Circuitos eléctricos RL (Resistencia-Inductancia)

1 Circuito eléctrico RL

El circuito eléctrico RL más simple tiene un inductor o bobina, una resistencia y una fuente de alimentación.

• En una resistencia R, la ley de Ohm establece:: [math]i(t) = \frac{v(t)}{R}[/math]

donde

[math] i(t) [/math] = intesidad de corriente ([math]A[/math])

[math] v(t) [/math] = voltaje ([math]V[/math])

[math] R [/math] = coeficiente de resistencia ([math]Ω[/math])

• En un inductor L, la ley de Faraday establece:: [math]v(t) = L\frac{d}{d_t}i(t)=L\cdot i'(t)[/math]

donde

[math] L [/math] = coeficiente de autoinducción ([math]H[/math])

Las leyes de Kirchoff establecen el comportamiento de los circuitos:

1. Ley de corriente: en cada nodo la suma de corrientes que entra coincide con la suma de corrientes que sale.
2. Ley de tensiones: en cada ciclo cerrado, la suma de las diferencias de potencial eléctrico es nula.

2 Ley de Kirchoff

Circuito simple (malla 1)

Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo. Un circuito RL cerrado, mediante las leyes de Kirchoff nos da la siguiente ecuacion diferencial::

[math] i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0 [/math]

2.1 Método analítico

En el instante t=0, el circuito esta abierto, por lo que la intensidad que circula es nula [math] i_0(t)=0 [/math]. En el momento en el que t>0, el circuito adquiere una intensidad, que con las condiciones:

 [math] V(t)=20V [/math] 

 [math] L=0.2 [/math] 

 [math]R=5Ω [/math] 

hará que la ecuacion diferencial sea:

[math] i(t)= \frac{V}{R} - \frac{V}{R} e^{(-\frac{R}{L})t} = 4-4e^{-25t} [/math]

con la gráfica:

t=[0:0.0001:1];
i=4-4*exp(-25*t); 
figure(1)
plot(t,i,'-b','linewidth',5)
xlabel('Tiempo en segundos');
ylabel('Intensidad en amperios');

Ecuación

Observamos que la variación de la intensidad sigue una ley exponencial , que crece con el tiempo de forma muy rápida. Esto es así porque la corriente comienza a circular por la malla de forma prácticamente instantánea, una vez que conectamos el generador y cerramos el circuito. Observamos que, corroborando lo dicho, el lapso de tiempo en el que la intensidad pasa de 0 a 4 amperios es muy corto.

2.2 Euler

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo h y observando que por este método la h, es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño. con la gráfica:

V=20;
R=5;
L=0.2;
t0=0; 
tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[V/L+(-R/L)*ii];
i(n+1)=ii;
end
t=t0:h:tN;
figure(1)
plot(t,i,'-r','linewidth',5)
xlabel('Tiempo en segundos');
ylabel('Intensidad en amperios');

Ecuación