Onda transversal plana (Grupo 54)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Derformación plana. Grupo
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Jorge Muñoz Jimenez Daniel Galarza Polo Armando de Tomás
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

CORREGIR TITULO MAL PUESTO En este documento representaremos la sección longitudinal de un arco comprendido entre los radios [math]1\lt\sqrt{x^2+y^2}\lt2[/math] Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.

• La Temperatura
• Los Desplazamientos

La temperatura [math]T(x, y)[/math] viene dada por la ecuación:

[math]T(x, y)=(x-y)^2[/math]

Los desplazamientos [math]u(x, y)[/math] producidos por la acción de una fuerza determinada.

Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación [math]\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}[/math] , la posición de cada punto [math](x, y)[/math] de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación [math]\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y,t)[/math]

Conocemos [math]\vec{u}(\rho, \theta )=\frac{1}{5}(\rho - 1) \rho\vec{e_{\rho}}[/math]

1 Mallado

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [0,4] × [-\frac{1}{2} , \frac{1}{2}]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, [math]h=\frac{1}{10}[/math] para las variables [math]x[/math] e [math]y[/math].

% Radios del arco
r1 = 1;
r2 = 2;
%Divisores
Nr = 10;
Nt = 40;
%Crear vectores
r = linspace (r1, r2, Nr+1);
theta = linspace(0, pi, Nt+1);
%Mallado
figure;
hold on;
axis equal; 
title('Mallado básico del arco');
xlabel('x');
ylabel('y');
%Lineas radiales
for i = 1:length(r)
     x = r(i) * cos(theta);
     y = r(i) * sin(theta);
     plot(x, y, 'k'); 
end 
for j = 1:length(r)
     x = r(i) * cos(theta);
     y = r(i) * sin(theta);
     plot(x, y, 'g'); 
end 

grid on;

2 Temperatura

La temperatura viene dada por la siguiente expresión [math] T(x,y) = (x - y)^2 [/math], que depende únicamente de x e y.

La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Supongamos que la conocemos y está dada por

[math] T(\rho,\theta) = -\log\!\big((\rho - 1)^2 + 0.1\big). [/math]

Dibujarla.

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3 XX

Calcular [math]\nabla T[/math] y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de [math]T[/math] y observar gráficamente que [math]\nabla T[/math] es ortogonal a dichas curvas.

4 XX

Consideramos ahora el campo de vectores [math]\vec{u} = \frac{\cos(\pi y)}{10}\,\vec{i}[/math]. Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

6 Divergencia

Calcular la [math]\nabla \cdot \vec{u}[/math] en todos los puntos del sólido y dibujarla.

Fórmula de la divergencia en cilíndricas:

Para un campo [math]\vec{u} = u_r(r,\varphi,z)\,\hat{e}_r + u_\varphi(r,\varphi,z)\,\hat{e}_\varphi + u_z(r,\varphi,z)\,\hat{e}_z[/math], la divergencia viene dada por

[math] \nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\,u_r\right) + \frac{1}{r}\frac{\partial u_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial u_z}{\partial z}. [/math]

En nuestro caso [math]u_\varphi = 0[/math] y [math]u_z = 0[/math], por tanto

[math] \nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\,u_r(r)\right). [/math]

Sustitución de [math]u_r[/math]

Tenemos [math]u_r(r) = \tfrac{1}{5}(r - 1)r = \tfrac{1}{5}(r^2 - r)[/math]. Calculemos [math]r\,u_r[/math]:

[math] r\,u_r = r \cdot \tfrac{1}{5}(r^2 - r) = \tfrac{1}{5}(r^3 - r^2). [/math]

Derivando respecto a [math]r[/math]:

[math] \frac{d}{dr}(r\,u_r) = \tfrac{1}{5}(3r^2 - 2r). [/math]

Dividiendo por [math]r[/math]:

[math] \nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{r} \cdot \tfrac{1}{5}(3r^2 - 2r) = \tfrac{1}{5}(3r - 2). [/math]

Así que la expresión cerrada de la divergencia es

[math] \nabla \cdot \vec{u}(r) = \tfrac{1}{5}(3r - 2), [/math]

válida para todo punto del dominio (independiente de [math]\varphi[/math] y [math]z[/math]).

Análisis en el dominio [math]r \in [1,2][/math]

• Es una función lineal creciente en [math]r[/math].
• En [math]r = 1[/math]:

[math] \nabla \cdot \vec{u}(1) = \tfrac{1}{5}(3 - 2) = \tfrac{1}{5} = 0.2. [/math]

• En [math]r = 2[/math]:

[math] \nabla \cdot \vec{u}(2) = \tfrac{1}{5}(6 - 2) = \tfrac{4}{5} = 0.8. [/math]

Por tanto, **los puntos con mayor divergencia** son los del **borde exterior** [math]r = 2[/math] (la divergencia crece con [math]r[/math]).

La divergencia es positiva en todo el anillo, lo que indica expansión local (aumento de volumen/área local) producida por el desplazamiento radial.

Interpretación del resultado

[math]\nabla \cdot \vec{u} \gt 0[/math] implica que localmente el material se está “dilatando” (aumento de volumen/área). Al ser la divergencia independiente de [math]\varphi[/math], todas las direcciones angulares a un mismo radio tienen la misma dilatación; la dilatación máxima ocurre en [math]r = 2[/math].

Código MATLAB: XXX

7 Rotacional

Calcular [math]\lvert \nabla \times \vec{u} \rvert[/math] en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

Rotacional en coordenadas cilíndricas

[math] \nabla \times \vec{u} = \left( \frac{1}{r}\frac{\partial u_z}{\partial \varphi} - \frac{\partial u_\varphi}{\partial z} \right)\hat{e}_r \;+\; \left( \frac{\partial u_r}{\partial z} - \frac{\partial u_z}{\partial r} \right)\hat{e}_\varphi \;+\; \left( \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\,u_\varphi) - \frac{1}{r}\frac{\partial u_r}{\partial \varphi} \right)\hat{e}_z. [/math]

Sustitución de nuestro campo

En nuestro caso [math]u_\varphi \equiv 0[/math], [math]u_z \equiv 0[/math], y [math]u_r[/math] depende sólo de [math]r[/math] (no depende de [math]\varphi[/math] ni de [math]z[/math]). Por tanto:

• [math](\nabla \times \vec{u})_r = \frac{1}{r}\frac{\partial 0}{\partial \varphi} - \frac{\partial 0}{\partial z} = 0.[/math]

• [math](\nabla \times \vec{u})_\varphi = \frac{\partial u_r}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial r} = 0 - 0 = 0.[/math] (porque [math]u_r[/math] no depende de [math]z[/math])

• [math](\nabla \times \vec{u})_z = \frac{1}{r}\left(\frac{\partial}{\partial r}(r \cdot 0) - \frac{\partial u_r}{\partial \varphi}\right) = \frac{1}{r}(0 - 0) = 0.[/math] (porque [math]u_\varphi = 0[/math] y [math]u_r[/math] no depende de [math]\varphi[/math])

Por tanto:

[math] \nabla \times \vec{u}(r,\varphi) = \vec{0} [/math]

en todo el dominio.

Módulo del rotacional y puntos con mayor rotacional

El módulo es

[math]\lvert \nabla \times \vec{u} \rvert = 0[/math]

en todos los puntos. No hay puntos con mayor rotacional: el campo es irrotacional en todo el anillo.

Interpretación del resultado

Un campo puramente radial que depende sólo del radio (sin componente angular ni variación angular) suele ser irrotacional — no existe circulación local alrededor de los puntos. Aquí la deformación es expansión radial (ya vimos que la divergencia es positiva), pero sin giro local.

Código MATLAB: XXX

9 Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\vec{e}_\rho[/math]

Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\vec{e}_\rho[/math], es decir

[math] \left|\, \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\; (\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho)\,\vec{e}_\rho \,\right| [/math].

¿Dónde son mayores? Compáralas con los puntos de mayor deformación de la malla.

La cantidad pedida es la magnitud del componente tangencial del vector tensión (traction) sobre la superficie cuya normal es [math]\vec{e}_\rho[/math].

El vector traction sobre la superficie normal [math]\vec{n} = \vec{e}_\rho[/math] es

[math] \vec{t} = \sigma \cdot \vec{e}_\rho . [/math]

Su componente normal es [math](\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho)\,\vec{e}_\rho[/math]. Por tanto, el componente tangencial (vector) es

[math] \vec{t}_{\text{tan}} = \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\; (\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho)\,\vec{e}_\rho , [/math]

y la magnitud pedida es [math]\lVert \vec{t}_{\text{tan}} \rVert[/math].

Cálculo en coordenadas cilíndricas (más directo) 

En la resolución anterior obtuvimos el tensor de tensiones en la base polar ([math]\vec{e}_\rho[/math], [math]\vec{e}_\theta[/math]) (componentes locales):

[math] \sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \sigma_{\rho\rho} & \sigma_{\rho\theta} \\ \sigma_{\theta\rho} & \sigma_{\theta\theta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{7\rho - 4}{5} & 0 \\ 0 & \dfrac{5\rho - 4}{5} \end{pmatrix}, [/math]

es decir [math]\sigma_{\rho\theta} = \sigma_{\theta\rho} = 0[/math].

Entonces

[math] \sigma \cdot \vec{e}_\rho = \sigma_{\rho\rho}\,\vec{e}_\rho + \sigma_{\theta\rho}\,\vec{e}_\theta = \sigma_{\rho\rho}\,\vec{e}_\rho + 0 \cdot \vec{e}_\theta, [/math]

y

[math] (\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho)\,\vec{e}_\rho = \sigma_{\rho\rho}\,\vec{e}_\rho. [/math]

Por tanto el vector tangencial es

[math] \vec{t}_{\text{tan}} = \sigma \cdot \vec{e}_\rho - \sigma_{\rho\rho}\,\vec{e}_\rho = \vec{0}, [/math]

y su magnitud es

[math] \left\|\, \sigma \cdot \vec{e}_\rho - (\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho)\,\vec{e}_\rho \,\right\| = 0 \quad \text{en todo el dominio}. [/math]

Conclusión: las tensiones tangenciales sobre las superficies normales a [math]\vec{e}_\rho[/math] son nulas en todos los puntos del dominio (para el campo [math]\vec{u}[/math] dado).

Código MATLAB: XXX

11 Densidad

Si la densidad de la placa viene dada por

[math] d(\rho,\theta) = 1 + e^{\rho^2}\cos\theta, [/math]

calcular la masa aproximando la integral numéricamente.

El dominio es la media luna [math]\rho \in [1,2][/math], [math]\theta \in [0,\pi][/math] (misma geometría de los apartados anteriores).

La masa [math]M[/math] se obtiene integrando la densidad sobre el área (usar coordenadas polares, elemento de área [math]dA = \rho\, d\rho\, d\theta[/math]):

[math] M = \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{\rho=1}^{2} \left( 1 + e^{\rho^2}\cos\theta \right)\rho \, d\rho \, d\theta. [/math]

Separamos la integral en dos términos:

[math] M = \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \rho \, d\rho \, d\theta \;+\; \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} e^{\rho^2}\cos\theta \, \rho \, d\rho \, d\theta. [/math]

Observa que [math]\int_{0}^{\pi} \cos\theta \, d\theta = 0[/math]. Por tanto el segundo término se anula y

[math] M = \int_{0}^{\pi} d\theta \int_{1}^{2} \rho \, d\rho = \pi \cdot \left[ \frac{\rho^2}{2} \right]_{\rho=1}^{2} = \pi \cdot \frac{4 - 1}{2} = \frac{3\pi}{2}. [/math]

Resultado

[math] M = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71238898038469. [/math]

Resolución con Matlab:

f = @(th,r) (1 + exp(r.^2).*cos(th)).*r;

M = integral2(f, 0, pi, 1, 2);

Código MATLAB: XXX

12 Aplicación del trabajo

Interpretar este trabajo con alguna aplicación. Por ejemplo, suponiendo que el dominio es una parte de la corteza terrestre y que el desplazamiento es provocado por las ondas S en terremotos.