Ecuación del calor (Grupo GIXP)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación del calor. Grupo GIXP
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Gonzalo Garelly Israel López Francisco Lavao Paula León
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

2 Ecuación Del Calor

Consideremos la ecuación del calor en una dimensión:

[math] \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\kappa}{Q\rho} \Delta u = \frac{1}{Q}f, \quad x \in (0,L), \quad t \gt 0, [/math]

donde [math] u(x,t) [/math] representa la temperatura en función del tiempo y la posición, y [math] \frac{\kappa}{Q\rho} [/math] es la difusividad térmica del material que se expresa en términos de la conductividad térmica ([math] \kappa [/math]), la densidad del material ([math] \rho [/math]) y la capacidad calorífica ([math] Q [/math]).

Las [math] \textbf{condiciones de Dirichlet} [/math] establecen valores fijos de temperatura en los extremos:

[math] u(0,t) = T_0, \quad u(L,t) = T_L, \quad t \gt 0. [/math]

Además, necesitamos una [math] \textbf{condición inicial} [/math] que defina la temperatura en [math] t = 0: [/math]

[math] u(x,0) = f(x), \quad x \in (0,L). [/math]

3 Modelización De La Ecuación Del Calor Para Condiciones Dirichlet

La ecuación del calor se deriva de la [math] \textbf{ley de Fourier} [/math] y el [math] \textbf{principio de conservación de la energía} [/math]. Deduzcamosla paso a paso.

3.1 Ley de Fourier

La Ley de Fourier establece que el flujo de calor [math] (\vec{q}) [/math] es proporcional al gradiente de temperatura:

[math] \vec{q} = - \kappa \nabla u. [/math]

3.2 Corolario del Principio de Conservación de la Energía

La tasa de variación de la energía de un volumen [math] V [/math] de longitud infinitesimal en una barra es igual al balance neto de la energía que fluye por su frontera [math] \partial V [/math] junto con la producción por fuerzas externas que pueden aparecen por reacciones químicas.

[math] \frac{d}{dt} \left( \int_{V} \rho e(x,t) \, dV \right) = \int_{\partial V} \vec{q} \cdot \vec{n} \, ds + \int_{V} \rho f \, dV [/math]

4 Motivación y enfoque

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si nos lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos tales como:

• [math]\textbf{Gestión térmica en electrónica:}[/math] donde permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos;
• [math]\textbf{Climatología:}[/math] donde se emplea para estudiar la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos;
• [math]\textbf{Biología:}[/math] donde describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En nuestro caso, plantearemos el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas, y así jugaremos modelizando distintas situaciones.