Onda longitudinal plana. Grupo 22
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Onda longitudinal plana. Grupo 22 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2025-26 |
| Autores | Irene Delgado Felpeto Ana Sanz García Lucía Reneses Doncel Francisco Javier Vela Cobos Marta Escaso Camacho |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región [math] \left[ \frac{-1}{2}, \frac{1}{2} \right] \times \left[ 0, 4 \right] [/math].
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura [math] 𝑇(𝑥,𝑦,𝑡) [/math], que depende de las dos variables espaciales [math] (𝑥,𝑦) [/math]
y del tiempo [math] 𝑡 [/math], y los deplazamientos.
De esta forma, si definimos [math] 𝑟_0(𝑥,𝑦) [/math] el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto [math] (𝑥,𝑦) [/math] de la placa en un
instante de tiempo [math] 𝑡 [/math] viene dada por
[math] \vec{𝑟}(𝑥, 𝑦, 𝑡) = \vec{𝑟_0}(𝑥,𝑦) + \vec{𝑢}(𝑥,𝑦,𝑡) [/math].
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen
dados por la onda
[math] \vec{𝑢}(𝑥, 𝑦, 𝑡) = \vec{𝑎}cos(\vec{𝑏} ⋅ \vec{𝑟_0} − 𝑐𝑡) [/math],
donde [math] \vec{𝑎} [/math] se conoce como amplitud, [math] \vec{𝑏} [/math] es la fase que indica la dirección de propagación y [math] \frac{𝑐}{|\vec{𝑏}|} [/math] es la velocidad de propagación.
Si [math] \vec{𝑎} [/math] es paralelo a [math] \vec{𝑏} [/math] diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.
En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
[math] \vec{𝑎} = \frac{\vec{𝑖}}{10}, \qquad \vec{𝑏} = \pi\vec{i}, \qquad t = 0 [/math].
En este caso, [math] \vec{𝑢}(𝑥,𝑦,𝑡) = \frac{cos(\pi x)}{10} \vec{i} [/math].
1 Modelado de desplazamientos y tensiones en la placa vibrante.
Primero, se define el campo de desplazamiento sabiendo que este se modela mediante: [math] \vec{𝑢}(𝑥, 𝑦, 𝑡) = \vec{𝑎}cos(\vec{𝑏} ⋅ \vec{𝑟_0} − 𝑐𝑡) [/math].
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales [math] (t = 0) [/math] dadas: [math] \vec{𝑎} = \frac{\vec{𝑖}}{10}, \vec{𝑏} = \pi\vec{i} [/math], este resulta [math] \vec{𝑢}(𝑥,𝑦,𝑡) = \frac{cos(\pi x)}{10} \vec{i} [/math].
Para caracterizar localmente la deformación de la placa, se define el tensor de deformaciones:
[math] ε(\vec{𝑢})= \frac{1}{2}(∇\vec{𝑢}+(∇\vec{𝑢})^T) [/math].
Este tensor, es la parte simétrica de [math] \vec{𝑢} [/math], y mide elongaciones, compresiones, etc. en cada punto de la placa.
Por otro lado, se cuenta con el tensor de tensiones, el cual sirve para materiales elásticos, homogéneos e isotrópicos. Este se relaciona con el anterior mediante la siguiente expresión:
[math] σ = λ(∇·\vec{𝑢})I + 2με [/math],
donde [math] λ [/math] y [math] μ [/math] son los conocidos como coeficientes de Lamé e [math] I [/math] es el tensor identidad de [math] R^3 [/math].
Tomando [math] λ = μ = 1 [/math], este tensor se simplifica y queda:
[math] σ = (∇·\vec{𝑢})I + ∇\vec{𝑢}+(∇\vec{𝑢})^T [/math]
1.1 Cálculo de tensiones normales
Para estudiar el efecto de la deformación en cada dirección, se consideran las tensiones normales a los ejes:
[math] σ_{xx} = \vec{i}·σ·\vec{i} = (∇·\vec{𝑢}) + 2\frac{\partial u_{x}}{\partial x} [/math]
[math] σ_{yy} = \vec{j}·σ·\vec{j} = (∇·\vec{𝑢}) + 2\frac{\partial u_{y}}{\partial y} [/math]
En este caso, dado que la onda es longitudinal a lo largo de [math] x [/math] y el campo de desplazamiento sigue la dirección de [math] \vec{i}[/math], entonces:
[math] u_{x} = \frac{1}{10}cos(\pi x), \qquad u_{y} = 0 [/math].
