El Vórtice de Rankine (grupo 64)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	El Vórtice de Rankine. Grupo 64
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Ana Abollado Vázquez; Elena Tallón Falero; Lucía Riesgo Cobo
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

En ingeniería civil, el comportamiento del agua y del aire en movimiento es un factor decisivo en el diseño de infraestructuras como puentes, presas, canales o estructuras portuarias.

Los vórtices aparecen con frecuencia en la entrada de tomas hidráulicas, alrededor de pilares de puentes o en zonas de desagüe. Estos pueden generar pérdidas de eficiencia, erosión o inestabilidad por lo que su estudio resulta esencial para garantizar la seguridad y el rendimiento de las obras civiles.

El vórtice de Rankine es un modelo idealizado cuya simplicidad permite analizar la velocidad, presión y vorticidad de manera clara proporcionando una base para entender fenómenos más complejos en fluidos rotacionales ya que divide el flujo en dos regiones: un núcleo de rotación sólida, donde la vorticidad es constante, y una zona exterior donde el flujo es irrotacional.

2 Campo de velocidades

En coordenadas cilíndricas \((\rho, \theta, z)\), el campo de velocidad del vórtice de Rankine es:

[math]\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}[/math]

donde

[math] v_{\theta}(\rho) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \text{si } \rho \le R,\\[6pt] \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \text{si } \rho \gt R. \end{cases} [/math]

Aquí, [math]R[/math] es el radio del núcleo del vórtice (el «ojo») y [math]\Gamma[/math] es la circulación total, que determina la intensidad del vórtice. El vórtice se extiende desde el suelo hasta la altura [math]z_{0}[/math].

2.1 Circulación \(\Gamma\) del vórtice

El cálculo de la circulación total \(\Gamma\), que determina la intensidad del vórtice, es:

[math] v_{\theta}(R) = \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,R \ siendo \ v_{\theta}(R) = 90 [/math]

[math] \Rightarrow \Gamma = 90 \cdot 2\pi R = 45\,000\,\pi \,\frac{m^{2}}{s} \approx 141\,371{,}6694 \,\frac{m^{2}}{s} \\ [/math] Análisis dimensional: [math] \\ [\Gamma] = \left[\frac{\frac{m}{s}\cdot m^{2}}{m}\right] = \left[\frac{m^{2}}{s}\right] [/math]

2.2 Campo de velocidad tangencial

Campo de velocidad tangencial \(v_{\theta}(\rho)\) para \(\rho \in [0,1000]\) m en plano horizontal:

[math] v_{\theta}(\rho)= \begin{cases} 22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}, & \text{si }\rho \in [0,250],\\[6pt] 22500\,\dfrac{1}{\rho}, & \text{si }\rho \in (250,1000]. \end{cases} = \begin{cases} \dfrac{9\,\rho}{25}, & \rho \in [0,250]\\[6pt] \dfrac{22\,500}{\rho}, & \rho \in (250,1000] \end{cases} [/math]

El campo de velocidad tangencial describe cómo varía la magnitud de la velocidad en la dirección circular alrededor del centro del vórtice en función de la distancia radial 𝜌 ρ.

Gráfica de la velocidad tangencial en función de la distancia radial

R = 250;         
vR = 90;         
rho_max = 1000;

Gamma = vR * 2*pi*R;
fprintf("Gamma = %.4e m^2/s\n", Gamma);

rho = linspace(0, rho_max, 2000);
vtheta = zeros(size(rho));

core = rho <= R;
vtheta(core)  = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
vtheta(~core) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(~core);

figure;
plot(rho, vtheta, 'LineWidth', 2); hold on;

yL = ylim;
plot([R R], yL, '--k');
plot(R, vR, 'or', 'MarkerFaceColor','r');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('v_\theta(\rho) (m/s)');
grid on;
xlim([0 rho_max]);
legend('v_\theta(\rho)', '\rho = R', 'v_\theta(R)');

2.3 Campo vectorial de velocidades

[math] \text{Campo vectorial } \vec{v},\; x,y \in [-800,800] [/math]

[math] \vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta} = \begin{cases} 22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in [0,250],\\[6pt] 22500\,\dfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in (250,1000]. \end{cases} [/math]

Representación del campo vectorial de velocidades

R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;

xmax = 800; ymax = 800; 
N = 40;

x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);

rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);

Vtheta = zeros(size(rho));
core  = (rho <= R & rho>0);
outer = (rho > R);

Vtheta(core)  = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
Vtheta(outer) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(outer);

Vx = -Vtheta .* sin(theta);
Vy =  Vtheta .* cos(theta);

figure; hold on;
quiver(X(core),  Y(core),  Vx(core),  Vy(core),  'b');
quiver(X(outer), Y(outer), Vx(outer), Vy(outer), 'r');

t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Campo vectorial del vórtice de Rankine');
axis equal;
xlim([-xmax xmax]); ylim([-ymax ymax]);
grid on;

legend('núcleo','exterior','R');

2.3.1 Suficiencia del Plano Horizontal

La cuestión de por qué es suficiente representarlo en un plano horizontal se justifica en que el vórtice de Rankine es un modelo donde las velocidades dependen solo de la distancia radial al centro y la componente vertical es nula. Esto significa que toda la estructura dinámica, tanto el núcleo como la región exterior, queda completamente descrita en el plano horizontal, sin que la altura introduzca variaciones en el comportamiento del flujo.

3 Aplicación del modelo

3.1 Comparativa entre la realidad física y el modelo

El Vórtice de Rankine es un modelo matemático idealizado por lo que no tiene en cuenta factores físicos reales como las turbulencias, la fricción, el intercambio de calor, las fluctuaciones reales del viento o la convección vertical. Estas simplificaciones resultan útiles para el estudio de fenómenos atmosféricos por lo que, a pesar de no describir la realidad de manera fidedigna, existen similitudes entre ellos:

-Estos fenómenos atmosféricos poseen un núcleo donde el flujo rota casi como un sólido rígido, es decir, casi como el modelo de Vórtice de Rankine.
-El perfil radial de velocidades de estos fenómenos se aproxima muy bien con el modelo de vórtice de Rankine, es decir, coinciden en la forma en la que la velocidad varía en función de la distancia al centro.
-Los fenómenos muestran un descenso de la presión hacia el centro al igual que ocurre en el modelo.

En este apartado se expondrán diferentes fenómenos físicos reales que se pueden llegar a aproximar parcialmente mediante el Modelo de Rankine:

Fenómeno	Escala (diámetro)	Intensidad	Mecanismos de Formación
Tornados	Desde unas pocas decenas de metros hasta un par de kilómetros (75–400 m en promedio).	Vientos de 110–500 km/h (EF0–EF5 en la escala de Beaufort). Duración de minutos.	Formación dentro de supercélulas (tormentas muy organizadas con una columna de aire rotante, mesociclón) mediante la cizalladura vertical del viento.
Trombas Marinas	Similar o ligeramente menor a la de un tornado (10–50 m en promedio).	60–90 km/h las no tornádicas y 90–150 km/h las tornádicas (EF0–EF1 en la escala de Beaufort). Duración de 5–20 minutos.	-Tornádica: formación igual a la del tornado pero sobre el agua. -No tornádica: formación por convección local sobre agua caliente.
Huracanes (ciclones tropicales)	Desde 100 hasta 2000 km (500–600 km en promedio).	Vientos de 118–250 km/h (categoría 1–5 en la escala Saffir–Simpson). Duración de días a semanas.	Formación sobre océanos cálidos donde el aire húmedo asciende y libera calor latente al condensarse. La baja presión en la superficie atrae más aire, el cual rota debido al efecto Coriolis.
Dust Devils (diablo de polvo)	Desde 0,5 hasta 90 m (0,5–10 m en promedio).	Vientos de 30–100 km/h. Duración de segundos a varios minutos.	Formación por convección térmica local del aire que levanta polvo y arena.

3.2 El modelo de Burgers-Rott como alternativa más realista al vórtice de Rankine

El modelo de Burgers–Rott es una solución analítica de las ecuaciones de Navier–Stokes (ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de los fluidos newtonianos) para un vórtice axisimétrico viscoso sometido a un esfuerzo de estiramiento radial/axial.

En este modelo el campo de velocidades posee tres componentes, a diferencia del de Rankine que solo se define en un plano horizontal. El modelo de Rankine no exige ninguna variación vertical mientras que el modelo de Burgers-Rott depende de z.

En coordenadas cilíndricas (r, θ, z), el campo de velocidades del modelo de Burgers–Rott es:

[math] v_r(r) = -\alpha\, r \qquad [v_r] = [\text{m/s}] [/math]

[math] v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}\left(1 - e^{-\frac{\alpha r^2}{2\nu}}\right) \qquad [v_\theta] = [\text{m/s}] [/math]

[math] v_z(z) = 2\alpha z \qquad [v_z] = [\text{m/s}] [/math]

donde:

• [math]\Gamma[/math] es la circulación total [math][\text{m}^2/\text{s}][/math]
• [math]\alpha \gt 0[/math] es la tasa de estiramiento [math][1/\text{s}][/math]
• [math]\nu[/math] es la viscosidad cinemática [math][\text{m}^2/\text{s}][/math]

El vórtice de Burgers–Rott es una alternativa más realista al vórtice de Rankine porque:

• Presenta una estructura tridimensional.
• La vorticidad tiene un perfil suave y no una discontinuidad artificial.
• Modela el estrechamiento (por estiramiento) y el ensanchamiento (por viscosidad) de un vórtice real.
• Satisface las ecuaciones de Navier–Stokes, por lo que no es un modelo cinemático sino dinámico. Describe el movimiento real del fluido considerando el equilibrio entre fuerzas, la viscosidad y el estiramiento axial.

4 Divergencia y rotacional del campo de velocidad

4.1 Divergencia del campo de velocidad

[math] \nabla \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{\rho}\left( \dfrac{\partial (\rho v^{\rho})}{\partial \rho} + \dfrac{\partial (v^{\theta})}{\partial \theta} + \dfrac{\partial (r v^{z})}{\partial z} \right) = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{\rho}{R^{2}})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (0,250] \\ \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{1}{\rho})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (250,1000] \end{cases} [/math]

Significa que el flujo no crea ni destruye masa alrededor del vórtice. El movimiento giratorio ocurre sin que el fluido se acerque ni se aleje radialmente de forma neta. No aspira ni expulsa fluido, no hay fuentes ni sumideros en el centro; no hay velocidad radial ni variación de volumen local.

Con [math]\nabla \cdot \vec{v} \neq 0[/math] el vórtice colapsaría o se expandiría.

4.2 Rotacional del campo de velocidad

[math] \vec{\omega} = \nabla \times \vec{v} = \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ v_{\rho} & \rho v_{\theta} & v_{z} \end{vmatrix} = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 22500 \dfrac{\rho^{2}}{R^{2}} & 0 \end{vmatrix} = \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial}{\partial \rho} \left( 22500 \dfrac{\rho^2}{R^2} \right) \vec{e}_z = \dfrac{1}{\rho} \cdot 22500 \cdot \dfrac{2 \rho}{R^2} \vec{e}_z = \dfrac{45000}{R^2} \vec{e}_z, & \rho \in (0,250], \\ \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 22500 \dfrac{\rho}{\rho} & 0 \end{vmatrix}= \dfrac{1}{\rho} \vec{0} = \vec{0}, & \rho \in (250,1000], \end{cases} z \in [0,z_0 = 2800] [/math]

Representación gráfica del rotacional del campo de velocidades.

R = 250;
omega0 = 45000/R^2;

x = linspace(-300,300,25);
y = linspace(-300,300,25);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

Uz = zeros(size(X));
Uz(RHO < R) = omega0;

figure
quiver3(X,Y,zeros(size(X)), zeros(size(X)), zeros(size(Y)), Uz, 1.5, 'LineWidth',1.2)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\omega_z')
title('Rotacional del campo de velocidad')
axis equal; grid on; view(30,30)
colormap turbo

4.3 Campo escalar |∇ × v|

[math] \left\lvert \nabla \times \vec{v} \right\rvert = \left\lvert \frac{45000}{R^{2}}\,\vec{e}_{z} \right\rvert = \sqrt{\,0^{2} + 0^{2} + \left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}\,} = \sqrt{\left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}} = \frac{45000}{R^{2}} [/math]

R = 250; vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;

xmax = 800; ymax = 800; N = 400;
x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega = zeros(size(rho));
omega(rho <= R & rho>0) = Gamma/(pi*R^2);

figure('Color','w');
imagesc(x,y,omega)
axis equal tight; set(gca,'YDir','normal')
colormap(jet)
cb = colorbar; cb.Label.String = '\omega (1/s)'; cb.Label.FontSize = 12;

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Magnitud de la vorticidad');

hold on
t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.5)

% Leyenda elegante
h1 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','red','MarkerEdgeColor','k');
h2 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','blue','MarkerEdgeColor','k');
legend([h1 h2], ...
       {['Núcleo: \omega = ', num2str(Gamma/(pi*R^2),'%.1f')], ...
        'Exterior: \omega = 0'}, ...
       'Location','northeast','Box','on','FontSize',11);

4.3.1 ¿Dónde está concentrada la vorticidad?

La vorticidad, como se observa tanto gráfica como analíticamente se encuentra concentrada en el núcleo ([math]\rho \gt R[/math]).

4.3.2 ¿Qué ocurre en la región exterior?

La región exterior del núcleo, ([math]\rho \le R[/math]), esta región se llama flujo irrotacional porque, a pesar de existir velocidad tangencial, la vorticidad (rotación local) es nula.

4.4 Barca pequeña flotando en el vórtice.

La vorticidad, [math]\vec{\omega}[/math] es la magnitud que describe cuánto rota o gira localmente el fluido en un punto, es decir, describe cuánto giran las partículas sobre sí mismas.

• Si [math]\omega \gt 0[/math], el fluido gira en sentido antihorario.
• Si [math]\omega = 0[/math], no hay rotación local, es decir, el fluido se mueve en el vórtice pero sin girar sobre sí mismo.

En el vórtice de Rankine:

• Dentro del núcleo ([math]\rho \le R[/math]), [math]\omega = \text{cte} \gt0 [/math], la barca pequeña (a la que tratamos como una partícula) rota sobre sí misma.
• Fuera del núcleo ([math]\rho \gt R[/math]), [math]\omega = 0[/math], la barca se mueve en el vórtice pero no gira sobre sí misma.

5 Campo de presión y gradiente

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por:
[math] p(\rho,z) = \begin{cases} P_{0} + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho \le R,\\[6pt] P_{\infty} - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho \gt R, \end{cases} \qquad \rho \in [0,1000]\,\text{m},\; z \in [0,z_{0}] = [0,2800]\,\text{m} [/math]
Considerando \( P_{0}=92000\,\text{Pa},\ P_{\infty}=101325\,\text{Pa},\ \rho_{\text{aire}}=1.225\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\ \text{y}\ g = 9.8\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \)

5.1 Campo de presión

[math] p(\rho,z) = \begin{cases} 92000 + \dfrac{3969}{50000}\,\rho^{2} - \dfrac{2401}{200}\, z = 92000 + 0{,}07938\,\rho^{2} - 12{,}005\,z, & \rho \in [0,250],\\[6pt] 101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - \dfrac{2401}{200}\, z = 101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - 12{,}005\,z, & \rho \in (250,1000], \end{cases} \qquad z \in [0,2800] [/math]

Mapa de colores sobre una sección vertical que pasa por el eje del vórtice.

R     = 250;
vR    = 90;    
Gamma = 2*pi*R*vR;
P0    = 92000;  % Pa
Pinf  = 101325; % Pa
rho_air = 1.225;
g     = 9.81;

rho_max = 1000; z0 = 2800;
Nr = 500; Nz = 300;

rho = linspace(0, rho_max, Nr);
z   = linspace(0, z0, Nz);
[RHO,Z] = meshgrid(rho,z);

p = presion(RHO, Z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g);
p_hPa = p/100;

figure;
imagesc(rho, z, p_hPa);
set(gca,'YDir','normal'); axis tight
xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)');
title('Campo de presión p(\rho,z) [hPa]');
colormap(jet); colorbar

hold on
contour(rho, z, p_hPa, 15, 'k');

function p = presion(rho, z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g)
    p = zeros(size(rho));
    inside = (rho <= R);
    p(inside)  = P0 + 0.5*rho_air*(Gamma*rho(inside)/(2*pi*R^2)).^2 ...
                     - rho_air*g*z(inside);
    p(~inside) = Pinf - 0.5*rho_air*(Gamma./(2*pi*rho(~inside))).^2 ...
                     - rho_air*g*z(~inside);
end

5.2 Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo en el suelo.

[math] \Delta p = p(R^+,0) - p(0,0) = 101325 + \frac{310078125}{R^{+^2}} - 92000 = 4363{,}75\ \text{ Pa} [/math]

[math] p_\infty - p_0 = 101325 - 92000 = 9325\ \text{ Pa} [/math]

5.4 Gradiente de presión

[math] \nabla p(\rho,z) = \begin{cases} 0{,}15876\,\rho - 12{,}005\, & \text{si }\rho \in [0,250] \\[4pt] \dfrac{620156250}{\rho^{3}} - 12{,}005\, & \text{si }\rho \in (250,1000] \end{cases} \quad \text{con } z \in [0,2800] [/math]

Gradiente de presión sobre sección vertical pasante por el eje.

R = 250; vR = 90;
rho_air = 1.225; g = 9.81;
Gamma = 2*pi*R*vR;

x = linspace(-1000, 1000, 50);
z = linspace(0, 3000, 50);
[X,Z] = meshgrid(x,z);

% Gradiente radial
dPdr = rho_air*Gamma^2 ./ (4*pi^2*X.^3);
dPdr(abs(X)<250)  = rho_air*(Gamma/(2*pi*R^2)).^2 .* X(abs(X)<250);

% Gradiente vertical
dPdz = -rho_air*g*ones(size(Z));

figure
quiver(X,Z,dPdr,dPdz,'r')
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]')
title('Gradiente de presión')
axis equal; grid on
axis([-500,500,0,1000])
xticks(-500:100:500)

5.4.1

El gradiente de presión es crucial, ya que indica la dirección y la magnitud de la fuerza que actúa sobre el aire. Un campo de presión que presenta un fuerte gradiente puede dar lugar a vientos intensos. La depresión en el núcleo de un tornado es una de las principales causas de sus efectos destructivos. ¿Hacia dónde apunta predominantemente?

5.5 Representación superficies isobáricas

La representación de las superficies isobáricas en p= 95000 Pa, p= 97000 Pa, p= 99000 Pa y p= 100000 Pa.

5.6 Fuerza neta sobre un área

La depresión en el núcleo del tornado genera fuerzas destructivas, la fuerza neta estimada hacia el centro sobre la fachada de una pequeña edificación, de área 𝐴 = 50 m², situada a una distancia 𝜌 = 3 4𝑅 del eje, considerando que la fachada está orientada perpendicularmente al flujo radial del tornado: [math] F = A \int_{3R/4}^{R} \nabla p \, d\rho = 50 \int_{3R/4}^{R} 0{,}15876\,\rho \, d\rho = 50 \left[ 0{,}15876 \,\frac{\rho^{2}}{2} \right]_{3R/4}^{R} = 3{,}969 \left( R^{2} - \frac{9}{16}R^{2} \right) = 3{,}969 \cdot \frac{7}{16} R^{2} = 1{,}7364375 \cdot 250^{2} = 108527{,}3438 \,\text{N} \approx 108{,}5\,\text{kN} \approx 10{,}85 \, t_{f} [/math]