El Tanque de Tormentas de Arroyofresno (Grupo 30)

1 Funcionamiento del Tanque de Arroyofresno

2 Presión y fuerzas estructurales sobre columnas

2.1 Representación del Campo de presiones

Campo de presión hidrostática

En este apartado se describe cómo se representa el campo de presión hidrostática sobre la superficie lateral de una columna del tanque cuando éste se encuentra completamente lleno. El objetivo es visualizar cómo varía la presión en función de la profundidad mediante un mapa de colores aplicado sobre la superficie cilíndrica.

1) Campo de presión hidrostática

La presión en el interior del tanque depende únicamente de la coordenada vertical z, aumentando linealmente con la profundidad:

[math]P(z) = P_0 - \rho g\, z,\qquad z \in [-H,0][/math]

donde:

• [math]P_0 = 101325\ \text{Pa}[/math] es la presión atmosférica en la superficie del agua,
  
• [math]\rho = 1000\ \text{kg/m}^3[/math] es la densidad del agua,
  
• [math]g = 9.81\ \text{m/s}^2[/math] es la aceleración de la gravedad,
  
• [math]H = 22\ \text{m}[/math] es la profundidad total del tanque.
  

Dado que z toma valores negativos hacia el fondo, el término [math]-\rho g z[/math] hace que la presión aumente progresivamente al descender.

2) Superficie cilíndrica de la columna

La columna se considera un cilindro circular recto de radio:

[math]R_c = 0.75\ \text{m}[/math]

Para estudiar la distribución de presión sobre su superficie exterior, se parametriza el cilindro mediante:

[math] \begin{cases} x = R_c \cos\theta, \\ y = R_c \sin\theta, \\ z = z, \end{cases} [/math]

donde:

• [math]\theta \in [0,2\pi][/math] recorre toda la circunferencia,
  
• [math]z \in [-H,0][/math] recorre la altura total sumergida.
  

3) Representación mediante mapa de color

Una vez definido el campo escalar [math]P(z)[/math] y la superficie cilíndrica, se utiliza un mapa de colores para representar visualmente la presión:

• Las zonas cercanas al fondo muestran colores asociados a presiones más elevadas.
  
• Las zonas próximas a la superficie aparecen con colores correspondientes a presiones menores.
  

4) Código MATLAB

clear;clc;
%Datos
H=22;
rc=0.75;
Po=101325;
Da=1000;
g=9.81;

%Mallado en cilindricas
theta=linspace(0,2*pi,250);
z=linspace(-H,0,250);
[theta,z]=meshgrid(theta,z);

%Coordenadas cartesianas superficie
R=rc;
X=R*cos(theta);
Y=R*sin(theta);
Z=z;

%Campo de presion hidrostatica
P=Po-Da*g*Z;

%Representacion superficie con mapa de color
figure;
surf(X,Y,Z,P,'EdgeColor','none');
colorbar;
xlabel('X(m)');
ylabel('Y(m)');
zlabel('Z(m)');
title('Campo de presión hidrostatica');
axis equal;

2.2 Gradiente de presión y representación del campo vectorial

Gradiente de presión

En este apartado se analiza el gradiente del campo de presión hidrostática dentro del tanque y se representa dicho gradiente sobre la superficie lateral de una de sus columnas. El objetivo es mostrar, mediante vectores, cómo cambia la presión y hacia dónde aumenta cuando el tanque está lleno.

2) Gradiente del campo de presión

Según la fórmula referida en el punto anterior y puesto que la presión sólo varía con la profundidad, la presión sólo cambia en la dirección vertical.

El gradiente indica hacia dónde cambia más un valor. Como en este caso la presión solo depende de la profundidad z, su gradiente es:

[math] \nabla P = \left( \frac{\partial P}{\partial x},\; \frac{\partial P}{\partial y},\; \frac{\partial P}{\partial z} \right) = (0,\;0,\; -\rho_{\text{agua}}\, g). [/math]

Esto implica que:
el vector gradiente apunta constantemente hacia abajo, con magnitud proporcional al peso específico del agua.

El gradiente es por tanto un campo vectorial uniforme dirigido hacia el fondo del tanque.

3) Representación del gradiente como campo vectorial

Al superponer el gradiente sobre la superficie cilíndrica se obtiene un campo de vectores que muestra:

• dirección constante hacia abajo, indicando que la presión aumenta a medida que descendemos en la columna,
  
• magnitud uniforme, puesto que el gradiente es constante en todo el volumen del agua.
  

4) Código de matlab:

clear;clc;
%Datos
H=22;
rc=0.75;
Po=101325;
Da=1000;
g=9.81;

%Mallado en cilindricas
theta=linspace(0,2*pi,25);
z=linspace(-H,0,25);
[theta,z]=meshgrid(theta,z);

%Coordenadas cartesianas superficie
R=rc;
X=R*cos(theta);
Y=R*sin(theta);
Z=z;

%Gradiente de presion
dPx=zeros(size(Z));
dPy=zeros(size(Z));
dPz=-Da*g*ones(size(Z));

%Representacion
figure;
surf(X,Y,Z,'FaceAlpha',0.2,'EdgeColor','none');
hold on;
quiver3(X,Y,Z,dPx,dPy,dPz,'AutoScaleFactor',0.5);
xlabel('X(m)');
ylabel('Y(m)');
zlabel('Z(m)');
title('Gradiente de presion sobre la superficie de la columna');
axis equal;
grid on;
hold off;

2.3 Fuerza total que el agua ejerce sobre una columna
Para calcular la fuerza total que el liquido(agua)ejerce sobre la columna primero analizaremos la superficie de la columna
Radio de la columna:
[math]R_c=0.75 [/math]
La parametrizacion de la superficie lateral será entonces:

[math] \mathbf{r}(\theta, z) = \begin{pmatrix} R_c \cos\theta \\ R_c \sin\theta \\ z \end{pmatrix} , \theta\in[0,2\pi] z\in[-H,0] [/math]
El vector normal exterior es:
[math]\mathbf{n}(\theta, z)=\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \\ 0 \end{pmatrix} [/math]
El diferencial de superficie sera entonces:
[math]\quad dS = R_c\, d\theta\, dz,\quad [/math]

EL campo vectorial de la fuerza de presión es:

[math] \mathbf{F}(\theta, z) = -P(z)\,\mathbf{n}(\theta, z) = -(P_0 - \rho g z) \begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \\ 0 \end{pmatrix}. [/math]

La fuerza total:

[math] F_{\mathrm{tot}} = \iint_{S} F(\theta,z)\, dS = -R_c \int_{z=-H}^{0} \int_{\theta=0}^{2\pi} \left(P_0 - \rho g h \right) \begin{pmatrix} \cos\theta \\[4pt] \sin\theta \\[4pt] 0 \end{pmatrix} \, d\theta\, dz = -R_c \int_{z=-H}^{0} \left(P_0 - \rho g h \right) \left[ \int_{\theta=0}^{2\pi} \begin{pmatrix} \cos\theta \\[4pt] \sin\theta \\[4pt] 0 \end{pmatrix} \, d\theta \right] dz [/math]

2.1 Resultante sobre el cilindro completo

Componente en x: [math] F_x = -\int_{-H}^{0}\int_{0}^{2\pi} p(z)\cos\theta\,\rho_c\, d\theta\,dz [/math]

Como: [math]\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0[/math]

entonces: [math]F_x = F_y = F_z = 0[/math]

Por simetría: [math]\mathbf{F}=\mathbf{0}[/math]

2.2 Fuerza sobre media columna (θ ∈ [-π/2, π/2])

[math] F_{x,\text{media}} = -\int_{-H}^{0}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} p(z)\cos\theta\,\rho_c\, d\theta\,dz [/math]

La integral angular: [math]\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta = 2[/math]

Entonces: [math] F_{x,\text{media}} = -2\rho_c \int_{-H}^{0} p(z)\,dz [/math]

Sustituyendo [math]p(z)=-\rho g z[/math]: [math] \int_{-H}^{0} -\rho g z\,dz = \frac{1}{2}\rho g H^2 [/math]

Magnitud: [math] |F_{\text{media}}| = \rho_c\,\rho\,g\,H^2 [/math]

2.3 Sustitución numérica

[math]\rho_c=0.75\text{ m},\quad \rho=1000\ \text{kg/m}^3,\quad g=9.81\ \text{m/s}^2,\quad H=22\text{ m}[/math]

[math] |F_{\text{media}}| = 0.75\cdot 1000\cdot 9.81\cdot 22^2 = 3.56\times10^6\ \text{N} [/math]

Conversión: [math] 3.56\,\text{MN} = 3561\ \text{kN} [/math]

Toneladas-fuerza (1 tf = 9.80665 kN): [math] 3561/9.80665 \approx 363\ \text{tf} [/math]

2.4 Resultado final

• Fuerza total sobre el cilindro completo: [math]\mathbf{F}=0[/math]
• Fuerza sobre media columna:

 [math]|F_{\text{media}}| \approx 3.56\times 10^6\ \text{N} = 3561\ \text{kN} = 363\ \text{tf}[/math]

3 Infiltración y corrosión en columnas

3.1 Representación del campo de concentración infiltrado

En este apartado se describe cómo se representa el campo de concentración de contaminantes que ha penetrado en el interior de una columna de hormigón del tanque.El objetivo es visualizar de forma clara cómo los contaminantes presentes en el agua del tanque penetran en las columnas de hormigón, cómo su concentración aumenta con la profundidad del depósito y cómo se atenúa radialmente hacia el interior del material.

1) Concentración de contaminantes en el agua del tanque
Durante los episodios de tormenta, el agua que entra en el tanque arrastra contaminantes, los cuales tienden a sedimentar hacia el fondo. Por ello, la concentración en el agua varía con la profundidad y aumenta conforme se desciende desde la superficie libre:

[math]C_{\text{agua}}(z)=C_0\left(1+\alpha\,\frac{|z|}{H}\right)[/math]

donde:

• [math]C_0 = 0.3\,\text{kg/m}^3[/math] es la concentración en superficie,
  
• [math]\alpha=3[/math] caracteriza el incremento de contaminación hacia el fondo,
  
• [math]z\in[-H,0][/math] es la coordenada vertical, con [math]z=-H[/math] en el fondo del tanque.
  

Esto refleja que el agua cercana al fondo contiene más partículas sedimentadas.

2) Infiltración radial en las columnas de hormigón
Las columnas cilíndricas que soportan la estructura están sometidas al contacto directo con el agua contaminada. Los contaminantes penetran en su interior siguiendo una pérdida rápida de concentración conforme se penetra en el hormigón.

[math]C_{\text{col}}(\rho,z)= C_{\text{agua}}(z)\,e^{-\lambda(\rho_c-\rho)}[/math]

donde:

• [math]\rho[/math] es la distancia al eje de la columna,
  
• [math]\rho_c = 0.75\,\text{m}[/math] es el radio exterior de la columna,
  
• [math]\lambda = 10\,\text{m}^{-1}[/math] es el coeficiente de atenuación.
  

La concentración es máxima en la superficie de la columna (donde [math]\rho=\rho_c[/math]) y disminuye rápidamente hacia el interior.

3) Posición de la armadura
En el interior de cada columna se encuentra la armadura de acero, situada a un radio:

[math]\rho_a = 0.65\,\text{m}[/math]

4) Representación en una sección vertical
Para estudiar la variación vertical de la concentración infiltrada, se considera una sección vertical que pasa por el eje de la columna.

En esta representación:

• El eje horizontal corresponde al radio [math]\rho[/math], desde el centro hasta la superficie de la columna.
  
• El eje vertical corresponde a la profundidad [math]z[/math], desde la superficie del agua ([math]z=0[/math]) hasta el fondo ([math]z=-H[/math]).
  

El mapa de colores permite visualizar:

• El aumento de concentración hacia el fondo.
  
• La disminución radial hacia el interior.
  
• La localización de la armadura en [math]\rho=\rho_a[/math]
  

5) Representación en una sección transversal
Se estudia también una sección transversal de la columna en un plano horizontal situado a mitad de la altura del tanque ([math]z=-H/2[/math]).

En esta otra representacion:

• La concentración depende únicamente del radio [math]\rho[/math].
  

El mapa de colores muestra:

• El máximo de concentración en el borde exterior.
• Una bajada fuerte conforme se va hacia el interior.
• La circunferencia interior correspondiente a la armadura ([math]\rho=\rho_a[/math]).
  

6) Interpretación física y estructural
Las mayores concentraciones se encuentran en las zonas profundas del tanque.

3.2 Representación del campo del gradiente de concentración infiltrada
3.3 Representación de la función de concentración en la armadura en función de la profundidad
3.4 Representación de superficies de isoconcentración dentro de una columna
3.5 Masa total de contaminantes infiltrados en una columna

4 Decantación y distribución de contaminantes

4.1 Representación del campo de concentración de contaminantes en el agua
4.2 Gradiente de concentración de contaminantes en el agua
4.3 Superficie de isoconcentración en el agua y representación 3D
4.4 Masa total de contaminantes en el agua
4.5 Pasadas 24 Horas