Ecuación del calor (Grupo ILIA)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación del calor. Grupo MAMBD |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Ignacio Campos Paños, Ignacio Martínez Cerezo, Alicia Ruiz Dominguez, Luis Ramos Ortiz |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
La ecuación del calor es una de las ecuaciones en derivadas parciales más fundamentales en la física y las matemáticas aplicadas, modelando la difusión de la temperatura en distintos medios. Su estudio es esencial en múltiples disciplinas, desde la ingeniería térmica hasta la biomedicina, donde se analiza la propagación del calor en tejidos biológicos. En este trabajo, estudiaremos el comportamiento de esta ecuación en una barra unidimensional aislada en el intervalo [0,1], imponiendo condiciones de frontera con temperatura constante.
En la vida real, las fuentes de calor no necesariamente tienen por qué estar en los extremos, por lo que también buscamos un enfoque más aplicado y realista. Nos enfocaremos en la propagación del calor cuando existe una fuente térmica localizada, es decir, introduciremos una fuente de calor puntual en algún punto en el interior de la barra (0,1) y veremos cómo se comporta la ecuación del calor. En la práctica, muchas aplicaciones incluyen fuentes térmicas, como calefactores, reacciones químicas o dispositivos electrónicos que generan calor; y esto tiene aplicaciones en procesos industriales, generación de energía y modelización de sistemas térmicos.
En resumen, exploraremos cómo la presencia de una fuente de calor afecta a la distribución de la temperatura en el tiempo, resolviendo el problema tanto analíticamente como numéricamente. A través de esta aproximación, podremos comprender mejor la influencia de fuentes térmicas en sistemas difusivos y validar métodos numéricos para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Estudiaremos varios aspectos:
Ecuación del calor con fuente: en este caso, la ecuación incluye un término [math] f(x,t) [/math] que representa una generación de calor interna. Esto hace que la temperatura no solo se difunda, sino que también aumente o disminuya dependiendo de la fuente.
Comparación con el caso sin fuente: veremos cómo la solución cambia al introducir un calentamiento localizado, observando si se alcanza un estado estacionario diferente o si la temperatura sigue variando en el tiempo.
Influencia de la intensidad y duración de la fuente: podemos analizar distintos valores de [math] A [/math] y ver cómo afectan la propagación térmica.
2 Ecuación del calor
La ecuación de difusión del calor original sin fuentes de calor externas viene dada por: [math] u_t=u_{xx} [/math] donde la función u(x,t) es la función temperatura en cada posición e instante de tiempo, [math]u_t[/math] la derivada temporal y [math]u_{xx}[/math] la segunda derivada espacial, que modela la difusión del calor.
Si consideramos que la condición inicial en [math]t=0[/math] es [math]u(x,0)=\operatorname{sen}(x)[/math], podemos obtener el siguiente problema de ecuación del calor con condiciones frontera:
Resolviendo este problema obtenemos que la solución estacionaria es:
y la solución general:
Vamos a graficar la solución.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
# puntos de la malla
x = np.linspace(0, 1, 50)
t = np.linspace(0, 0.5, 50)
X, T = np.meshgrid(x, t) # malla
U = np.sin(2 * np.pi * X) * np.exp(-4 * np.pi**2 * T) # sol general
# figura
fig = plt.figure(figsize=(10, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
# grafica
ax.plot_surface(X, T, U, cmap='viridis')
ax.set_xlabel('Posición x')
ax.set_ylabel('Tiempo t')
ax.set_zlabel('Temperatura u(x,t)')
ax.set_title('Solución de la ecuación del calor')
plt.show()Como podemos ver la solución tiende rápidamente a la solución estacionaria en el que toda la barra está a 0 grados, que es lógico si tenemos en cuenta que los extremos tienen temperatura constante de 0.
3 Ecuación del calor con fuente térmica puntual
En los casos sencillos de la ecuación del calor, como los vistos en clase, no existe aporte de calor a nuestro sistema o, si existe, es regular a lo largo del espacio y el tiempo. Podemos, sin embargo, tratar de estudiar el caso en el que se introduce una función [math]f(x,t)[/math] que representa un nuevo foco de calor en un punto concreto [math]x_0[/math] de la barra de manera localizada, de manera que la ecuación del calor queda como sigue:
Donde [math]f(x,t)[/math] es de la forma [math]f(x,t)=q(t)\delta(x-x_0)[/math], [math]q(t)[/math] representa la cantidad de calor que se añade en función del tiempo y [math]\delta(x-x_0)[/math] es la delta de Dirac, que hace que el calor se añada únicamente en el punto [math]x_0[/math]. Al emplear la distribución [math]\delta[/math] de Dirac, estamos imponiendo que esta adición energética (calorífica) se encuentre extremadamente localizada, como la acción de un láser sobre una barra que simplificamos como unidimensional.
Si consideramos [math]q(t)=2[/math], [math]x_0=0.5[/math] y tomamos el mismo problema de la sección 2 con esta modificación, obtenemos el siguiente problema:
Tratando de hallar una solución realizando la suposición de existencia de solución estacionaria, llegaríamos a una solución [math]u(x)[/math] que no sería continua. Es por ello que otros métodos algo más sofisticados son necesarios para resolver esta ecuación. La idea general, sin embargo, se encuentra en hallar las soluciones generales para nuestro problema homogéneo y, tras esto, describir [math]f(x,t)[/math] como suma de elementos de la base de Fourier que hayamos hallado. Debido a la facilidad con la que se integra [math]\delta(x)[/math], esto no supondría un problema.
