La Catenaria (grupo 57)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La catenaria. Grupo 57
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Jaime Pelayo de Paz Alejandro Pérez Torres Luis Ignacio Quintana Sierra Adrián Rojas Zagal Lucía Candel Matesanz
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

La catenaria es una curva ideal que representa la curva característica que adopta un cable, cuerda o cadena perfectamente flexible cuando se encuentra suspendida entre dos puntos fijos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta forma se debe al equilibrio del peso propio y la ausencia de rigidez flexional. Cumple la ecuación: [math] y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) [/math], siendo a un numero natural mayor que 0
Para representarla se utilizará su parametrización en cartesianas y a = 3:

[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,3cosh(t/3) ), t∈(-1,1) [/math]

1 Dibujo de la curva

Utilizando MATLAB para la representación de la curva, se obtiene:

Representación de la Catenaria

t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y);
axis equal;
grid minor;

2 Vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ' '(t)

El vector velocidad representa el vector tangente a la curva en cada uno de los puntos de la misma, este informa sobre la dirección y sentido de la curva, además su modulo no constante indica la velocidad escalar en cada punto de la misma, viene dado por la expresión:

[math] \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) [/math]

El vector aceleración representa la variación de dirección y magnitud que experimenta el vector velocidad al variar el parámetro t. Se puede observar como la dirección y sentido del mismo se mantiene constante a lo largo de la curva. En este caso se expresa como:

[math] \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) [/math]

2.1 Representación en MATLAB

Representación de vectores velocidad y aceleración junto la curva

% parametrizamos la curva;
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y,'LineWidth',3);
axis equal;
grid minor;
hold on;
% creamos el vector velocidad con sus componentes;
vi=ones(1,20);
vj=s;
% representamos el vector velocidad;
quiver(x,y,vi,vj,'r');
hold on;
% creamos el vector aceleración con sus componentes;
ai=zeros(1,20);
aj=c./3;
% representamos el vector aceleración;
quiver(x,y,ai,aj,'g');

3 Longitud de la curva

La longitud de una curva parametrizada en función de un parámetro t en un intervalo [math] t\in ({t_1},{t_2})[/math] viene dada por: [math] L=\int_{t_1}^{t_2}|γ′(t)|=[/math], siendo [math] |γ'(t)|[/math] el módulo del vector velocidad.
Para calcularlo se necesita el vector velocidad: [math] \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) [/math] , del que obtenemos su módulo: [math] \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)}[/math] = [math]\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}[/math].
Sustituyendo y operando en [math] t\in (-1,1)[/math] se obtiene:
[math] L=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,03724 [/math]

4 Vectores tangente [math]\vec{t}(t)[/math] y normal [math]\vec{n}(t)[/math]

El vector tangente [math]\vec{t}(t)[/math], unitario, indica la dirección en que avanza la curva en cada punto, se calcula como: [math]\vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} [/math]
En este caso queda: [math] \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{3})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{3})}=sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} [/math]
Por otro lado, el vector normal [math]\vec{n}(t)[/math], también unitario, apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva, y se calcula como: [math] \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) [/math], siendo [math]\vec{b}(t)[/math] el vector binormal de la curva. Como se trata de una curva plana perteneciente al plano XY, se toma [math]\vec{b}(t)=\vec{k}[/math].

Por tanto [math] \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{3}) & tanh(\frac{t}{3}) & 0 \end{vmatrix}\end{equation}=-tanh(\frac{t}{3})\vec{i}+sech(\frac{t}{3})\vec{j} [/math]

4.1 Representación en MATLAB

Vectores tangente y normal

% parametrizamos la curva
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',5)
axis equal
grid minor
hold on
% creamos el vector tangente unitario con sus componentes
tgi=1./c;
tgj=s./c;
% representamos el vector tangente unitario
quiver(x,y,tgi,tgj,'y')
hold on
% creamos el vector normal unitario exterior con sus componentes
ni=(-s)./c;
nj=1./c;
% representamos el vector normal exterior
quiver(x,y,ni,nj,'m')

7 Propiedades de la curva

La curva catenaria es la geometría que asume una cadena o un cable idealizado, flexible e inextensible, cuando se encuentra suspendido en sus extremos y es sometido únicamente a la acción de la gravedad.
Su propiedad fundamental es que su configuración de equilibrio minimiza la energía potencial del cable, lo que la hace muy estable y resistente, y la convierte en una forma ideal para el soporte de cargas distribuidas uniformemente.
Debido a esto, en el campo de la ingeniería civil la curva catenaria posee una gran relevancia e interés. El diseño de estructuras como los puentes colgantes, líneas eléctricas o catenarias ferroviarias aprovechan la estabilidad y resistencia proporcionada por esta forma natural. Además, una aplicación destacada es el uso de la catenaria invertida para el diseño de arcos, ya que estos trabajan de manera óptima solo a compresión, logrando evitar esfuerzos flectores y cortantes, son conocidos como arcos funiculares.

8 Ejemplos de la curva en construcciones civiles

Como se ha dicho, la curva catenaria está presente en diversas construcciones civiles debido a sus propiedades de equilibrio frente a cargas distribuidas provocadas por la acción de la gravedad. A continuación se exponen algunos ejemplos:

Archivo:8.1.g57

Puente de Manhattan (Nueva York)

Archivo:8.2.g57

Gateway Arch (San Luis, Misuri)

Archivo:8.3.g57

Golden Gate Bridge (San Francisco, California)

Archivo:8.4.g57

Catenaria ferroviaria

Archivo:8.5.g57

Puente Mike O'Callaghan–Pat Tillman (EE.UU.)