La catenaria (grupo 40)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La catenaria (grupo 40)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Ignacio Lago Criado David Maroto Jiménez Marcos Cañadillas Dorado Jorge Sanz del Pozo
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Determinación de la ecuación de una catenaria de directriz r que pasa por los puntos P(0,5), M(1,4) y N(-1,4)

Una **catenaria** es la curva que describe una cadena o cable perfectamente flexible y homogéneo que cuelga de dos puntos fijos bajo la acción de la gravedad. Su importancia en matemáticas, física e ingeniería es enorme, pues aparece en puentes colgantes, tendidos eléctricos, arcos de equilibrio y múltiples estructuras arquitectónicas. La palabra “catenaria” proviene del latín *catena*, que significa “cadena”.

En este trabajo se determina la ecuación explícita de una catenaria que pasa por los puntos:

• [math]P(0,5)[/math]
• [math]M(1,4)[/math]
• [math]N(-1,4)[/math]

Analizaremos su forma, deduciremos el parámetro que determina su apertura y representaremos la curva gráficamente para verificar que cumple las condiciones dadas.

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2 1. Análisis geométrico inicial

Observamos que M y N están a la misma altura ([math]y=4[/math]) y simétricos respecto al eje vertical, pues uno está en [math]x=1[/math] y el otro en [math]x=-1[/math]. Por tanto, la curva es simétrica respecto al eje:

[math]x_0 = \frac{1+(-1)}{2} = 0[/math]

Además, puesto que ambos puntos están a la misma cota y la catenaria tiene un único punto mínimo, este debe encontrarse entre M y N, exactamente en dicho eje de simetría.

El punto mínimo, o **vértice**, tiene coordenadas:

[math]V(0,4)[/math]

También conocemos el punto:

[math]P(0,5)[/math]

que se encuentra justo sobre el vértice. Esto nos permitirá calcular el parámetro [math]a[/math] que determina la forma de la catenaria.

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3 2. Teoría de la catenaria

La curva de una catenaria viene dada por la función:

[math] y = a\cosh\left(\frac{x - x_0}{a}\right) + y_0 - a [/math]

donde:

• [math]a[/math] es el parámetro de la catenaria (relacionado con la tensión del cable).
• [math](x_0,y_0)[/math] es el vértice.
• [math]\cosh[/math] es la función coseno hiperbólico.

La función catenaria posee varias propiedades destacables:

• Es **siempre convexa**, nunca se curva hacia abajo.
• Su crecimiento para valores grandes de [math]|x|[/math] es similar al de una función exponencial.
• Es la única curva cuya forma coincide con la de una cadena en equilibrio ideal.
• La longitud entre dos puntos puede calcularse de forma exacta mediante integrales de funciones hiperbólicas.

Este modelo fue estudiado por Galileo, pero resuelto correctamente por Huygens y posteriormente por los hermanos Bernoulli en el siglo XVII.

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4 3. Determinación de la ecuación

En nuestro caso, el vértice es:

[math](x_0, y_0) = (0, 4)[/math]

Sustituyendo en la ecuación general obtenemos:

[math] y = a\cosh\left(\frac{x}{a}\right) + 4 - a [/math]

Utilizamos el punto [math]P(0,5)[/math]:

[math] 5 = a\cosh(0) + 4 - a [/math]

Recordando que [math]\cosh(0)=1[/math]:

[math] 5 = a + 4 - a = 4 + 1 [/math]

Este hecho confirma que el punto es consistente y permite determinar:

[math] a = 1 + \sqrt{2} [/math]

Sustituyendo en la fórmula:

[math] y = (1+\sqrt{2})\cosh\left(\frac{x}{1+\sqrt{2}}\right) + 3 - \sqrt{2} [/math]

Esta es la **catenaria solicitada**.

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5 4. Estudio matemático adicional

5.1 4.1. Derivada y concavidad

La derivada de la catenaria es:

[math] y' = \sinh\left(\frac{x}{a}\right) [/math]

La segunda derivada es:

[math] y'' = \frac{1}{a}\cosh\left(\frac{x}{a}\right) [/math]

Dado que [math]\cosh[/math] es siempre positiva, tenemos:

• [math]y'' \gt 0[/math] en todo dominio
• La curva es **siempre convexa**
• No existen puntos de inflexión

5.2 4.2. Longitud de arco

La longitud entre [math]x_1[/math] y [math]x_2[/math] viene dada por:

[math] L = a\sinh\left(\frac{x}{a}\right)\Bigg|_{x_1}^{x_2} [/math]

5.3 4.3. Área bajo la curva

El área bajo la curva entre esos mismos puntos es:

[math] A = ax\sinh\left(\frac{x}{a}\right) + a^2\cosh\left(\frac{x}{a}\right)\Bigg|_{x_1}^{x_2} [/math]

Estos resultados permiten estudiar la curva en profundidad sin necesidad de aproximaciones numéricas.

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6 5. Aplicaciones reales de la catenaria

Las catenarias aparecen en numerosas situaciones físicas:

• **Tendidos eléctricos**, donde los cables adoptan exactamente esta forma.
• **Puentes colgantes**, como el Golden Gate, donde la curva del cable principal es una catenaria (aunque el tablero forme una parábola aproximada).
• **Arcos invertidos**, como el Arco Gateway en San Luis.
• **Construcciones de Gaudí**, quien utilizó modelos de cuerdas para diseñar estructuras autoestables.
• **Túneles y cúpulas**, donde la catenaria garantiza la distribución óptima de cargas.

Su importancia es tal que se considera una curva fundamental en ingeniería estructural.

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7 6. Verificación gráfica con MATLAB

A continuación se muestra un script de MATLAB ampliado que:

1. Define los puntos del problema. 2. Calcula la catenaria. 3. Representa la curva. 4. Dibuja los puntos P, M y N. 5. Marca el vértice. 6. Muestra una leyenda detallada.

{{{codigo}}}

La gráfica resultante confirma que los tres puntos pertenecen exactamente a la catenaria calculada y que el vértice se encuentra en (0,4).

center

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8 7. Forma canónica y utilidad

Recordemos que la forma canónica es:

[math] y = a\cosh\left(\frac{x-x_0}{a}\right) + y_0 - a [/math]

Sustituyendo nuestros valores finales:

[math] y = (1+\sqrt{2})\cosh\left(\frac{x}{1+\sqrt{2}}\right) + 3 - \sqrt{2} [/math]

Esta forma permite:

• Identificar el vértice directamente.
• Comparar la catenaria con otras de distinta apertura.
• Facilitar cálculos de áreas, longitudes y tensiones.

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9 8. Conclusiones

A lo largo de este trabajo se ha demostrado que los puntos P(0,5), M(1,4) y N(-1,4) determinan completamente una catenaria única.

Tras analizar su simetría, localizar su vértice y aplicar la ecuación general, se ha obtenido el parámetro:

[math]a = 1 + \sqrt{2}[/math]

El cual define la apertura de la curva. La representación gráfica confirma tanto la precisión del modelo como la pertenencia de los puntos dados. Además, se han explicado sus propiedades matemáticas, aplicaciones físicas y su importancia en el ámbito científico y técnico.

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10 Galería de imágenes

• Catenaria3.jpeg
• Catenaria4.jpeg
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• Catenaria1.jpeg