El vórtice de Rankine (g.34)

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Trabajo realizado por estudiantes
Título El Vórtice de Rankine (Grupo 34)
Asignatura Teoría de Campos
Curso 2025-26
Autores Miguel Gómez-Hidalgo Rivas
Haytam Imhah Chatoual
Darío Pérez
Pablo Ramírez Serrano
Jorge Machín Menés
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

El Vórtice de Rankine es un modelo matemático, ideado por William John Macquorn Rankine, ingeniero y físico escocés. Su diseño estuvo sujeto a la imperiosa necesidad de explicar de manera simplificada los fluidos rotatorios. Este modelo, aplicado a la vida cotidiana permite la descripción de la estructura básica de fenómenos meteorológicos como tornados y huracanes o en ciertos casos puede explicar ciertos aspectos de la ingeniería como la aerodinámica, ayudando a la creación de sistemas como las turbinas o ventiladores. En este trabajo, haremos algunos cálculos interesantes para la comprensión de este modelo. Además, utilizaremos códigos de Matlab para la representación de funciones y campos vectoriales de manera gráfica.

2 Circulación

Dada la función que representa la velocidad del vórtice [math]\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\gt R,\end{array} \right.\qquad [/math], para la situación [math]\rho = \text{R}[/math], tenemos la expresión [math]v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\, \rho \;=\; \frac{\Gamma}{2\pi R} [/math]. Según los datos que nos proporcionan [math](R=250 m; v_{\theta}= 90 m/s )[/math], nos daría un resultado de: [math]\Gamma = 1.4137 \times 10^{5} \ \mathrm{m^2/s} [/math]

Función circulación
R = 250;         % r del núcleo (m)
vR = 90;         % v tang en rho=R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR;
% Dom
[x, y] = meshgrid(-800:40:800, -800:40:800);
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);        % dist rad
theta = atan2(y, x);            % áng polar
% Campo de v_theta
vtheta = zeros(size(rho));
% Región interna flujo como sol
inside = rho <= R & rho ~= 0;
vtheta(inside) = (Gamma./(2*pi*R^2)) .* rho(inside);
% Región externa irrotacional
outside = rho > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*rho(outside));
%%Componentes cartesianas de la velocidad
% Direcciones tangenciales
u = -vtheta .* sin(theta);   % componente en x
v =  vtheta .* cos(theta);   % componente en y
% Gráfica quiver
figure('Color','w','Position',[200 200 700 550])
hold on
% Parte interna del vórtice (color azul)
quiver(x(inside), y(inside), u(inside), v(inside), ...
    'Color',[0 0.3 1], 'LineWidth',1.2)
% Parte externa del vórtice (color rojo)
quiver(x(outside), y(outside), u(outside), v(outside), ...
    'Color',[1 0 0], 'LineWidth',1.2)
% Círculo marcando el ojo
th = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k--', 'LineWidth',1.4)

axis equal
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
title('Campo vectorial del vórtice de Rankine (plano horizontal)')
legend('Interior del ojo','Exterior del vórtice','Radio del núcleo')
grid on


3 Representación de [math]\vec{v}[/math]

Como podemos observar por la expresión del campo de la velocidad, [math]\mathbf{v} = v_\theta(\rho) \, \mathbf{e}_\theta[/math], la velocidad depende de la coordenada radial y no de [math]z[/math].. Además en la ecuación principal de la velocidad([math]\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\gt R,\end{array} \right.\qquad [/math])

4 Campo de presión y gradiente

4.1 Campo de presión p(ρ, z) y su representación

El campo de presión [math]p(\rho, z)[/math] y su representación como un mapa de colores sobre una sección vertical que pasa por el eje del vórtice.

El campo de presión relaciona la posición de un punto en el espacio con el valor de la presión en ese punto. En este caso se define en el espacio [math]p(\rho, z)[/math] tal que:

  • [math]\rho \in [0, 1000][/math]
  • [math]z \in [0, z_0][/math]

Siendo la formula de presión: [math] p(\rho, z) = \begin{cases} P_0 + \frac{1}{2} \rho_{aire} \cdot v_{\theta}^2(\rho) - \rho_{aire} \cdot g \cdot z & \text{si } \rho \le R \\ P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho_{aire} \cdot v_{\theta}^2(\rho) - \rho_{aire} \cdot g \cdot z & \text{si } \rho \gt R \end{cases} [/math] y [math] v_{\theta} = \begin{cases} \frac{\Gamma}{2\pi R^2} \rho & \text{si } \rho \le R \\ \frac{\Gamma}{2\pi \rho} & \text{si } \rho \gt R \end{cases} [/math] 

% Datos
R = 250;              % Radio
v_R = 90;             % V en R
p_0 = 920* 100;       % Presión mínima
z_0 = 2.8 * 1000;     % Altura máxima
rho_aire = 1.225;     % Densidad aire
g = 9.81;             % aceleración gravitacional
p_inf = 101325;       % Presión atmosférica estándar
Gamma = 2 * pi * R * v_R;   % Circulación

% Función para la Velocidad Tangencial
v_theta = @(rho) arrayfun(@(r) ...
    (r <= R) * ((Gamma / (2 * pi * R^2)) * r) + ...
    (r > R) * ((Gamma / (2 * pi * r))), rho);

rho_max = 1000;     % Dominio de rho y z
N_rho = 101; 
N_z = 51;   
rho_vec = linspace(0, rho_max, N_rho);
z_vec = linspace(0, z_0, N_z);
[RHO, Z] = meshgrid(rho_vec, z_vec); % Crear la malla

% Campo de Presión y velocidad
V_THETA = v_theta(RHO);
% Iniciar matriz
P = zeros(size(RHO));
% Región del Núcleo
mascara_nucleo = (RHO <= R);
V_NUCLEO = V_THETA(mascara_nucleo);
% Ecuación para el núcleo:
P(mascara_nucleo) = p_0 + 0.5 * rho_aire * V_NUCLEO.^2 - rho_aire * g * Z(mascara_nucleo);

% Región Exterior
mascara_ext = (RHO > R);
V_EXTERIOR = V_THETA(mascara_ext);
% Ecuación para el exterior:
P(mascara_ext) = p_inf - 0.5 * rho_aire * V_EXTERIOR.^2 - rho_aire * g * Z(mascara_ext);

% Representación campo de presión
figure;
contourf(RHO, Z, P / 100, 20, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap(jet);
xlabel('Radio \rho (m)');
ylabel('Altura z (m)');
title(['Presión p(\rho, z) Vórtice de Rankine (Tornado EF4)']);
zlabel('Presión (mbar)');
axis equal;
ylim([0, z_0]);
grid on;
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