cos(A))+(A./4.*pi);

contour(X1,Y1,Z1,50);

x2=(cos(A))-(cos(A)./R.^2);
y2=-(sin(A))-(sin(A)./R.^2)+(1./4.*pi.*R);

X2=cos(A).*x2-(sin(A)./R).*y2;
Y2=sin(A).*x2+(cos(A)./R).*y2;

quiver(X1,Y1,X2,Y2,'m');

plot3(cos(A), sin(A), zeros(size(A)), 'k', 'LineWidth', 1);
hold off

axis equal;
axis([-4,4,-4,4]);

xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Campo de velocidades');
colorbar;

Con la fórmula del campo de velocidades,

[math] \vec{u}= \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho - [\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta -\frac{1}{4 \pi \rho}]\vec{e}_\theta, [/math]

calcularemos el rotacional y la divergencia.

8.1 Rotacional nulo

[math] \nabla\times\vec{u} =\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\ \dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ \left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -[\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta -\frac{1}{4 \pi}] & 0 \end{vmatrix} =\frac{1}{\rho} [(-1 + 1/\rho^{2})\sin\theta\ \vec{e}_{z} \;-\; (-1 + 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}] = 0 [/math]

Las líneas de corriente del campo de velocidades forman círculos, indicando que hay circulación alrededor del eje. Sin embargo, las partículas del fluido no giran sobre sí mismas, siguen trayectorias curvas sin rotación interna. Esto se refleja en que el rotacional del campo es cero.

En conclusión, el flujo presenta circulación alrededor de un punto, pero no genera remolinos locales; es un flujo irrotacional.

8.2 Comprobación de la divergencia nula

[math]\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho(u_\rho))+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho(u_z))] [/math]

[math] \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial\rho} \Bigl(\rho\, \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \;\vec{e}_{\rho} \Bigr) \;-\; \frac{\partial}{\partial\theta} \Bigl( [\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta -\frac{1}{4 \pi \rho}] \; \vec{e}_{\theta} \Bigr) \right]=\frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial\rho} \Bigl(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta \;\vec{e}_{\rho} \Bigr) \;-\; \frac{\partial}{\partial\theta} \Bigl( [\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta -\frac{1}{4 \pi \rho}] \; \vec{e}_{\theta} \Bigr) \right] [/math]

[math] \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta - \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \right] =0 [/math]

La divergencia es nula, indicando que el fluido es incompresible.

8.3 Líneas de corriente

Primero calcularemos el campo [math]\vec{v}[/math], que en cada punto es ortogonal a [math]\vec{u}[/math], ([math]\vec{v}[/math] = [math]\vec{k}\times\vec{u}[/math], donde [math]\vec{k}[/math]=[math]\vec {e}_{z}[/math]).

[math]\vec v=\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ {0} & {0} & {1} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & -[\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta -\frac{1}{4 \pi \rho}] & {0} \end{vmatrix}= [(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)-\frac{1}{4 \pi \rho}]\vec {e}_{\rho} + [(1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{\theta} =\vec v[/math]

Comprobamos que [math]\vec{v}[/math] es irrotacional:

[math]\nabla\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ v_\rho & \rho v_\theta & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}-[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}]=\vec {0}[/math]

A continuación calculamos [math]\psi[/math], para ello resolveremos el sistema de ecuaciones [math]\nabla\cdot\psi=\vec v[/math]

[math]\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=v_\rho=\int [(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)-\frac{1}{4 \pi \rho}]\,d\rho=sin(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})+ \frac{1}{4 \pi}\ln(\rho)+f(\theta)[/math]

[math]\frac{\partial\psi}{\partial\theta}= \rho v_\theta=\int (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta)\,d\theta=sin(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})[/math]

[math]\psi = \sin(\theta)\left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)+ \frac{1}{4 \pi}\ln(\rho)[/math]

Líneas de corriente del campo de velocidades

r=linspace(1,5,20);
a=linspace(0,2*pi,20);

[R,A]=meshgrid(r,a);

hold on
X3=R.*cos(A);
Y3=R.*sin(A);
Z3=(sin(A).*(R-(1./R)))+((1./(4.*pi)).*log(R));

contour(X3,Y3,Z3,50);

x2=(cos(A))-(cos(A)./R.^2);
y2=-(sin(A))-(sin(A)./R.^2);

X2=cos(A).*x2-(sin(A)./R).*y2;
Y2=sin(A).*x2+(cos(A)./R).*y2;

quiver(X3,Y3,X2,Y2,'m');

plot3(cos(A), sin(A), zeros(size(A)), 'k', 'LineWidth', 1);
hold off

axis equal;
axis([-4,4,-4,4]);

xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Líneas de corriente del campo de velocidades');