Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 37)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Flujo alrededor de un obstáculo circular. Grupo 37
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Paula Gutiérrez Pascual Rafael Martín Candilejo Jaime Mateos Bermejo Hugo Zamora Ramos
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

El flujo es la cantidad de fluido que atraviesa una superficie por unidad de tiempo. Es decir, el flujo de un fluido nos marca el movimiento de este desde un lugar a otro.

Dadas las descripciones anteriores, no es difícil caer en la cuenta de que el flujo de un fluido será capaz de describirnos como este se desplaza a través de una sección de interés, siendo capaces de analizar la velocidad y dirección de su movimiento del fluido en cada punto; es decir, el campo de velocidades del mismo.

Si el interés se dirige a la mecánica de fluidos, podremos sacar información sobre los efectos internos al fluido estudiado, como la divergencia y rotacional. La divergencia nos marca el cambio del volumen del fluido al enfrentarse al movimiento, marcado por el campo vectorial de velocidades, mientras que el rotacional muestra la tendencia del fluido, de su campo vectorial, a rotar alrededor de un punto.

Aplicado al problema planteado, al tratarse de un fluido incompresible, el volumen siempre se conserva y, por consiguiente, la divergencia del mismo siempre será cero.

Otra información destacable que podemos sacar del campo de velocidades del fluido será la interacción con las paredes u obstáculos de la sección de interés. Esto tendrá una cierta trascendencia para el desarrollo de nuestro trabajo, dado que se plantea una situación donde el fluido estudiado interacciona con un obstáculo de forma circular.

Frente a esta situación, el desarrollo del trabajo se hará respecto a coordenadas cilíndricas.

1 Mallado

En primer lugar, se representará con un mallado la región ocupada por el fluido. El obstáculo, situado en el centro de la gráfica, será el círculo unidad y el fluido ocupará el espacio circundante. Para representarlo se considera que el obstáculo mencionado coincide con el círculo unidad, con centro en el origen de coordenadas; la región ocupada por el fluido será el exterior del círculo considerado. Además, los ejes se mostrarán en el intervalo [−4,4]×[−4,4], mostrando que el fluido ocupa el espacio exterior del círculo.

La representación del mallado facilita el análisis e intuición del comportamiento del fluido. Esto se debe a la división del espacio que ocupa en pequeñas celdas que se comportan como unidades de cálculo más manejables, lo que permite evaluar de manera precisa velocidades, temperaturas y otros fenómenos.

Mallado

r=linspace(1,5,50);
a=linspace(0,2*pi,50);

[R,A]=meshgrid(r,a);

hold on
X=R.*cos(A);
Y=R.*sin(A);
Z=zeros(size(A));

mesh(X,Y,Z);

plot3(cos(A), sin(A), zeros(size(A)), 'k', 'LineWidth', 1);
hold off

axis equal;
axis([-4,4,-4,4]);

xlabel ('Eje X');
ylabel ('Eje Y');
title ('Mallado de la región del fluido');

2 Velocidad del fluido

Se sabe que la velocidad de las partículas del fluido estudiado queda definida por el gradiente de la función potencial representada a continuación

[math] \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) [/math]

Función potencial

r=linspace(1,5,50);
a=linspace(0,2*pi,50);

[R,A]=meshgrid(r,a);

hold on
X=R.*cos(A);
Y=R.*sin(A);
Z=(R+1./R).*cos(A);

surf(X,Y,Z);

plot3(cos(A), sin(A), zeros(size(A)), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

axis equal;
axis([-4,4,-4,4]);

xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Función potencial');
colorbar;

Hallamos su función gradiente tal que [math]\vec{u}[/math]=∇φ.

[math] \vec{u}= \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho - \left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta [/math]

A continuación se ha representado el campo de velocidades, donde se observa que este es ortogonal a la función potencial.

Campo de velocidades y función potencial

Detalle del campo de velocidades

r=linspace(1,5,40);
a=linspace(0,2*pi,40);

[R,A]=meshgrid(r,a);

hold on
X1=R.*cos(A);
Y1=R.*sin(A);
Z1=(R+1./R).*cos(A);

contour(X1,Y1,Z1,50);

x2=(cos(A))-(cos(A)./R.^2);
y2=-(sin(A))-(sin(A)./R.^2);

X2=cos(A).*x2-(sin(A)./R).*y2;
Y2=sin(A).*x2+(cos(A)./R).*y2;

quiver(X1,Y1,X2,Y2,'m');

plot3(cos(A), sin(A), zeros(size(A)), 'k', 'LineWidth', 1);
hold off

axis equal;
axis([-4,4,-4,4]);

xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Campo de velocidades')
colorbar;

Posteriormente se estudia como se comporta el fluido al rodear el obstáculo para ello se seguirá utilizando la función de velocidades [math] \vec{u}= \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho - \left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta [/math]. Para analizar como el fluido rota en torno a un punto se emplea el rotacional, mientras que la divergencia se utiliza para determinar como varia el volumen a lo largo del movimiento.

2.1 Rotacional nulo

Para calcular el rotacional se emplea la siguiente formula

[math] \nabla\times\vec{u} =\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\ \dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ \left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\left(\rho+\dfrac{1}{\rho}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =\frac{1}{\rho} [(-1 + 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z} \;-\; (-1 + 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}] = 0 [/math]

El resultado es cero debido a que el fluido carece de rotación local; únicamente curva sus trayectorias para rodear el obstáculo. En ningún momento se forma remolinos donde el fluido gire en torno a un eje.

2.2 Comprobación de la divergencia nula

Para calcular la divergencia se utiliza la siguiente formula

[math]\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho(u_\rho))+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho(u_z))] [/math]

[math] \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial\rho} \Bigl(\rho\, \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \;\vec{e}_{\rho} \Bigr) \;-\; \frac{\partial}{\partial\theta} \Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr) \right]=\frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial\rho} \Bigl(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta \;\vec{e}_{\rho} \Bigr) \;-\; \frac{\partial}{\partial\theta} \Bigl( \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta \; \vec{e}_{\theta} \Bigr) \right] [/math]

[math] \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta - \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \right] =0 [/math]

La divergencia es nula porque fluido se considera incompresible, a diferencia de otros fluidos como los gases. Esto implica el volumen se mantiene constante durante todo el movimiento, ni se expande ni se contrae.

3 Líneas de corriente

Se va a calcular la líneas de corriente del campo [math]\vec{u}[/math] para ello primero se calcula el campo [math]\vec{v}[/math] ya que las líneas de corriente son ortogonales al campo [math]\vec{u}[/math], para calcularlo se toma [math]\vec{v}[/math] = [math]\vec{k}\times\vec{u}[/math], donde [math]\vec{k}[/math]=[math]\vec {e}_{z}[/math].

Primero calcularemos el campo [math]\vec{v}[/math], que en cada punto es ortogonal a [math]\vec{u}[/math], ([math]\vec{v}[/math] = [math]\vec{k}\times\vec{u}[/math], donde [math]\vec{k}[/math]=[math]\vec {e}_{z}[/math]).

[math]\vec v=\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ {0} & {0} & {1} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & -(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta) & {0} \end{vmatrix}= (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\vec {e}_{\rho} + [(1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{\theta} =\vec v[/math]

Se comprueba que [math]\vec{v}[/math] es irrotacional al ser [math]\vec{u}[/math] de divergencia nula:

[math]\nabla\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ v_\rho & \rho v_\theta & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}-[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}]=\vec {0}[/math]

A continuación se calcula [math]\psi[/math], para ello se resuelve el sistema de ecuaciones [math]\nabla\cdot\psi=\vec v[/math]

[math]\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=v_\rho; {\partial\psi}=v_\rho {\partial\rho} =\int (1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\,d\rho=sin(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})+f(\theta)[/math]

[math]\frac{\partial\psi}{\partial\theta}= \rho v_\theta=\int (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta)\,d\theta=sin(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})[/math] [math]\frac{\partial\psi}{\partial\theta}= \rho v_\theta - (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta) - {\partial f(\theta)};{\partial\psi}= =\int (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta)\,d\theta=sin(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})[/math]

[math]\psi = \sin(\theta)\left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)[/math]

Líneas de corriente del campo de velocidades

r=linspace(1,5,20);
a=linspace(0,2*pi,20);

[R,A]=meshgrid(r,a);

hold on
X3=R.*cos(A);
Y3=R.*sin(A);
Z3=sin(A).*(R-(1./R));

contour(X3,Y3,Z3,50);

x2=(cos(A))-(cos(A)./R.^2);
y2=-(sin(A))-(sin(A)./R.^2);

X2=cos(A).*x2-(sin(A)./R).*y2;
Y2=sin(A).*x2+(cos(A)./R).*y2;

quiver(X3,Y3,X2,Y2,'m');

plot3(cos(A), sin(A), zeros(size(A)), 'k', 'LineWidth', 1);
hold off

axis equal;
axis([-4,4,-4,4]);

xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Líneas de corriente del campo de velocidades');

4 Velocidades en la frontera de S

Dada nuestra función de velocidades del fluido [math]\vec{u}[/math] ya calculada anteriormente, calcularemos la velocidad máxima, mínima y nula en la frontera del obstáculo circular S el cual viene descrito por la circunferencia unidad centrada en (0,0) Puesto que nuestra función esta en coordenadas cilíndricas nos será mas fácil analizar la frontera S puesto que solo tendremos que sustituir [math]\rho[/math] por 1

• De esta manera [math]u(\theta) = -2\sin\theta[/math].

Al estar analizando los puntos donde la velocidad es máxima, mínima y los puntos de remanso estudiaremos el modulo de [math]\vec{u}[/math]

• [math]|\vec{u}| = 2|\sin\theta|[/math]

Como nuestra función solo depende del ángulo del seno es fácil analizar los valores

4.1 Puntos de Velocidad Máxima :

Se dan cuando [math]|\sin\theta| = 1[/math].

• [math]\theta = \pi/2 [/math]

• [math]\theta = 3\pi/2 [/math]

4.2 Puntos de Remanso (Velocidad mínima = 0):

Se dan cuando [math]\sin\theta = 0[/math]. Adeemas por como es la funcion modulo de u los puntos de remanso coincidiran con los minimos

• [math]\theta = 0 [/math]

• [math]\theta = \pi [/math]

En estos puntos, el fluido choca contra el obstáculo y se detiene momentáneamente.

5 Presión del fluido

Para determinar la presión se utiliza la ecuación de Bernoulli en términos de presiones. Se considera una densidad [math]\rho = 2[/math], como el fluido se esta estudiando en un plano xy no tiene altura por lo que la z=0.

[math]\frac{1}{2}\rho|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}[/math]

Siendo u la función del campo velocidades del fluido [math] \vec{u}= \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho - \left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\,\vec{e}_\theta [/math]

Es necesario hallar el modulo de este campo de velocidades al cuadrado por lo que [math]|\vec{u}|^2=1+\dfrac{1}{\rho^{4}}-\dfrac{2}{\rho^{2}}\cos2\theta[/math]

Sustituyendo la densidad por dos, utilizando una cte cualquira puesto que para el calculo de máximos y mínimos no nos es importante y despejando la presión llegamos a la ecuación

A continuación se sustituye la densidad por dos, se utiliza una cte cualquiera puesto que no influye para el calculo de máximos y mínimos ya que al derivar esta es 0, por ello se tomará cte=0, despejando la presión llegamos a la ecuación

[math]p(\rho,\theta)=-\dfrac{1}{\rho^{4}}+\dfrac{2}{\rho^{2}}\cos2\theta[/math]

Para hallar los máximos y los mínimos de p derivaremos respecto a sus variables e igularemos a 0 para resolver el sistema, por último utilizaremos el teorema de weistrass para analizar los máximos y los mínimosen la frontera de S

Presión del fluido

r=linspace(1,5,20);
a=linspace(0,2*pi,20);

[R,A]=meshgrid(r,a);

hold on
X3=R.*cos(A);
Y3=R.*sin(A);
Z3=-(1./(R.^4))+((2./(R.^2)).*cos(2.*A));

surf(X3,Y3,Z3);
shading interp;

plot3(cos(A), sin(A), zeros(size(A)), 'k', 'LineWidth', 1);
hold off

axis equal;
axis([-4,4,-4,4]);

xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presión del fluido');
colorbar;

Módulos del campo de velocidades

r=linspace(1,5,20);
a=linspace(0,2*pi,20);

[R,A]=meshgrid(r,a);

hold on
X3=R.*cos(A);
Y3=R.*sin(A);
Z3=(1+(1./(R.^4))-((2./(R.^2)).*cos(2.*A))).^(1./2);

surf(X3,Y3,Z3);
shading interp;

x2=(cos(A))-(cos(A)./R.^2);
y2=-(sin(A))-(sin(A)./R.^2);

X2=cos(A).*x2-(sin(A)./R).*y2;
Y2=sin(A).*x2+(cos(A)./R).*y2;

quiver(X3,Y3,X2,Y2,'m');

plot3(cos(A), sin(A), zeros(size(A)), 'k', 'LineWidth', 1);
hold off

axis equal;
axis([-4,4,-4,4]);

xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Módulos del campo de velocidades');
colorbar;

5.1 Máximos y mínimos absolutos

[math] \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial \rho} = 0 \\ \frac{\partial p}{\partial \theta} = 0 \end{cases} [/math]

[math] \begin{cases} \frac{4}{\rho^5} - \frac{4 \cos(2\theta)}{\rho^3}= 0 \\ \frac{4 \sin(2\theta)}{\rho^2}=0 \end{cases} [/math]

Resolviendo esto nos quedan cuatro soluciones para [math](\rho,\theta)[/math]

• [math](\rho,\theta)=(1,0)[/math]
• [math](\rho,\theta)=(1,\pi)[/math]

o Ahora para identificar si son máximos, mínimos o puntos de silla, utilizaremos la matriz hessiana

[math] H(f) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}[/math]

Haciendo las derivadas y sustituyendo quedaria

[math] H(p)(\rho,\theta)= \begin{pmatrix} \dfrac{12 \cos(2\theta)}{\rho^4} - \dfrac{20}{\rho^6} & \dfrac{8 \sin(2\theta)}{\rho^3} \\ \dfrac{8 \sin(2\theta)}{\rho^3} & -\dfrac{8 \cos(2\theta)}{\rho^2} \end{pmatrix}[/math] Ahora debemos analizar su determinante el cual es y sustituir por los valores encontrado para [math](\rho,\theta)[/math] [math]\det(H(p)) = \frac{-32 \rho^2 \cos^2(2\theta) - 64 \rho^2 + 160 \cos(2\theta)}{\rho^8}[/math]

Puesto que para [math](\rho,\theta)=(1,0) ,(1,\pi)[/math] el determinante queda positivo y la la primera componente de la primera columna y primera fila es negativo podemos concluir que [math](\rho,\theta)=(1,0),(1,\pi)[/math] son máximos absolutos

5.2 Máximos y mínimos en la frontera S

Dado que estamos trabajando en coordenadas cilíndricas y que la frontera S es realmente fácil de describir en estas coordenadas puesto que el radio no varia y solo varia el ángulo utilizaremos el teorema de Weistrass el cual establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado [a, b] siempre alcanza al menos un máximo absoluto y un mínimo absoluto dentro de ese intervalo. Esto significa que la función tiene un valor más alto y uno más bajo dentro de ese intervalo específico, garantizado por la continuidad en el conjunto cerrado y acotado, siendo nuestro intervalo [math]\rho \in [0, \pi], \quad \theta \in [1, \infty)[/math]

Por tanto sustituiremos por 1 el radio en la funcion de la presión [math]p(\rho,\theta)=-\dfrac{1}{\rho^{4}}+\dfrac{2}{\rho^{2}}\cos2\theta[/math] y nos quedara [math]p(\theta)=-1+2cos2\theta[/math]

Por tanto veremos que alcanza los máximos cuando [math]\theta=0,\pi[/math] y alcanza los máximos cuando [math]\theta=2\pi,2\pi/3[/math]

Máximos

• [math](\rho,\theta)=(1,0)[/math]
• [math](\rho,\theta)=(1,\pi)[/math]

Mínimos

• [math](\rho,\theta)=(1,\pi/2)[/math]
• [math](\rho,\theta)=(1,3\pi/2)[/math]

Observamos que los máximos en la frontera de S coindicen con los máximos absolutos calculados en el apartado anterior

5.3 Comparación con velocidad

Si nos remontamos al apartado donde calculamos las velocidades máximas y mínimas podemos observar que cuando la velocidad es máxima la presión es mínima y a la inversa, esto se debe a la ecuación de Bernuilli, que dicta que presión, velocidad y altura guardan una relación llamada trinomio de Bernuilli el cual estudiaremos en profundida en el siguiente apartado.

6 Trayectoria de la partícula

Como se muestra en el apartado anterior, la presión es mínima cuando la velocidad es máxima, es decir, la velocidad incrementa cuando se produce un estrechamiento. Esto se debe a que el caudal será constante en todo momento.[math]Q=Av[/math]

Siendo Q el caudal, A el área y v la velocidad. Por lo que, cuando el área es mínima, la velocidad debe de ser máxima para [math]\theta = \pi/2 [/math] y [math]\theta = 3\pi/2 [/math], como se verifica en el apartado 4.1. Además, según el principio de Bernoulli, el trinomio es constante en todo momento. Sabiendo que la altura es cero, nos queda la ecuación:

[math]\frac{1}{2}\rho|\vec{u}|^2 + p = \text{cte.}[/math]

Asimismo, la presión aumenta al disminuir la velocidad y viceversa, conservando el trinomio, esto se ha comprobado en los apartados anteriores. La presión es máxima cuando el fluido choca con el obstáculo debido al impacto frontal, que hace que la velocidad sea nula.

8 Otro ejemplo

Sea la función potencial

[math] \varphi (\rho ,\theta, z)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta) +\frac{\theta}{4 \pi} [/math]

Función potencial

r=linspace(1,5,50);
a=linspace(0,2*pi,50);

[R,A]=meshgrid(r,a);

hold on
X=R.*cos(A);
Y=R.*sin(A);
Z=((R+1./R).*cos(A))+(A./4.*pi);

surf(X,Y,Z);

plot3(cos(A), sin(A), zeros(size(A)), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

axis equal;
axis([-4,4,-4,4]);

xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Función potencial');
colorbar;

Hallamos su función gradiente tal que [math]\vec{u}[/math]=∇φ.

[math] \vec{u}= \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho - [\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta -\frac{1}{4 \pi \rho}]\vec{e}_\theta [/math]

Campo de velocidades y función potencial

Detalle del campo de velocidades

r=linspace(1,5,40);
a=linspace(0,2*pi,40);

[R,A]=meshgrid(r,a);

hold on
X1=R.*cos(A);
Y1=R.*sin(A);
Z1=((R+1./R).*cos(A))+(A./4.*pi);

contour(X1,Y1,Z1,50);

x2=(cos(A))-(cos(A)./R.^2);
y2=-(sin(A))-(sin(A)./R.^2)+(1./4.*pi.*R);

X2=cos(A).*x2-(sin(A)./R).*y2;
Y2=sin(A).*x2+(cos(A)./R).*y2;

quiver(X1,Y1,X2,Y2,'m');

plot3(cos(A), sin(A), zeros(size(A)), 'k', 'LineWidth', 1);
hold off

axis equal;
axis([-4,4,-4,4]);

xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Campo de velocidades');
colorbar;

Con la fórmula del campo de velocidades,

[math] \vec{u}= \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec{e}_\rho - [\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta -\frac{1}{4 \pi \rho}]\vec{e}_\theta, [/math]

calcularemos el rotacional y la divergencia.

8.1 Rotacional nulo

[math] \nabla\times\vec{u} =\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\ \dfrac{\partial}{\partial\rho} & \dfrac{\partial}{\partial\theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ \left(1-\dfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -[\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta -\frac{1}{4 \pi}] & 0 \end{vmatrix} =\frac{1}{\rho} [(-1 + 1/\rho^{2})\sin\theta\ \vec{e}_{z} \;-\; (-1 + 1/\rho^{2})\sin\theta\,\vec{e}_{z}] = 0 [/math]

Las líneas de corriente del campo de velocidades forman círculos, indicando que hay circulación alrededor del eje. Sin embargo, las partículas del fluido no giran sobre sí mismas, siguen trayectorias curvas sin rotación interna. Esto se refleja en que el rotacional del campo es cero.

En conclusión, el flujo presenta circulación alrededor de un punto, pero no genera remolinos locales; es un flujo irrotacional.

8.2 Comprobación de la divergencia nula

[math]\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho(u_\rho))+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho(u_z))] [/math]

[math] \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial\rho} \Bigl(\rho\, \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \;\vec{e}_{\rho} \Bigr) \;-\; \frac{\partial}{\partial\theta} \Bigl( [\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta -\frac{1}{4 \pi \rho}] \; \vec{e}_{\theta} \Bigr) \right]=\frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial\rho} \Bigl(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta \;\vec{e}_{\rho} \Bigr) \;-\; \frac{\partial}{\partial\theta} \Bigl( [\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta -\frac{1}{4 \pi \rho}] \; \vec{e}_{\theta} \Bigr) \right] [/math]

[math] \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta - \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta \right] =0 [/math]

La divergencia es nula, indicando que el fluido es incompresible.

8.3 Líneas de corriente

Primero calcularemos el campo [math]\vec{v}[/math], que en cada punto es ortogonal a [math]\vec{u}[/math], ([math]\vec{v}[/math] = [math]\vec{k}\times\vec{u}[/math], donde [math]\vec{k}[/math]=[math]\vec {e}_{z}[/math]).

[math]\vec v=\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ {0} & {0} & {1} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & -[\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta -\frac{1}{4 \pi \rho}] & {0} \end{vmatrix}= [(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)-\frac{1}{4 \pi \rho}]\vec {e}_{\rho} + [(1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{\theta} =\vec v[/math]

Comprobamos que [math]\vec{v}[/math] es irrotacional:

[math]\nabla\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ v_\rho & \rho v_\theta & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}-[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]\vec {e}_{z}]=\vec {0}[/math]

A continuación calculamos [math]\psi[/math], para ello resolveremos el sistema de ecuaciones [math]\nabla\cdot\psi=\vec v[/math]

[math]\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=v_\rho=\int [(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)-\frac{1}{4 \pi \rho}]\,d\rho=sin(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})+ \frac{1}{4 \pi}\ln(\rho)+f(\theta)[/math]

[math]\frac{\partial\psi}{\partial\theta}= \rho v_\theta=\int (\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta)\,d\theta=sin(\theta) (\rho-\frac{1}{\rho})[/math]

[math]\psi = \sin(\theta)\left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)+ \frac{1}{4 \pi}\ln(\rho)[/math]

Líneas de corriente del campo de velocidades

r=linspace(1,5,20);
a=linspace(0,2*pi,20);

[R,A]=meshgrid(r,a);

hold on
X3=R.*cos(A);
Y3=R.*sin(A);
Z3=(sin(A).*(R-(1./R)))+((1./(4.*pi)).*log(R));

contour(X3,Y3,Z3,50);

x2=(cos(A))-(cos(A)./R.^2);
y2=-(sin(A))-(sin(A)./R.^2);

X2=cos(A).*x2-(sin(A)./R).*y2;
Y2=sin(A).*x2+(cos(A)./R).*y2;

quiver(X3,Y3,X2,Y2,'m');

plot3(cos(A), sin(A), zeros(size(A)), 'k', 'LineWidth', 1);
hold off

axis equal;
axis([-4,4,-4,4]);

xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Líneas de corriente del campo de velocidades');