La Clotoide (Grupo 24)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La Clotoide (Grupo 24)
Asignatura	Teoría de campos
Curso	2025-26
Autores	Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez.
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción.

De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

2 Dibujo de la curva.

La expresión matemática de la clotoide es:

[math] \gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4) [/math]

Figura 1: Clotoide

La representación gráfica de la curva:

clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
 L = 4;       
 n = 500;  
 t = linspace(0, L, n);  

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
 x = zeros(1, n);
 y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
 f1= @(s) cos(s.^2/2);
 f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
    % Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
    x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));
    
    % Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2) 
    y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;

3 Velocidad y aceleración.

Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad [math] \dot{\gamma } [/math] y aceleración [math] \ddot{\gamma } [/math]

[math] \vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j} [/math]
[math] \vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j} [/math]

Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:

derecha

% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2);  % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2);  % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2);  % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2);  % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500  
    % Vectores de velocidad
    quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);
    
    % Vectores de aceleración
    quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;

4 Longitud de la curva.

La longitud de la curva viene dada por :

[math] L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in(0,∞) [/math]

[math] \vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j} [/math]

De módulo:

[math] |γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1 [/math]

Y de longitud:

[math] L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5 [/math]

5 Propiedades para la ingeniería.

La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal. Conociendo esto, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas.