La Cicloide (Grupo 70)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La cicloide. Grupo 70
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta. Este fenómeno ocurre bajo la condición de rodadura sin deslizamiento, lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

[math] \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) [/math], para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

1 Dibujo de la curva

Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:

Figura 1. Representación de la cicloide

% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2); 
xlabel('x(t)');

2 Cálculo vectores velocidad y aceleración

La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : [math] \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) [/math]

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas: [math]\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))[/math] y [math]\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))[/math]
A continuación, se representan utilizando MATLAB:

Figura 2. Vectores velocidad y aceleración

R=3; 
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t)); 
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t)); 
figure 

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r'); 
hold off
grid on

%ETIQUETAS 
axis equal 
legend('Curva','Velocidad','Aceleración'); 
title('Curva, velocidad y aceleración');

3 Cálculo de la longitud de la curva L

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva: [math]L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt[/math]
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral: [math]L=\int_{0}^{2\Pi}3\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt[/math]

[math] Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt = \int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = [/math]
[math] =8R=[R=3]= 24u [/math]

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u

Utilizando Matlab se podria calcular también de la siguiente manera:

f = @(t) 3*sqrt(2)*sqrt(1 - cos(t)); 
a = 0;  
b = 2*pi;  
n = 1000;  
h = (b - a) / n; 
x = a:h:b;  
y = f(x);   
integral_aproximada = sum(y(1:end-1)) * h; %Suma de cada una de las áreas de rectangulos
disp(integral_aproximada);

4 Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.

Calcularemos los vectores tangencial y normal a la curva a través de las fórmulas:

Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: [math]\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}[/math]
El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: [math]\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}[/math]
Y para ello necesitamos calcular el vector binomial, que tiene la siguiente expresión: [math]\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}[/math]
Realizando las operaciones: El vector binormal de la cicloide es: [math]\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}[/math]

Y el vector tangente: [math]\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}[/math]

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: [math]\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}[/math]

% Parámetros dados
t1 = linspace(0, 2*pi, 20); 

x = 2*t1 - 2*sin(t1); % Componente x de la curva
y = 2 - 2*cos(t1);   % Componente y de la curva

% Vectores tangente t(t)
u = (2 - 2*cos(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente x 
v = (2*sin(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1));    % Componente y

%vectores normales n(t)
w=v %componente x
q=-u %componente y

% Gráfica de la curva y el campo vectorial
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;

% Grafica de los vectores tangentes y normales
quiver(x, y, u, v, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1); 
quiver(x, y, w, q, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);


axis equal;
grid on;
title('Campo Vectorial sobre la Curva');
xlabel('x');

5 Vector tangente y vector normal

5.1 Vector tangente

El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.

• [math] \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ 2(1-cost)\vec i +(2sent)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}[/math]

5.2 Vector normal

El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva.

• [math]\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-2sent)\vec i +2(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}[/math]

5.3 Representación de los vectores tangente y normal

Realizado con el programa matlab

R=3;
n=15;
t=linspace(0,2*pi,n); 
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad 
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t)); 
norma= sqrt(v1.^2+v2.^2); 
t1=v1./norma; 
t2=v2./norma;
figure
hold on
%curva
plot(x,y, 'k'); 
%tangente 
quiver(x,y,t1,t2,'r'); 
%normal 
quiver(x,y,-t2,t1,'b'); 
axis equal
legend('Curva', 'tangente', 'normal');
hold off 
title ('Curva, tangente y normal.');

6 Curvatura de k(t) y su gráfica

La curvatura k(t) es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma. Esta función viene definida por la expresión: [math]κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}[/math]

t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

7 Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P

7.1 Centro y radio

Sea [math]P = γ(t)[/math] con [math] t = 4[/math] se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:

Centro: [math]Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... [/math]

Radio: [math] R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... [/math]

7.2 Representación de la circunferencia osculatriz

% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k;  % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4);   % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8);          % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2);              % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4);   % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4);               % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
       'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;

Archivo:Circunferencia osculatriz

.jpg

8 Fenomenos que describe la cicloide

La cicloide es una curva que surgió en el siglo 17, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo 17 utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. En estos avances, la cicloide fue la curva utilizada de forma preeminente y casi todos los matemáticos de la época la utilizaron en alguna prueba de su nueva teoría, hasta tal punto que gran parte de las primeras historias de la geometría analítica, el cálculo y la cicloide están estrechamente entrelazadas.

La cicloide no es solo una curiosidad matemática; sus aplicaciones prácticas son numerosas y variadas. Por ejemplo, los relojes de péndulo diseñados por Christiaan Huygens en el siglo XVII utilizaron la cicloide para mejorar la precisión del tiempo. Huygens demostró que un péndulo que oscila en un arco cicloidal tiene un periodo de oscilación constante, lo que no ocurre con un péndulo que oscila en un arco circular. El problema de la braquistócrona, planteado por Johann Bernoulli en 1696, es uno de los hitos más importantes asociados a la cicloide. Bernoulli desafió a la comunidad matemática a encontrar la curva de descenso más rápido bajo la influencia de la gravedad, y la solución resultó ser una cicloide.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos. En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas. Además, la cicloide es crucial en problemas de física, como el de la tautócrona, en el que una bola que se deja caer por una cicloide invertida llega al fondo en el mismo tiempo, sin importar su punto de partida. Este fenómeno fue descubierto por Christiaan Huygens y tiene aplicaciones en la teoría de relojes de péndulo y otros sistemas dinámicos.

9 Aplicación en la ingeniería de la Cicloide

La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación: Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
Karmsund Bridge.
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.

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