Ecuación del calor (Grupo ACIRV)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación del calor (Grupo ACIRV).
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Ángela Sotelo Fernández, Carmen Doñoro Molina, Inés Torres Gómez, Rubén Gutiérrez Hernández, Violeta Luján Barrios.
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

En esta página ilustraremos el uso del método de diferencias finitas para resolver la ecuación del calor en una dimensión.

Dicho método sirve para resolver de manera aproximada ecuaciones diferenciales parciales y ordinarias de manera numérica. Funciona sustituyendo las derivadas por cocientes de diferencias que vienen dados por valores de la función en puntos discretos de una malla.

2 Modelización de la ecuación del calor con una dimensión

La ecuación a resolver es

[math] u_t = \alpha u_{xx}, \quad x \in [0,1], \ t \gt 0,\ \alpha = 1. [/math]

donde \(u(x,t)\) representa la temperatura en el punto \(x\) y en el instante \(t\), y \(\alpha\) es una constante que viene dada por la conductividad térmica del material.

Se considera una varilla metálica en el intervalo \([0,1]\) y aislada en su superficie lateral tal que la conducción de calor solo se produce en la dirección longitudinal. La temperatura inicial de la varilla es \(10^{\circ}C\). En los extremos derecho e izquierdo la temperatura se mantiene a \(10^{\circ}C\) y \(1^{\circ}C\) respectivamente.

El sistema que modeliza el comportamiento de la temperatura, representada por la función \(u(x,t)\), es el siguiente:

[math] \left \{ \begin{array}{llll} u_t - u_{xx} & = 0 & x \in [0,1], & t\gt0 \\ u(0,t)& = 1 & t\gt0\\ u(1,t) & = 10 & t\gt0\\ u(x,0) &= 10 & x \in [0,1] \end{array} \right . \tag{1} [/math]

3 Resolución analítica del problema

Primeramente, resolveremos el problema analíticamente para después comparar su solución con la obtenida numéricamente.

Puesto que el sistema obtenido \((1)\) no es homogéneo, debemos encontrar primero la solución estacionaria. Es decir, suponemos que \(t \rightarrow \infty\) (la solución ya no varía en el tiempo).

La solución estacionaria obtenida es \(v(x) = 9x +1\) . Al representarla gráficamente en 3D obtenemos:

Solución estacionaria

%Creamos una matriz que representa una malla de puntos (tiempo,
% espacio) y en cada una de las columnas introducimos el valor de 9x+1 para todos los tiempos.

% Matriz
evaluaciones = zeros(100,100);

% Límite temporal y vectores 
T = 1;
t = linspace(0,T,100);
x = linspace(0,1,100);

% Rellenamos la matriz 
for j = 1:100
    evaluaciones(:,j) = (9*x(j) + 1) * ones(100,1);
end

% Representación gráfica
surf(t,x,evaluaciones')
title('Solución estacionaria: v(x) = 9x + 1')
xlabel('Tiempo')
ylabel('Espacio')
zlabel('Temperatura (°C)')

Una vez calculada la solución estacionaria, homogeneizamos el sistema definiendo la ecuación \(w(x,t) = u(x,t) - v(x)\).

[math] \left \{ \begin{array}{llll} w_t - w_{xx} & = 0 & x \in [0,1], & t\gt0 \\ w(0,t)& = 0 & t\gt0\\ w(1,t) & = 0 & t\gt0\\ w(x,0) &= 9(1-x) & x \in [0,1] \end{array} \right . [/math]

Resolviendo mediante el método de separación de variables y por superposición de soluciones, obtenemos la siguiente solución:

[math] w(x,t) = \sum^{\infty}_{k=1} \frac{18}{k\pi}sen(k\pi x)e^{-k^2 \pi^2 t} . [/math]