Circuitos eléctricos RL (Resistencia-Inductancia)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Circuitos eléctricos RL. Grupo 10-B
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2013-14
Autores	Alejandro Giménez Alves, Miguel Aparicio Martín Romo, Nuria Trapote García, Karlo André Palomino Paredes
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Circuito eléctrico RL

El circuito eléctrico RL más simple tiene un inductor o bobina, una resistencia y una fuente de alimentación.

• En una resistencia R, la ley de Ohm establece:: [math]i(t) = \frac{v(t)}{R}[/math]

donde

[math] i(t) [/math] = intesidad de corriente ([math]A[/math])

[math] v(t) [/math] = voltaje ([math]V[/math])

[math] R [/math] = coeficiente de resistencia ([math]Ω[/math])

• En un inductor L, la ley de Faraday establece:: [math]v(t) = L\frac{d}{d_t}i(t)=L\cdot i'(t)[/math]

donde

[math] L [/math] = coeficiente de autoinducción ([math]H[/math])

Las leyes de Kirchoff establecen el comportamiento de los circuitos:

1. Ley de corriente: en cada nodo la suma de corrientes que entra coincide con la suma de corrientes que sale.
2. Ley de tensiones: en cada ciclo cerrado, la suma de las diferencias de potencial eléctrico es nula.

2 Ley de Kirchoff en un circuito simple (malla 1)

Circuito simple (malla 1)

Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun "la ley de tensiones de Kirchoff" será la suma del voltaje que hay en la resistencia (intensidad por resistencia) y el que hay en la bobina (resistencia de la bobina por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo). En un circuito RL cerrado, aplicando las leyes de Kirchoff, nos da la siguiente ecuación diferencial::

[math] i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0 [/math]

2.1 Método analítico

En el instante t=0, el circuito esta abierto, por lo que la intensidad que circula es nula ([math] i_0(t)=0 [/math]). En el momento en el que t>0, el circuito adquiere una intensidad, que con las condiciones:

 [math] V(t)=20V [/math] 

 [math] L=0.2 [/math] 

 [math]R=5Ω [/math] 

hará que la ecuacion diferencial sea:

[math]L\frac{d}{dt}i(t)+R\cdot i=V_0 \hspace{0.5cm} \rightarrow \hspace{0.5cm} [/math] [math]i'(t)+\frac{R}{L}i(t)=\frac{V}{L} \hspace{0.5cm} \rightarrow \hspace{0.5cm} [/math] [math]i \cdot e^{\int{\frac{R}{L}dt}} = \int{e^{\frac{R \cdot t}{L}}dt} \hspace{0.5cm} \rightarrow \hspace{0.5cm} [/math] [math]i \cdot e^{\frac{R \cdot t}{L}} = \frac{V}{R}e^{\frac{R \cdot t}{L}}+C[/math]

Obteniendo finalmente:: [math]i(t) = \frac{V}{R} + C \cdot e^{\frac{-R \cdot t}{L}}[/math]
En t=0, el circuito está cerrado:: [math]i(0)=0 \Rightarrow C= - \frac{V}{R}[/math]
Con lo que nos queda:: [math] i(t)= \frac{V}{R} - \frac{V}{R} e^{(-\frac{R}{L})t} = 4-4e^{-25t} [/math]

Con la gráfica:

t=[0:0.0001:1];
i=4-4*exp(-25*t); 
figure(1)
plot(t,i,'-b','linewidth',5)
xlabel('Tiempo en segundos');
ylabel('Intensidad en amperios');

Ecuación

Si observamos con detenimiento la gráfica, vemos que la variación de la intesidad sigue una ley exponencial que ha medida que pasa el tiempo, crece de manera muy rápida, debido a que en la malla empieza a circular una corriente de manera prácticamente instantánea una vez cerramos el circuito.
Por otro lado, vemos que el intervalo de tiempo en el que la intensidad pasa de 0 a 4 amperios (se vuelve constante) es muy pequeño.

2.2 Método de Euler

Este método se basa en un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado, donde se aproxima el valor de la función a la tangente en cada punto.

Con la gráfica:

V=20;
R=5;
L=0.2;
t0=0; 
tN=1;
h=0.0000001;
N=(tN-t0)/h;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[V/L+(-R/L)*ii];
i(n+1)=ii;
end
t=t0:h:tN;
figure(1)
plot(t,i,'-r','linewidth',5)
xlabel('Tiempo en segundos');
ylabel('Intensidad en amperios');

Como estamos usando un método explícito para aproximar una función exponencial de elevada pendiente, el paso de discretización temporal ha de ser muy pequeño (para que sea estable).
Cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto (ya que el error acumulado será menor).

Ecuación

2.3 Método del trapecio

Este método se basa en la integración numérica, es decir, es un método para calcular aproximadamente el valor de una integral definida.
Se basa en aproximar en la valor de la integral de la función por el de la función lineal que pasa a través de los puntos de inicio y final de la función, aproximandolo al área de un trapecio. El método del trapecio es más exacto que el de Euler.
Con la gráfica:

V=20;
R=5;
L=0.2;
t0=0; 
tN=1;
N=100000; 
h=(tN-t0)/N;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
    tn=t0+h*n;
    t(n+1)= tn+h;
    ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*V/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
    i(n+1)=ii;
end
t=t0:h:tN;
figure(1)
plot(t,i,'-y','linewidth',5)
xlabel('Tiempo en segundos');
ylabel('Intensidad en amperios');

Ecuación

Podemos observar que la intensidad se estabiliza a un valor constante en un período de tiempo muy corto (aproximadamente 0.2 segundos), casi de manera instantánea.
Cuánto más aumentemos L, más tiempo tardará la intensidad en llegar a ser una constante.

3 Ley de Kirchoff en un circuito complejo (malla 2)

3.1 4. Circuito 2.

Circuito completo (mslla 2)

Según las leyes de Kirchoff, el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente al circuito 2 es el siguiente:

• [math]E(t) = R_1\cdot i_1(t) + L_2\cdot \frac{d}{dt}\cdot i_2(t) + R_2\cdot i_2(t)[/math]: corresponde al recorrido exterior del circuito.
• [math]E(t) = R_1\cdot i_1(t) + L_1\cdot \frac{d}{dt}\cdot i_3(t)[/math]: corresponde a la malla 1.
• [math]i_1(t) = i_2(t) + i_3(t)[/math]: es la correspondiente a la Ley de corriente de Kirchoff.

Sustituyendo la tercera ecuación enlas otras dos se obtiene el sistema en términos de i2(t) e i3(t)matricialmente::[math]\frac{d}{dt}\cdot \begin{pmatrix} i_2\\i_3 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} \frac{R_1+R_2}{L_2}&\frac{R_1}{L_2} \\ \frac{R_1}{L_1}&\frac{R_1}{L_1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} i_2\\i_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{E}{L_2} \\ \frac{E}{L_1} \end{pmatrix}[/math]

A partir de las condiciones iniciales i2(0)=i3(0)=0 se puedeinterpretar que la corriente en el circuito es nula en el momento inicial en elque se conecta el generador.
Al añadir una tercera malla, con resitencia R3 e inductor L3, se crea elsiguiete sistema:

[math]i_1(t) = i_2(t) + i_3(t)[/math]
[math]i_2(t) = i_4(t) + i_5(t)[/math]
[math]E(t) = R_1\cdot i_1(t) + R_2\cdot i_2(t) + R_3\cdot i_5(t) + L_3\cdot \frac{d}{dt}\cdot i_5(t)[/math]
[math]E(t) = R_1\cdot i_1(t) + R_2\cdot i_2(t) + L_2\cdot \frac{d}{dt}\cdot i_4(t)[/math]
[math]E(t) = R_1\cdot i_1(t) + L_1\cdot \frac{d}{dt}\cdot i_3(t)[/math]