La catenaria (grupo 40)

De MateWiki
Revisión del 13:03 27 nov 2025 de David.maroto (Discusión | contribuciones) (→‎Masa de la superficie)

Saltar a: navegación, buscar
Trabajo realizado por estudiantes
Título La catenaria (grupo 40)
Asignatura Categoría:Teoría de Campos
Curso 2025-26
Autores Ignacio Lago Criado
David Maroto Jiménez
Marcos Cañadillas Dorado
Jorge Sanz del Pozo
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura


La catenaria es la curva que describe una cadena, cable o cuerda flexible de densidad uniforme, suspendida únicamente por sus extremos y bajo la acción de su propio peso. El término proviene del latín catena, que significa cadena. Aunque a simple vista se asemeja a una parábola, la catenaria es una curva matemáticamente distinta y se describe mediante la función coseno hiperbólico.
Siendo la parametrización de la catenaria en coordenadas cartesianas:
centre
La catenaria es el lugar geométrico de los puntos donde las tensiones horizontales del cable se compensan y por ello, carece de tensiones laterales haciendo que la cadena permanezca inmóvil sin desplazarse hacia los lados. Actúan la fuerza de la gravedad y la tensión de la cadena en cada punto. Un arco en forma de catenaria invertida minimiza los esfuerzos de compresión considerablemente.
centre




1 Dibujo de la curva

La gráfica muestra la curva parametrizada por:
[math] γ(t)=(t,3cosh(t/3))[/math], que corresponde a la catenaria de parámetro A=3, con [math] t\in(-1,1) [/math] Es simétrica respecto al eje y debido a que [math] cosh [/math] es una función par. La altura mínima ocurre en [math]t=0 [/math]y la curva tiene forma de catenaria, típica de funciones hiperbólicas.

A continuación expresamos la fórmula y la gráfica de la catenaria en matlab.

Representación gráfica de la catenaria



% Primero definimos la parametrización
 t = linspace(-1, 1, 1000);
 x = t;
 y = 3*cosh(t/3);
  % Segundo dibujamos la curva
 figure;
 plot(x, y, 'LineWidth', 3);
 title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, 3cosh(t/3))');
 xlabel('x');
 ylabel('y');
 grid on;


2 Vector velocidad y vector aceleración

2.1 Qué representa la velocidad y la aceleración

La velocidad representa la rapidez con la que el punto parametrizado se mueve a lo largo de la curva. Sin embargo, el vector aceleración representa la tasa de cambio del vector velocidad a medida que el punto se mueve a lo largo de la curva y su orientación hacia arriba refleja que la función hiperbólica incrementa rápidamente en ambas direcciones de t.
Saber el vector velocidad y el vector aceleración nos proporciona información acerca del significado físico y geométrico relacionado con el equilibrio de fuerzas y la forma óptima de las estructuras colgantes.

2.1.1 Ecuación de la velocidad

[math] \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) [/math]

2.1.2 Ecuación de la aceleración

[math] \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) [/math]

2.2 Intepretación de la gráfica

Viendo la gráfica podemos apreciar como los vectores rojos que representan la velocidad, a medida que la t se aleja del 0, los vectores aumentan. Estos vectores representan la dirección y magnitud de la derivada de la posición.
Los vectores azules que representan la aceleración y apuntan hacia arriba con lo que refleja el crecimiento acelerado de la función hiperbólica. En el centro la magnitud de los vectores es mínima y varía creciendo según t aumenta en valor absoluto.
En conclusión podemos afirmar que la gráfica varía aumentando los vectores de la velocidad y de la aceleración a medida que la 't' cambia.

Gráfica velocidad

2.3 Código de la gráfica velocidad-aceleración

% Primero: expresamos los parámetros
 t = linspace(-1,1,20);
  x = t;
 y = 3*cosh(t/3);
  % Segundo: expresamos la velocidad y aceleración
 V1 = ones(size(t));  
 V2 = sinh(t/3);
 A1 = zeros(size(t));  
 A2 = (1/3)*cosh(t/3); 
 % Tercero: construimos la gráfica
 figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "r");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "b");
 axis equal

 hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
 ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
 
% Etiquetas
 xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);
% Etiquetas
 title('Gráfica velocidad aceleración')
legend("Catenaria","Velocidad","Aceleración")
 axis("equal")


3 Longitud de la curva

La longitud de la curva es la medida de la distancia real recorrida. La longitud de la catenaria se define como la integral definida del módulo de la velocidad, entre los valores que toma la t, en este caso [math] t\in (-1,1)[/math].
Como hemos observado previamente [math]γ(t)= (t, Acosh(\frac{t}{A}))[/math]. En este trabajo suponemos que A=3

[math] L=\int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {(x´(t))^2 +(y´(t))^2}dt=\int_{-1}^{1}\sqrt{1+sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{A})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{A})dt = 2Asinh(\frac{1}{A})= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2.03724 [/math]

La longitud de la curva (t, Acosh(t/A)) siendo A=3 y [math] t\in (-1,1)[/math] es de 2.03724 unidades.

4 Vectores tangente y normal

4.1 Vector tangente

EL vector tangente de un punto de la catenaria, describe la dirección de la curva en ese preciso punto. Para determinar el vector tangente se emplea de nuevo la primera derivada, con la que se saca la pendiente. Como estamos trabajando con vectores unitarios, tendremos que dividir entre el módulo.
Vector tangente: [math] T=(1, sinh(\frac{t}{3})) [/math]
Módulo: [math] |T|=\sqrt{1^2+sinh^2(\frac{t}{3})} [/math]

Vector tangente unitario: [math] t=(\frac{1}{(\sqrt{1^2+sinh^2(\frac{t}{3})})},\frac{sinh(\frac{t}{3})}{(\sqrt{1^2+sinh^2(\frac{t}{3})})})=(\frac{1}{cosh(\frac{t}{3})},\frac{sinh(\frac{t}{3})}{cosh(\frac{t}{3})}) [/math]

La dirección del vector tangente cambia a lo largo de la curva dependiendo de la posición de x. En el punto más bajo de la catenaria, [math] t=0 [/math] , el vector es horizontal, ya que el [math] sinh(0)=0 [/math]


Representación grafica de la catenaria
t=linspace(-1,1,20);
 x=t;
 y=3*cosh(t/3);
 % Vectores tangentes unitarios interiores
  t1i=(1)./(sqrt(1+(sinh(t/3)).^2));
  t2i=sinh(t/3)./(sqrt(1+(sinh(t/3)).^2));
  % Vectores tangentes unitarios 
  hold on
  plot(x,y,'LineWidth',3);
  quiver(x,y,t1i,t2i);
 hold off
 % Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas
 ax = gca;
 ax.XAxisLocation = 'origin';
 ax.YAxisLocation = 'origin';
 % Etiquetas
 title('Vector tangente unitario')
 legend("Catenaria","Vector tangente unitario")
 axis("equal")
 ax.XAxisLocation = 'origin';
 ax.YAxisLocation = 'origin';
 box on
 grid minor


4.2 Vector normal

Los vectores tangentes describen la dirección en cada punto de la curva, mientras que los vectores normales son perpendiculares a los tangentes e indican como cambia esa dirección. Los vectores normales representan la maxima variación de de la curva en un punto.
EL vector normal unitario es perpendicular al vector tangente.
Por lo que se aplica la propiedad de perpendicularidad entre vectores de dos dimensiones: [math] N=(-v,u) [/math]
[math] N=(-sinh(\frac{t}{3}),1) [/math]

Haciéndolo unitario la expresión es: [math] n=(\frac{-sinh(\frac{t}{3})}{cosh(\frac{t}{3})},\frac{1}{cosh(\frac{t}{3})}) [/math]

En la gráfica, el punto de [math] t=0 [/math] el vector tangente es horizontal, y por lo tanto el vector normal coincide con el eje Y.


Representación gráfica de la catenaria
% Definimos los parámetros
  a=-1;
  b=1;
  h=0.09;
  t=a:h:b;
  % Definimos la curva
  x=t;
  y=cosh(t);
  % Vectores normales unitarios con orientación interior
 n1i=sinh(t/3)./(sqrt(1+(sinh(t/3)).^2));
 n2i=-(t./t)./(sqrt(1+(sinh(t/3)).^2));
 % Vectores normales unitarios con orientación exterior
 n1e=-sinh(t/3)./(sqrt(1+(sinh(t/3)).^2));
 n2e=(t./t)./(sqrt(1+(sinh(t/3)).^2));
 hold on
 plot(x,y,'LineWidth',3);
 quiver(x,y,n1i,n2i);
 quiver(x,y,n1e,n2e);
 hold off
 % Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas
 ax = gca;
 ax.XAxisLocation = 'origin';
 ax.YAxisLocation = 'origin';
 % Etiquetas:
 title('Vectores normales')
 legend("Catenaria","Vector normal interior","Vector normal exterior")
 axis("equal")
 ax.XAxisLocation = 'origin';
 ax.YAxisLocation = 'origin';
 box on
 grid minor


5 Curvatura y dibujo de la gráfica

5.1 Qué representa la curvatura de la curva

La curvatura de una curva indica con qué rapidez cambia la dirección del vector tangente, y esto matemáticamente se describe con una derivada. Cuánto mayor es la curvatura, más se dobla la curva; si la curvatura es pequeña, la curva se asemeja cada vez más a una recta. Para calcular la curvatura de la catenaria emplearemos la siguiente fórmula:


[math]Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^\frac{3}{2}}= \frac{1}{3} \cdot \frac{\cosh\left(\frac{t}{3}\right) - 0·\sinh\left(\frac{t}{3}\right)}{\left(1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{\frac{3}{2}}}= \frac{1}{3} \cdot \frac{\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}{\left(1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}[/math]


5.2 Código para calcular la curvatura a través de Matlab

Representación gráfica de la catenaria
n =56;
 t = linspace ( -1 , 1 , n) ;
k = (1/3)*(cosh(t/3)./((1+(sinh(t/3)).^2)).^(3/2)) ;
 figure
 plot (t ,k , "g") ;
 axis equal
 title ('CURVATURA CATENARIA (t) ') ;
 xlabel('t');
 ylabel('\kappa(t)');
grid on










6 Circunferencia osculatriz

6.1 Qué representa la circunferencia osculatriz

La circunferencia osculatriz de la catenaria en un punto P es la mejor aproximación circular local, ya que comparte la posición, la pendiente y la curvatura κ (es decir, su radio R=1/κ) con la catenaria en ese punto. En ingeniería, se utiliza como un modelo local de arco circular para simplificar el análisis de estructuras suspendidas, permitiendo a los ingenieros cuantificar con precisión las tensiones internas y los momentos flectores (fuerzas de flexión) que actúan en esa sección específica del cable o la estructura.

6.2 Centro de la circunferencia osculatriz

El centro de esta circunferencia se calculará de la siguiente manera:

[math] Q(t) = γ(t) + \frac{1}{κ(t)} \vec{n}(t) = (t,3cosh(t/3))+ 3cosh^2(\frac{t}{3})(\frac{-sinh(\frac{t}{3})}{cosh(\frac{t}{3})},\frac{1}{cosh(\frac{t}{3})})[/math]


En el punto [math]t=-0.5[/math] el centro de la circunferencia está en el punto [math](0.0056,6.0835)[/math]

6.3 Radio de la circunferencia osculatriz

El radio de la circunferenecia se calculará de la siguiente manera:

[math]R(t)=\frac{1}{|κ(t)|}=|3cosh^2(\frac{t}{3})|[/math]
donde [math]κ(t)[/math] es la curvatura de la catenaria en el punto \(P\).


En el punto [math]t=-0.5[/math] el radio es igual a [math]3.08404[/math].

Circunferencia osculatriz y catenaria
clear;
%Definimos t
t=-0.5;
%Cálculo curvatura,vector normal...
k=1./(3*(cosh(t/3)).^2);
y=[t,3.*cosh(t/3)];
n=[(-sinh(t/3)./cosh(t/3)),(1./cosh(t/3))];
%Centro
Q=y+(1./k).*n;
%Radio
R=3*(cosh(t/3))^2; 
%Puntos que definen la circunferencia
theta= linspace(0,2*pi,150);
%Cálculo de las coordenadas de los puntos de la circunferencia
x_circunf= Q(1)+R*cos(theta);
y_circunf= Q(2)+R*sin(theta);
%Dibujo de la circunferencia
plot(x_circunf,y_circunf,'m-','LineWidth',2)
%Mantener circunferencia cuando aparezca la catenaria
hold on 
%Parametrización de la catenaria 
T=-1:0.05:1 ;
x_cat=T;
y_cat=3.*cosh(T/3);
%Dibujo de la catenaria 
plot(x_cat,y_cat,'g','LineWidth',3)
%Perfección de la gráfica
axis equal;
grid on
title('Circunferencia Osculatriz y Catenaria')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
legend('Circunferencia','Catenaria')




7 Información sobre la curva

La catenaria es una curva plana fundamental que representa la forma natural que adopta un cable, cuerda o cadena ideal (perfectamente flexible, inelástica y de densidad uniforme) cuando está suspendida por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de su propio peso bajo un campo gravitatorio uniforme.

Gráfica catenaria

La catenaria describe un estado de equilibrio mecánico bajo tensión pura. En esta configuración, la curva se ajusta para que la componente horizontal de la tensión sea constante en todos sus puntos. Esto garantiza que la fuerza de gravedad sea absorbida y distribuida a lo largo de la curva de la manera más eficiente, sin generar esfuerzos de flexión. La catenaria fue estudiada y resuelta en 1691 por matemáticos como Gottfried Leibniz y Christiaan Huygens.

La catenaria es crucial en ingeniería debido a la forma eficiente que supone, ya sea con trabajos a compresión o tracción. Esta curva se usa mucho en ingeniería civil,arquitectura,tendidos y cables.



8 Estructuras civiles donde se ha usado la catenaria

En su forma original, la catenaria describe la curva ideal de elementos flexibles suspendidos. Los cables principales de los puentes colgantes cuelgan naturalmente en forma de catenaria. Sin embargo, debido a la carga adicional del tablero del puente (que está distribuida de manera uniforme en horizontal), la curva se aproxima mucho más a una parábola. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño. Un claro ejemplo es el Golden Gate en San Francisco. Otros arquitectos decidieron experimentar de una manera mas ingeniosa como es su forma invertida, un arco o bóveda con forma de catenaria invertida distribuye las cargas de manera que toda la estructura queda sometida casi exclusivamente a fuerzas de compresión. Esto permite el uso de materiales que no resisten bien la tracción, como la piedra o el ladrillo, sin necesidad de refuerzos complejos.

  • Golden Gate

  • Interior Sagrada Familia


Ejemplo

9 Diferencias de la catenaria y la parábola

Aunque la catenaria y la parábola se ven muy parecidas (ambas son curvas simétricas que se asemejan a un arco o a un cable colgante poco tenso), la clave está en su origen. Su parecido es solo superficial, ya que sus fórmulas y las leyes físicas que las rigen son fundamentalmente diferentes.
La catenaria resulta de la interacción entre el peso del cable y la tensión, mientras que la parábola proviene de distribuciones de fuerza diferentes, como cargas uniformes o trayectorias de movimiento.
La catenaria posee una curvatura variable (máxima en el centro), mientras que la parábola mantiene una curvatura constante, lo que da a la primera una forma más cerrada en el vértice que a la segunda.
La diferencia clave reside en las tangentes de las curvas: la catenaria tiende a la verticalidad asintótica a medida que Y tiende a infinito, mientras que la parábola tiende a una pendiente constante.
Las aplicaciones de cada curva reflejan su naturaleza física: la catenaria es fundamental en diseños basados en el peso propio (como cables de transmisión y arcos invertidos), mientras que la parábola es preferida para estructuras que manejan cargas uniformes o requieren una precisión óptica/focal (como antenas y reflectores).

Catenaria vs Parábola
% Parámetros
A = 3; % Constante A
x = linspace(-10, 10, 500); % Rango de valores para x

% Ecuaciones
y_catenaria = A * cosh(x / A); % Ecuación de la catenaria
y_parabola = A + (x.^2) / A;   % Ecuación de la parábola

% Graficar
figure;
plot(x, y_catenaria, 'b-', 'LineWidth', 2); % Graficar catenaria en azul
hold on;
plot(x, y_parabola, 'r--', 'LineWidth', 2); % Graficar parábola en rojo
hold off;

% Personalización del gráfico
title('Catenaria vs Parábola');
legend('Catenaria: y = A cosh(x / A)', 'Parábola: y = A + x^2 / A');
axis tight;


10 Superficie de revolución asociada a la catenaria: Catenoide


El catenoide es una superficie de rotación generada al pivotar la catenaria sobre un eje, siendo un ejemplo icónico de superficie mínima debido a que su curvatura media es nula en todos sus puntos, lo que implica una minimización del área superficial y una eficiencia geométrica clave en la distribución de tensiones en ingeniería estructural. Esta eficiencia se analiza a través de la curva base, donde la circunferencia osculatriz actúa como la mejor aproximación circular local en un punto P, compartiendo su posición, pendiente y curvatura κ. Su centro, conocido como centro de curvatura (C), se determina intrínsecamente sobre la recta normal principal a una distancia exacta del radio de curvatura (R=1/κ) según la fórmula C = r + RN. En la práctica, esta circunferencia permite modelar las tensiones y flexiones en la sección local de la estructura, reafirmando el papel del catenoide como un paradigma de equilibrio mecánico, vinculado además al helicoide mediante la transformación de Bonnet.

Representación gráfica del catenoide
% Parámetros
t = linspace(-1, 1, 100); % Valores de t en el intervalo [-1, 1]
theta = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de theta en el intervalo [0, 2π]
[T, Theta] = meshgrid(t, theta); % Creación de mallas para t y theta

% Coordenadas cilíndricas
R = cosh(T); % Radio r depende de t
Z = T; % Altura z es igual a t
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x1 = r * cos(theta)
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada x2 = r * sin(theta)

% Representación de la superficie
figure;
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie suave sin bordes
colormap('turbo'); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title('Superficie de Revolución de \gamma(t) = (0, cosh(t), t)');
axis equal; % Proporciones iguales en los ejes
grid on;
view(3); % Vista en 3D


11 Distribución de la densidad a lo largo de la superficie

La densidad de la superficie es [math]f(x_{1},x_{2},x_{3})=\frac{x_{3}^2}{1+x_{1}^2+x_{2}^2}[/math]. Para determinar cómo se distribuye la densidad en la superficie, se utiliza la parametrización del catenoide:
[math]γ(t,θ)=(Acosh(\frac{t}{A})cosθ,Acosh(\frac{t}{A})sinθ,t)[/math].
Donde [math]f(t,θ)=\frac{t^2}{1+A^2cosh^2(\frac{t}{A})}[/math] donde [math] t\in (-1,1)[/math] y [math] θ\in (0,2π)[/math] y para este trabajo suponemos que A=3.
De este resultado, se deduce que la densidad de la superficie depende del valor de t (posición a lo largo del eje z).

11.1 Masa de la superficie

La masa de la superficie se obtiene integrando la función densidad dada sobre la superficie.
El cálculo es el siguiente: [math]M=∬_SfdS[/math] donde [math]S[/math] es la superficie parametrizada. La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas [math](t,θ)[/math] como:

[math]M=\int_a^b\int_c^d f(t,θ)\sqrt[]{(\frac{∂f}{∂t})^2+(\frac{∂f}{∂θ})^2}\; dt \; dθ[/math]

Parametrización de la curva: [math]γ(t)=(0,3cosh(\frac{t}{3}),t)[/math]
Con: [math]t∈(-1,1)[/math]
Densidad de la superficie: [math]f(x_{1},x_{2},x_{3})=\frac{x_{3}^2}{1+x_{1}^2+x_{2}^2}[/math]
Parametrización de la superficie:
[math]x_{1}=3cosh(\frac{t}{3})cosθ[/math]
[math]x_{2}=3cosh(\frac{t}{3})sinθ[/math]
[math]x_{3}=t[/math]
Con: [math]t ∈(-1,1), θ ∈(0,2π)[/math]

Cálcuclo de derivadas parciales:
[math](\frac{∂f}{∂t})=sinh(\frac{t}{3})cosθ\vec i + sinh(\frac{t}{3})sinθ\vec j + \vec k[/math]
[math](\frac{∂f}{∂θ})= -3cosh(\frac{t}{3})sinθ\vec i +3cosh(\frac{t}{3})cosθ\vec j[/math]
Cálculo el módulo del producto vectorial de las derivadas parciales
[math]f't∧f'θ=-3cosh(\frac{t}{3})·cos(θ) \vec i -3cosh(\frac{t}{3})·sin(θ) \vec j + 3sinh(\frac{t}{3})·cosh(\frac{t}{3}) \vec k[/math]
[math]|f't∧f'θ|=3cosh^2(\frac{t}{3})[/math]
[math]f(t,θ)=\frac{t^2}{1+9cosh^2(\frac{t}{3})}[/math]

Una vez obtenidos los anteriores resultados procedemos a integrar:

[math]M=\int_0^{2\pi}\int_{-1}^1 \frac{t^23cosh^2(\frac{t}{3})}{1+9cosh^2(\frac{t}{3})}·dt·dθ= 1.4485[/math]

12 Bibliografía

-colaboradores de Wikipedia. (2024, 6 septiembre). Catenoide. Wikipedia, la Enciclopedia Libre. https://es.wikipedia.org/wiki/Catenoide#:~:text=Una%20catenoide%20es%20un%20tipo,delimitada%20por%20un%20espacio%20cerrado.

-DECyD UAEMex. (2014, 5 marzo). Geometría de curvas: circunferencia osculatriz [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=gWjVQXsJ9Fk

-Derivando. (2018, 27 junio). CATENARIA: La curva favorita de Gaudí que hace que no se caigan los puentes [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=NnjnlxfB_D8

-Estructuras catenarias. (s. f.). bunny.net. https://wiki-ead.b-cdn.net/images/6/69/Estructura_catenarias_compressed_(1).pdf

-ESTUDIO y APLICACIÓN DE LA CATENARIA - Casiopea. (s. f.). https://wiki.ead.pucv.cl/ESTUDIO_Y_APLICACI%C3%93N_DE_LA_CATENARIA

-Gescovich, G., & Vedoya, D. E. (2023). La curva catenaria como forma natural y su emergencia en la arquitectura. https://portal.amelica.org/ameli/journal/674/6744157006/html/

-Intelecto Matemático. (2022, 31 marzo). Cálculo Integral - Longitud de arco de la catenaria [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=pMW8A7AHHi4

-La catenaria. (s. f.-a). caminos.upm. https://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Chip%20geom%C3%A9trico/Catenaria.pdf

-La catenaria. (s. f.-b). Matewiki. https://mat.caminos.upm.es/wiki/La_Catenaria

-Notas y observaciones sobre el tema 1. (s. f.). notastema1.pdf. https://www.ugr.es/~rcamino/docencia/curvasysuperficies16-17/notastema1.pdf

-Superficies. (s. f.). Math.Unidades. https://math.uniandes.edu.co/~jarteaga/coord-calvec/material/cap1-superficies.pdf
Obtenido de «https://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_catenaria_(grupo_40)&oldid=88947»