Onda transversal plana (Grupo 54)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Derformación plana. Grupo
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Jorge Muñoz Jimenez Daniel Galarza Polo Armando de Tomás
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

CORREGIR TITULO MAL PUESTO En este documento representaremos la sección longitudinal de un arco comprendido entre los radios [math]1\lt\sqrt{x^2+y^2}\lt2[/math] Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.

• La Temperatura
• Los Desplazamientos

La temperatura [math]T(x, y)[/math] viene dada por la ecuación:

[math]T(x, y)=(x-y)^2[/math]

Los desplazamientos [math]u(x, y)[/math] producidos por la acción de una fuerza determinada.

Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación [math]\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}[/math] , la posición de cada punto [math](x, y)[/math] de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación [math]\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y,t)[/math]

Conocemos [math]\vec{u}(\rho, \theta )=\frac{1}{5}(\rho - 1) \rho\vec{e_{\rho}}[/math]

1 Mallado

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [0,4] × [-\frac{1}{2} , \frac{1}{2}]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, [math]h=\frac{1}{10}[/math] para las variables [math]x[/math] e [math]y[/math].

% Radios del arco
r1 = 1;
r2 = 2;
%Divisores
Nr = 10;
Nt = 40;
%Crear vectores
r = linspace (r1, r2, Nr+1);
theta = linspace(0, pi, Nt+1);
%Mallado
figure;
hold on;
axis equal; 
title('Mallado básico del arco');
xlabel('x');
ylabel('y');
%Lineas radiales
for i = 1:length(r)
     x = r(i) * cos(theta);
     y = r(i) * sin(theta);
     plot(x, y, 'k'); 
end 
for j = 1:length(r)
     x = r(i) * cos(theta);
     y = r(i) * sin(theta);
     plot(x, y, 'g'); 
end 

grid on;

2 Temperatura

La temperatura viene dada por la siguiente expresión [math] T(x,y) = (x - y)^2 [/math], que depende únicamente de x e y.

La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Supongamos que la conocemos y está dada por

[math] T(\rho,\theta) = -\log\!\big((\rho - 1)^2 + 0.1\big). [/math]

Dibujarla.

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3 3

Calcular [math]\nabla T[/math] y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de [math]T[/math] y observar gráficamente que [math]\nabla T[/math] es ortogonal a dichas curvas.

4 4

Consideramos ahora el campo de vectores [math]\vec{u} = \frac{\cos(\pi y)}{10}\,\vec{i}[/math]. Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

11 11

Si la densidad de la placa viene dada por

[math] d(\rho,\theta) = 1 + e^{\rho^2}\cos\theta, [/math]

calcular la masa aproximando la integral numéricamente.

El dominio es la media luna [math]\rho \in [1,2][/math], [math]\theta \in [0,\pi][/math] (misma geometría de los apartados anteriores).

La masa [math]M[/math] se obtiene integrando la densidad sobre el área (usar coordenadas polares, elemento de área [math]dA = \rho\, d\rho\, d\theta[/math]):

[math] M = \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{\rho=1}^{2} \left( 1 + e^{\rho^2}\cos\theta \right)\rho \, d\rho \, d\theta. [/math]

Separamos la integral en dos términos:

[math] M = \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \rho \, d\rho \, d\theta \;+\; \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} e^{\rho^2}\cos\theta \, \rho \, d\rho \, d\theta. [/math]

Observa que [math]\int_{0}^{\pi} \cos\theta \, d\theta = 0[/math]. Por tanto el segundo término se anula y

[math] M = \int_{0}^{\pi} d\theta \int_{1}^{2} \rho \, d\rho = \pi \cdot \left[ \frac{\rho^2}{2} \right]_{\rho=1}^{2} = \pi \cdot \frac{4 - 1}{2} = \frac{3\pi}{2}. [/math]

Resultado

[math] M = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71238898038469. [/math]

Resolución con Matlab: f = @(th,r) (1 + exp(r.^2).*cos(th)).*r; M = integral2(f, 0, pi, 1, 2);