El Vórtice de Rankine (grupo 64)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	El Vórtice de Rankine. Grupo 64
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Ana Abollado Vázquez; Elena Tallón Falero; Lucía Riesgo Cobo
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Motivación

En ingeniería civil, el comportamiento del agua y del aire en movimiento es un factor decisivo en el diseño de infraestructuras como puentes, presas, canales o estructuras portuarias.

Los vórtices aparecen con frecuencia en la entrada de tomas hidráulicas, alrededor de pilares de puentes o en zonas de desagüe. Estos pueden generar pérdidas de eficiencia, erosión o inestabilidad por lo que su estudio resulta esencial para garantizar la seguridad y el rendimiento de las obras civiles.

El vórtice de Rankine es un modelo idealizado cuya simplicidad permite analizar la velocidad, presión y vorticidad de manera clara proporcionando una base para entender fenómenos más complejos en fluidos rotacionales ya que divide el flujo en dos regiones: un núcleo de rotación sólida, donde la vorticidad es constante, y una zona exterior donde el flujo es irrotacional.

2 Campo de velocidades

En coordenadas cilíndricas \((\rho, \theta, z)\), el campo de velocidad del vórtice de Rankine es:

[math]\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}[/math]

donde

[math] v_{\theta}(\rho) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \text{si } \rho \le R,\\[6pt] \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \text{si } \rho \gt R. \end{cases} [/math]

Aquí, [math]R[/math] es el radio del núcleo del vórtice (el «ojo») y [math]\Gamma[/math] es la circulación total, que determina la intensidad del vórtice. El vórtice se extiende desde el suelo hasta la altura [math]z_{0}[/math].

2.1 Circulación \(\Gamma\) del vórtice

El cálculo de la circulación total \(\Gamma\), que determina la intensidad del vórtice, es:

[math] v_{\theta}(R) = \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,R \ siendo \ v_{\theta}(R) = 90 [/math]

[math] \Rightarrow \Gamma = 90 \cdot 2\pi R = 45\,000\,\pi \,\frac{m^{2}}{s} \approx 141\,371{,}6694 \,\frac{m^{2}}{s} \\ [/math] Análisis dimensional: [math] \\ [\Gamma] = \left[\frac{\frac{m}{s}\cdot m^{2}}{m}\right] = \left[\frac{m^{2}}{s}\right] [/math]

2.2 Campo de velocidad tangencial

Campo de velocidad tangencial \(v_{\theta}(\rho)\) para \(\rho \in [0,1000]\) m en plano horizontal:

[math] v_{\theta}(\rho)= \begin{cases} 22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}, & \text{si }\rho \in [0,250],\\[6pt] 22500\,\dfrac{1}{\rho}, & \text{si }\rho \in (250,1000]. \end{cases} = \begin{cases} \dfrac{9\,\rho}{25}, & \rho \in [0,250]\\[6pt] \dfrac{22\,500}{\rho}, & \rho \in (250,1000] \end{cases} [/math]

El campo de velocidad tangencial 𝑣 describe la variación de la velocidad circular alrededor del centro del vórtice en función del radio ρ. En el vórtice de Rankine, este campo presenta dos regímenes diferenciados:

- Núcleo sólido (ρ≤250 m): el flujo rota como un cuerpo rígido y 𝑣 crece linealmente con ρ, indicando vorticidad constante en esta región.

- Región potencial (ρ>250 m): el flujo es irrotacional y la velocidad decrece con 1/ρ, manteniéndose constante la circulación.

Este perfil caracteriza completamente la estructura dinámica del vórtice, permitiendo identificar la transición entre rotación sólida interior y comportamiento potencial exterior.

Gráfica de la velocidad tangencial en función de la distancia radial

R = 250;         
vR = 90;         
rho_max = 1000;

Gamma = vR * 2*pi*R;
fprintf("Gamma = %.4e m^2/s\n", Gamma);

rho = linspace(0, rho_max, 2000);
vtheta = zeros(size(rho));

core = rho <= R;
vtheta(core)  = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
vtheta(~core) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(~core);

figure;
plot(rho, vtheta, 'LineWidth', 2); hold on;

yL = ylim;
plot([R R], yL, '--k');
plot(R, vR, 'or', 'MarkerFaceColor','r');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('v_\theta(\rho) (m/s)');
grid on;
xlim([0 rho_max]);
legend('v_\theta(\rho)', '\rho = R', 'v_\theta(R)');

2.3 Campo vectorial de velocidades

[math] \text{Campo vectorial } \vec{v},\; x,y \in [-800,800] [/math] El campo vectorial de velocidades describe, para cada punto del plano horizontal, la dirección tangencial del flujo y la intensidad con la que éste se mueve alrededor del centro del vórtice. En el vórtice de Rankine, dicho campo es puramente tangencial, por lo que cada vector es perpendicular al radio y sigue una trayectoria circular.

[math] \vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta} = \begin{cases} 22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in [0,250],\\[6pt] 22500\,\dfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in (250,1000]. \end{cases} [/math]

En el núcleo interior, el flujo se comporta como una rotación sólida, donde los vectores aumentan en magnitud conforme se alejan del centro, manteniendo una distribución uniforme de vorticidad. En la región exterior, el campo pasa a ser potencial, aquí los vectores disminuyen en intensidad con la distancia, reflejando un movimiento irrotacional en el que la circulación se conserva.

Este campo permite visualizar de forma completa la estructura dinámica del vórtice, distinguiendo claramente la rotación uniforme del núcleo y el comportamiento potencial de la zona exterior.

Representación del campo vectorial de velocidades

R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;
xmax = 800; ymax = 800; 
N = 40;

x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);

rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);
Vtheta = zeros(size(rho));
core  = (rho <= R & rho>0);
outer = (rho > R);

Vtheta(core)  = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
Vtheta(outer) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(outer);

Vx = -Vtheta .* sin(theta);
Vy =  Vtheta .* cos(theta);

figure; hold on;
quiver(X(core),  Y(core),  Vx(core),  Vy(core),  'b');
quiver(X(outer), Y(outer), Vx(outer), Vy(outer), 'r');

t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Campo vectorial del vórtice de Rankine');
axis equal;
xlim([-xmax xmax]); ylim([-ymax ymax]);
grid on;
legend('núcleo','exterior','R');

2.3.1 Suficiencia del Plano Horizontal

La cuestión de por qué es suficiente representarlo en un plano horizontal se justifica en que el vórtice de Rankine es un modelo donde las velocidades dependen solo de la distancia radial al centro y la componente vertical es nula. Esto significa que toda la estructura dinámica, tanto el núcleo como la región exterior, queda completamente descrita en el plano horizontal, sin que la altura introduzca variaciones en el comportamiento del flujo.

3 Aplicación del modelo

3.1 Comparativa entre la realidad física y el modelo

El Vórtice de Rankine es un modelo matemático idealizado por lo que no tiene en cuenta factores físicos reales como las turbulencias, la fricción, el intercambio de calor, las fluctuaciones reales del viento o la convección vertical. Estas simplificaciones resultan útiles para el estudio de fenómenos atmosféricos por lo que, a pesar de no describir la realidad de manera fidedigna, existen similitudes entre ellos:

-Estos fenómenos atmosféricos poseen un núcleo donde el flujo rota casi como un sólido rígido, es decir, casi como el modelo de Vórtice de Rankine.
-El perfil radial de velocidades de estos fenómenos se aproxima muy bien con el modelo de vórtice de Rankine, es decir, coinciden en la forma en la que la velocidad varía en función de la distancia al centro.
-Los fenómenos muestran un descenso de la presión hacia el centro al igual que ocurre en el modelo.

En este apartado se expondrán diferentes fenómenos físicos reales que se pueden llegar a aproximar parcialmente mediante el Modelo de Rankine:

Fenómeno	Escala (diámetro)	Intensidad	Mecanismos de Formación
Tornados	Desde unas pocas decenas de metros hasta un par de kilómetros (75–400 m en promedio).	Vientos de 110–500 km/h (EF0–EF5 en la escala de Beaufort). Duración de minutos.	Formación dentro de supercélulas (tormentas muy organizadas con una columna de aire rotante, mesociclón) mediante la cizalladura vertical del viento.
Trombas Marinas	Similar o ligeramente menor a la de un tornado (10–50 m en promedio).	60–90 km/h las no tornádicas y 90–150 km/h las tornádicas (EF0–EF1 en la escala de Beaufort). Duración de 5–20 minutos.	-Tornádica: formación igual a la del tornado pero sobre el agua. -No tornádica: formación por convección local sobre agua caliente.
Huracanes (ciclones tropicales)	Desde 100 hasta 2000 km (500–600 km en promedio).	Vientos de 118–250 km/h (categoría 1–5 en la escala Saffir–Simpson). Duración de días a semanas.	Formación sobre océanos cálidos donde el aire húmedo asciende y libera calor latente al condensarse. La baja presión en la superficie atrae más aire, el cual rota debido al efecto Coriolis.
Dust Devils (diablo de polvo)	Desde 0,5 hasta 90 m (0,5–10 m en promedio).	Vientos de 30–100 km/h. Duración de segundos a varios minutos.	Formación por convección térmica local del aire que levanta polvo y arena.

3.2 El modelo de Burgers-Rott como alternativa más realista al vórtice de Rankine

El modelo de Burgers–Rott es una solución analítica de las ecuaciones de Navier–Stokes (ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de los fluidos newtonianos) para un vórtice axisimétrico viscoso sometido a un esfuerzo de estiramiento radial/axial.

En este modelo el campo de velocidades posee tres componentes, a diferencia del de Rankine que solo se define en un plano horizontal. El modelo de Rankine no exige ninguna variación vertical mientras que el modelo de Burgers-Rott depende de z.

En coordenadas cilíndricas (r, θ, z), el campo de velocidades del modelo de Burgers–Rott es:

[math] v_r(r) = -\alpha\, r \qquad [v_r] = [\text{m/s}] [/math]

[math] v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}\left(1 - e^{-\frac{\alpha r^2}{2\nu}}\right) \qquad [v_\theta] = [\text{m/s}] [/math]

[math] v_z(z) = 2\alpha z \qquad [v_z] = [\text{m/s}] [/math]

donde:

• [math]\Gamma[/math] es la circulación total [math][\text{m}^2/\text{s}][/math]
• [math]\alpha \gt 0[/math] es la tasa de estiramiento [math][1/\text{s}][/math]
• [math]\nu[/math] es la viscosidad cinemática [math][\text{m}^2/\text{s}][/math]

El vórtice de Burgers–Rott es una alternativa más realista al vórtice de Rankine porque:

• Presenta una estructura tridimensional.
• La vorticidad tiene un perfil suave y no una discontinuidad artificial.
• Modela el estrechamiento (por estiramiento) y el ensanchamiento (por viscosidad) de un vórtice real.
• Satisface las ecuaciones de Navier–Stokes, por lo que no es un modelo cinemático sino dinámico. Describe el movimiento real del fluido considerando el equilibrio entre fuerzas, la viscosidad y el estiramiento axial.

4 Divergencia y rotacional del campo de velocidad

4.1 Divergencia del campo de velocidad

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de salida o entrada de flujo a través de un volumen infinitesimal. En términos físicos, indica si en un punto el fluido se expande, se comprime o simplemente se redistribuye sin generar acumulación.

[math] \nabla \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{\rho}\left( \dfrac{\partial (\rho v^{\rho})}{\partial \rho} + \dfrac{\partial (v^{\theta})}{\partial \theta} + \dfrac{\partial (r v^{z})}{\partial z} \right) = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{\rho}{R^{2}})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (0,250] \\ \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{1}{\rho})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (250,1000] \end{cases} [/math]

El resultado ∇·v = 0 en todo el dominio indica que el flujo es incompresible. Esto significa que no existen fuentes ni sumideros de masa dentro del campo de velocidad, de modo que el volumen de fluido que entra en cualquier región es exactamente igual al que sale. Una divergencia nula implica que la densidad del fluido permanece constante y que el movimiento observado corresponde únicamente a un transporte y redistribución del fluido, sin acumulación local ni expansión volumétrica.

En el contexto del vórtice considerado, esta condición asegura que, aunque el fluido experimente un fuerte movimiento azimutal, no hay flujo neto que comprima o dilate el fluido en la dirección radial o axial. Por tanto, el comportamiento del tornado puede modelarse adecuadamente bajo el supuesto de flujo incompresible, coherente con la estructura de un vórtice estacionario.

4.2 Rotacional del campo de velocidad

El rotacional del campo de velocidad permite cuantificar la vorticidad del flujo, es decir, el grado de rotación local que experimentan las partículas de fluido. En el vórtice de Rankine, este análisis muestra con claridad la diferencia entre el núcleo interno y la región exterior.

[math] \vec{\omega} = \nabla \times \vec{v} = \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ v_{\rho} & \rho v_{\theta} & v_{z} \end{vmatrix} = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 22500 \dfrac{\rho^{2}}{R^{2}} & 0 \end{vmatrix} = \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial}{\partial \rho} \left( 22500 \dfrac{\rho^2}{R^2} \right) \vec{e}_z = \dfrac{1}{\rho} \cdot 22500 \cdot \dfrac{2 \rho}{R^2} \vec{e}_z = \dfrac{45000}{R^2} \vec{e}_z, & \rho \in (0,250], \\ \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 22500 \dfrac{\rho}{\rho} & 0 \end{vmatrix}= \dfrac{1}{\rho} \vec{0} = \vec{0}, & \rho \in (250,1000], \end{cases} z \in [0,z_0 = 2800] [/math]

Dentro del núcleo, el rotacional es constante y distinto de cero, lo que confirma que el flujo se comporta como una rotación sólida con vorticidad uniforme. Esta característica implica que todas las partículas giran con la misma velocidad angular, evidenciando una distribución perfectamente homogénea de la rotación. En la región exterior, el rotacional se anula, lo que indica un comportamiento totalmente irrotacional. En esta zona, el movimiento ya no es de rotación sólida, sino de tipo potencial, donde las partículas se desplazan siguiendo trayectorias circulares pero sin experimentar rotación local.

En conjunto, el rotacional permite distinguir con precisión ambas zonas: un núcleo con vorticidad constante y una envolvente externa sin vorticidad, caracterizando completamente la estructura del vórtice de Rankine en términos de su dinámica rotacional.

Representación gráfica del rotacional del campo de velocidades.

R = 250;
omega0 = 45000/R^2;

x = linspace(-300,300,25);
y = linspace(-300,300,25);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

Uz = zeros(size(X));
Uz(RHO < R) = omega0;

figure
quiver3(X,Y,zeros(size(X)), zeros(size(X)), zeros(size(Y)), Uz, 1.5, 'LineWidth',1.2)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\omega_z')
title('Rotacional del campo de velocidad')
axis equal; grid on; view(30,30)
colormap turbo

4.3 Campo escalar |∇ × v|

El campo escalar asociado al rotacional representa la magnitud de la vorticidad en cada punto del flujo. En el vórtice de Rankine, este valor es constante dentro del núcleo y nulo en la región exterior, coherente con la estructura idealizada del modelo.

[math] \left\lvert \nabla \times \vec{v} \right\rvert = \left\lvert \frac{45000}{R^{2}}\,\vec{e}_{z} \right\rvert = \sqrt{\,0^{2} + 0^{2} + \left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}\,} = \sqrt{\left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}} = \frac{45000}{R^{2}} [/math]

En la zona interior, la magnitud del rotacional resulta ser un valor constante, lo que confirma que el flujo posee una vorticidad uniforme característica de una rotación sólida. Esto indica que la intensidad de la rotación es la misma en todo el núcleo. En la zona exterior, el campo escalar se anula, reflejando un movimiento irrotacional. En esta región no existe rotación local del fluido, a pesar de que las trayectorias sigan siendo circulares.

Este campo escalar permite visualizar de forma clara la distribución de la vorticidad en el vórtice de Rankine y delimitar con precisión la transición entre el núcleo rotante y la región exterior potencial.

R = 250; vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;

xmax = 800; ymax = 800; N = 400;
x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega = zeros(size(rho));
omega(rho <= R & rho>0) = Gamma/(pi*R^2);

figure('Color','w');
imagesc(x,y,omega)
axis equal tight; set(gca,'YDir','normal')
colormap(jet)
cb = colorbar; cb.Label.String = '\omega (1/s)'; cb.Label.FontSize = 12;

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Magnitud de la vorticidad');

hold on
t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.5)

% Leyenda elegante
h1 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','red','MarkerEdgeColor','k');
h2 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','blue','MarkerEdgeColor','k');
legend([h1 h2], ...
       {['Núcleo: \omega = ', num2str(Gamma/(pi*R^2),'%.1f')], ...
        'Exterior: \omega = 0'}, ...
       'Location','northeast','Box','on','FontSize',11);

4.3.1 ¿Dónde está concentrada la vorticidad?

La vorticidad, como se observa tanto gráfica como analíticamente se encuentra concentrada en el núcleo ([math]\rho \gt R[/math]).

4.3.2 ¿Qué ocurre en la región exterior?

La región exterior del núcleo, ([math]\rho \le R[/math]), esta región se llama flujo irrotacional porque, a pesar de existir velocidad tangencial, la vorticidad (rotación local) es nula.

4.4 Barca pequeña flotando en el vórtice.

La vorticidad, [math]\vec{\omega}[/math] es la magnitud que describe cuánto rota o gira localmente el fluido en un punto, es decir, describe cuánto giran las partículas sobre sí mismas.

• Si [math]\omega \gt 0[/math], el fluido gira en sentido antihorario.
• Si [math]\omega = 0[/math], no hay rotación local, es decir, el fluido se mueve en el vórtice pero sin girar sobre sí mismo.

En el vórtice de Rankine:

• Dentro del núcleo ([math]\rho \le R[/math]), [math]\omega = \text{cte} \gt0 [/math], la barca pequeña (a la que tratamos como una partícula) rota sobre sí misma.
• Fuera del núcleo ([math]\rho \gt R[/math]), [math]\omega = 0[/math], la barca se mueve en el vórtice pero no gira sobre sí misma.

5 Campo de presión y gradiente

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por:
[math] p(\rho,z) = \begin{cases} P_{0} + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho \le R,\\[6pt] P_{\infty} - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho \gt R, \end{cases} \qquad \rho \in [0,1000]\,\text{m},\; z \in [0,z_{0}] = [0,2800]\,\text{m} [/math]
Considerando \( P_{0}=92000\,\text{Pa},\ P_{\infty}=101325\,\text{Pa},\ \rho_{\text{aire}}=1.225\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\ \text{y}\ g = 9.8\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \)

5.1 Campo de presión

El campo de presión describe cómo varía la presión en función de la distancia radial y de la altura dentro del vórtice. En el vórtice de Rankine, esta distribución se divide en dos zonas bien diferenciadas.

[math] p(\rho,z) = \begin{cases} 92000 + \dfrac{3969}{50000}\,\rho^{2} - \dfrac{2401}{200}\, z = 92000 + 0{,}07938\,\rho^{2} - 12{,}005\,z, & \rho \in [0,250],\\[6pt] 101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - \dfrac{2401}{200}\, z = 101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - 12{,}005\,z, & \rho \in (250,1000], \end{cases} \qquad z \in [0,2800] [/math]

En el núcleo interior, la presión aumenta con el radio debido al régimen de rotación sólida. La aceleración centrífuga crece linealmente con la distancia al centro, lo que genera un incremento cuadrático de la presión hacia la periferia del núcleo. Además, la presión disminuye con la altura siguiendo la relación hidrostática habitual. En la región exterior, donde el flujo es potencial, la presión presenta un comportamiento diferente: decrece al aumentar el radio, coherente con la reducción de la velocidad tangencial y la conservación de la circulación. Al igual que en el núcleo, existe un descenso lineal con la altura debido al efecto hidrostático.

Este campo de presión permite identificar el equilibrio entre las fuerzas centrífugas y el gradiente de presión, caracterizando la estructura del vórtice y diferenciando claramente la zona de rotación sólida de la región irrotacional exterior.

Mapa de colores sobre una sección vertical que pasa por el eje del vórtice.

R     = 250;
vR    = 90;    
Gamma = 2*pi*R*vR;
P0    = 92000;  % Pa
Pinf  = 101325; % Pa
rho_air = 1.225;
g     = 9.81;

rho_max = 1000; z0 = 2800;
Nr = 500; Nz = 300;

rho = linspace(0, rho_max, Nr);
z   = linspace(0, z0, Nz);
[RHO,Z] = meshgrid(rho,z);

p = presion(RHO, Z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g);
p_hPa = p/100;

figure;
imagesc(rho, z, p_hPa);
set(gca,'YDir','normal'); axis tight
xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)');
title('Campo de presión p(\rho,z) [hPa]');
colormap(jet); colorbar

hold on
contour(rho, z, p_hPa, 15, 'k');

function p = presion(rho, z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g)
    p = zeros(size(rho));
    inside = (rho <= R);
    p(inside)  = P0 + 0.5*rho_air*(Gamma*rho(inside)/(2*pi*R^2)).^2 ...
                     - rho_air*g*z(inside);
    p(~inside) = Pinf - 0.5*rho_air*(Gamma./(2*pi*rho(~inside))).^2 ...
                     - rho_air*g*z(~inside);
end

5.2 Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo en el suelo.

[math] \Delta p = p(R^+,0) - p(0,0) = 101325 + \frac{310078125}{R^{+^2}} - 92000 = 4363{,}75\ \text{ Pa} [/math]

Se ha utilizado la ecuación del campo de presión correspondiente a [math]\rho \in (250, 1000][/math] para [math] p(R^+,0) [/math] porque [math] R^+ [/math] indica justo fuera del núcleo y, por ello, el límite por la derecha de [math]\rho = 250[/math].

[math] p_\infty - p_0 = 101325 - 92000 = 9325\ \text{ Pa} [/math]

Como se puede observar, el valor real de la caída de presión es significativamente mayor al calculado usando la expresión del vórtice de Rankine. Esto se debe a las limitaciones del modelo:

• El modelo asume una distribución de velocidad tangencial puramente horizontal ([math]v_\theta[/math]) y simétrica.
• Además, el modelo de Rankine no considera la extensión completa del campo de baja presión del vórtice ya que solo calcula la presión entre el borde del núcleo y el centro. Sin embargo, en un fenómeno atmosférico real la caída de presión se mide desde la presión atmosférica estándar lejana y esta es diferente a la del borde del núcleo.
• Por otro lado, el modelo de Rankine es una solución idealizada y no viscosa que omite la fricción y, por ende, elimina el desequilibrio de fuerzas que genera el flujo de aire crucial para mantener y generar la baja presión extrema en el centro del vórtice (aunque en el caso concreto de z=0 las presiones en el centro del vórtice coincidan)

5.4 Gradiente de presión

El gradiente de presión describe la dirección y la intensidad de las fuerzas que actúan sobre el fluido debidas a variaciones espaciales de la presión.

[math] \nabla p(\rho,z) = \frac{\partial p}{\partial \rho}\,\hat{e}_{\rho} \;+\; \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial \theta}\,\hat{e}_{\theta} \;+\; \frac{\partial p}{\partial z}\,\hat{e}_{z} = \begin{cases} 0{,}15876\,\rho \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in [0,250] \\[4pt] \dfrac{620156250}{\rho^{3}} \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in (250,1000] \end{cases} \quad \text{con } z \in [0,2800] [/math]

Gradiente de presión sobre sección vertical pasante por el eje.

R = 250; vR = 90;
rho_air = 1.225; g = 9.81;
Gamma = 2*pi*R*vR;

x = linspace(-1000, 1000, 50);
z = linspace(0, 3000, 50);
[X,Z] = meshgrid(x,z);

% Gradiente radial
dPdr = rho_air*Gamma^2 ./ (4*pi^2*X.^3);
dPdr(abs(X)<250)  = rho_air*(Gamma/(2*pi*R^2)).^2 .* X(abs(X)<250);

% Gradiente vertical
dPdz = -rho_air*g*ones(size(Z));

figure
quiver(X,Z,dPdr,dPdz,'r')
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]')
title('Gradiente de presión')
axis equal; grid on
axis([-500,500,0,1000])
xticks(-500:100:500)

5.4.1 Análisis del gradiente de presión

A lo largo del modelo de vórtice de Rankine el gradiente varía de la siguiente forma:
Dentro del núcleo \( \rho \in [0,250] \):

• cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 > \rho \), el gradiente de presión es negativo.
• cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 < \rho \), el gradiente de presión es positivo.

Fuera del núcleo \( \rho \in (250,1000] \):

• cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 > \rho \), el gradiente de presión es positivo.
• cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 < \rho \), el gradiente de presión es negativo.

El gradiente de presión es máximo en la frontera del núcleo (\( \rho = 250 \)):

[math] \lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = 0,15876 \times 250 - 12,005 = 27,685 [/math]

[math] \lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = 620156250 / 250^3 - 12,005 = 27,685 [/math]

[math] \lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = \lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = \nabla p(250,z) = 27,685 [/math]

Además, el gradiente de presión en el centro del núcleo (\( \nabla p(0,z) = 0{,}15876 \cdot 0 - 12{,}005 = -12{,}005 \)) muestra cómo en el ojo del vórtice la presión disminuye rápidamente y, por ende, se califica como una zona de depresión a la que el aire es atraído.

Por otro lado la presión es constante y, por ende, la fuerza nula, en \( \rho = 75{,}617 \) y \( \rho = 372{,}431 \).

En un sentido físico, el gradiente de presión apunta predominantemente hacia el centro del vórtice porque la presión es mínima en su núcleo. Esto genera una fuerza centrípeta que atrae el aire radialmente hacia el ojo del vórtice. En el núcleo, la rotación sólida permite que el gradiente de presión y la aceleración centrífuga se equilibren, manteniendo un flujo estable y acelerado hacia el centro.

En el exterior, la disminución de la velocidad tangencial y el gradiente de presión ajustan el equilibrio con la aceleración centrífuga, evitando el colapso del flujo pero manteniendo la atracción hacia el ojo del tornado.

Además, el componente vertical permanece constante asociado al equilibrio hidrostático.

5.5 Representación superficies isobáricas

La representación de las superficies isobáricas en p= 95000 Pa, p= 97000 Pa, p= 99000 Pa y p= 100000 Pa.

Representación 3D de las superficies isobáricas.

R = 250; vR = 90; z0 = 2800;
P0 = 920e2; Pinf = 1013e2;
rho_air = 1.225; g = 9.81;

Gamma = 2*pi*R*vR;

rho3 = linspace(1,1500,200);
theta3 = linspace(0,2*pi,200);
z3 = linspace(0,z0,200);
[RHO3, TH3, Z3] = meshgrid(rho3,theta3,z3);

X = RHO3.*cos(TH3);
Y = RHO3.*sin(TH3);
Z = Z3;

vtheta3 = zeros(size(RHO3));
vtheta3(RHO3 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO3(RHO3<=R);
vtheta3(RHO3 > R) = Gamma./(2*pi*RHO3(RHO3>R));

p3 = zeros(size(RHO3));
p3(RHO3 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3<=R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3<=R);
p3(RHO3 > R)  = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3>R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3>R);

isob = [950 970 990 1000]*100;
colors = lines(length(isob));

%% Figura 1: 3D
figure; hold on
for k = 1:length(isob)
    fv = isosurface(X,Y,Z,p3,isob(k));
    patch(fv,'FaceColor',colors(k,:),'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.6);
end
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Superficies isobáricas');
axis equal; view(35,20); camlight; lighting gouraud; grid on

%% Figura 2: Sección vertical
rho2 = linspace(1,1500,500);
z2 = linspace(0,z0,500);
[RHO2,Z2] = meshgrid(rho2,z2);

vtheta2 = zeros(size(RHO2));
vtheta2(RHO2 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO2(RHO2<=R);
vtheta2(RHO2 > R) = Gamma./(2*pi*RHO2(RHO2>R));

p2 = zeros(size(RHO2));
p2(RHO2 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2<=R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2<=R);
p2(RHO2 > R)  = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2>R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2>R);

figure; hold on
for k = 1:length(isob)
    contour(RHO2,Z2,p2,[isob(k) isob(k)],'LineWidth',2,'Color',colors(k,:));
end
xlabel('ρ (m)'); ylabel('z (m)');
title('Sección vertical de las isobaras');
grid on

5.6 Fuerza neta sobre un área

La depresión en el núcleo del tornado genera fuerzas destructivas, la fuerza neta estimada hacia el centro sobre la fachada de una pequeña edificación, de área 𝐴 = 50 m², situada a una distancia 𝜌 = 3 4𝑅 del eje, considerando que la fachada está orientada perpendicularmente al flujo radial del tornado: [math] F = A \int_{3R/4}^{R} \nabla p \, d\rho = 50 \int_{3R/4}^{R} 0{,}15876\,\rho \, d\rho = 50 \left[ 0{,}15876 \,\frac{\rho^{2}}{2} \right]_{3R/4}^{R} = 3{,}969 \left( R^{2} - \frac{9}{16}R^{2} \right) = 3{,}969 \cdot \frac{7}{16} R^{2} = 1{,}7364375 \cdot 250^{2} = 108527{,}3438 \,\text{N} \approx 108{,}5\,\text{kN} \approx 10{,}85 \, t_{f} [/math]

La fachada se considera plana y orientada perpendicularmente al flujo radial: por tanto solo interesa la componente radial del gradiente de presión ∂p/∂ρ, porque es la componente normal que ejerce presión sobre la cara. La fuerza obtenida representa el efecto de la depresión central del tornado sobre una fachada expuesta. En un vórtice como el de Rankine, la presión disminuye conforme se aproxima al eje debido a la aceleración centrífuga del flujo. Por ello, entre los radios 3R/4 existe una diferencia de presión que actúa de forma neta hacia el interior del vórtice.

Cuando la fachada está orientada perpendicular al flujo radial, esta diferencia de presión se traduce en una fuerza normal que tiende a succionar la estructura hacia el centro del tornado. El resultado obtenido muestra que, incluso para una superficie relativamente pequeña, la depresión generada por el vórtice puede producir cargas significativas, capaces de comprometer la integridad de muros ligeros o paneles no reforzados.

En conjunto, esta fuerza cuantifica el impacto directo de la baja presión asociada al núcleo del tornado sobre una edificación, poniendo de manifiesto el papel dominante del gradiente de presión en los daños estructurales durante este tipo de fenómenos extremos.