La catenaria (grupo 62)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La Catenaria. Grupo 62
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Rodrigo Avellaneda Ciruelos Damián Diaz López Víctor Esteban Jadraque Antonio García Cabanillas Carlos Puebla Díaz
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

En este trabajo analizaremos La Catenaria y las distintas propiedades matemáticas y físicas que presenta dentro del ámbito de la ingeniería civil. Para ello utilizaremos la herramienta MATLAB, con la que iremos estudiando cada uno de los aspectos de la curva y generaremos las gráficas necesarias para visualizar los resultados con la mayor claridad posible. En cada apartado se incluirá una pequeña explicación teórica junto con las fórmulas empleadas, detallando los pasos de los cálculos para que quede claro de dónde salen y cómo se aplican.

• La expresión de la Catenaria en cartesianas, viene dada por la siguiente expresión:

[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,3cosh(t/3) ), t∈(-1,1) [/math]

1 Dibujo de la curva

La gráfica a continuación muestra la curva conocida como catenaria, de parametrización:
[math] γ(t)=(t,3cosh(\frac{t}{3}))[/math]
En ella se caracteriza el valor A=3 y con el parámetro tal que [math] t\in(-1,1) [/math].

Además se incluye el código de MATLAB empleado para su obtención:

Catenaria

n = 1000;
 % Parametrización de la curva dada
 t = linspace(-1, 1, n);
 x = t;
 y = 3*cosh(t/3);
 % Generar los puntos de la curva
 figure;
 plot(x,y,'LineWidth',2,'Color','g');
 xlabel('Eje X')
 ylabel('Eje Y')
 title('Catenaria', 'Color','r');
 grid on

2 Vectores velocidad y aceleración

El vector velocidad es el vector tangente a la curva en el punto determinado por el parámetro [math] t[/math] , describe la dirección que adopta la curva en ese punto. La aceleración describe el cambio de magnitud y dirección que experimenta el vector velocidad al cambiar el parámetro [math] t[/math] . Como estos vectores representan una variación se obtienen mediante la derivación de la parametrización de la curva.

Siendo la parametrización:
[math]\gamma(t)=(x(t),y(t))=(t,3 cosh(\frac{t}{3})) [/math] Vector velocidad:
[math] \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) [/math] Vector aceleración:
[math] \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) [/math]

2.1 Gráfica:

Catenaria y vectores velocidad y aceleración

% Parametrización
n=20;
t=linspace(-1,1,n);
A=3;
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%Vectores velocidad y aceleración 
vx = ones(size(t)); 
vy = sinh(t/A);
ax = zeros(size(t));
ay = cosh(t/A)/A;
%Grafica
figure;
hold on; 
grid on;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 2);
quiver(x,y,vx,vy,0,'r'); 
quiver(x,y,ax,ay,0,'g');
axis equal
hold off;
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
xlabel('x'); 
ylabel('y');
legend('Catenaria','Velocidad','Aceleración')

4 Vectores tangente y normal

Representación Vectores tangente y normal en catenaria

%% Apartado 4: Vectores tangente y normal sobre la catenaria (A = 3)
clear; clc;

A = 3;
t = linspace(-1,1,40);   % pocos puntos → flechas limpias

% Catenaria
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Tangente unitario
Tx = sech(t/A);
Ty = tanh(t/A);

% Normal unitario
Nx = -Ty;
Ny =  Tx;

% GRÁFICA
figure; hold on; grid on; grid minor;

% Catenaria (verde claro)
plot(x,y,'LineWidth',2,'Color',[0 1 0]);

% Tangente (rojo)
quiver(x,y,Tx,Ty,0.35,'Color',[1 0 0],'LineWidth',1.3);

% Normal (verde oscuro)
quiver(x,y,Nx,Ny,0.35,'Color',[0 0.5 0],'LineWidth',1.3);

% Ejes centrados
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

axis equal
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Vectores tangente y normal en la Catenaria');

legend({'Catenaria (verde claro)','Vector tangente (rojo)','Vector normal (verde oscuro)'}, ...
        'Location','best');

box on;

4.1 Vector tangente

Para obtener el vector tangente hemos derivado la parametrización [math] γ(t)[/math] y normalizado ese vector. De esta forma queda un vector unitario que indica la dirección en la que avanza la curva en cada punto.

• El vector tangente de la curva se define como:

[math] \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{||γ'(t)||} =sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} =sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} [/math]

4.2 Vector normal

Para obtener el vector normal unitario sabemos que debe ser perpendicular al vector tangente y tener magnitud uno.
Si [math] t(t)= (tx(t), ty(t))[/math] , un vector perpendicular se obtiene intercambiando sus componentes y cambiando el signo de una de ellas.

• El vector normal de la curva se define como:

5 Curvatura y gráfica

La curvatura de una curva representa la rapidez en que cambia la dirección del vector tangente en un punto. La función que la expresa viene dada según diversas derivadas. La función curvatura se puede interpretar como que a menor valor de curvatura, más similar es a una recta, que esencialmente es una curva de curvatura 0. El cálculo de la curvatura viene dada por:
[math] κ(t)=(\frac{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^\frac{3}{2}}) [/math]
Si sustituimos en la fórmula la parametrización original, el valor de la curvatura resulta en:
[math] κ(t)=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} [/math]

Partiendo del anterior valor de curvatura, se puede aplicar en un código para hallar la curvatura gráficamente en MATLAB:

n=1000;
  t = linspace (-1, 1,n);
  kappa= 1./( cosh(t/3).^2);
  figure;
  plot (t,k,'LineWidht',3,'color','g');
  axis equal
  title ('Curvatura Catenaria.');
  xlabel('t');
  ylabel('kappa(t)');
  grid on;

6 Circunferencia Osculatriz

Teniendo la curvatura [math] κ(t)[/math]

7 Información y Fenómeno qué describe

7.1 Estructuras Civiles donde se usa la Catenaria

Catenaria Invertida: Arco Gateway, St.Louis

Puente Akashi Kaikyō, Japón

Líneas de alta tensión

Estadio Olímpico de Múnich

Catenaria ferroviaria