Series de Fourier (Grupo MECA)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Series de Fourier (Grupo MECA) |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Ángel De Lucas Miranda |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
Las series de Fourier son una herramienta matemática fundamental en ingeniería y diversas disciplinas, utilizada, entre otras aplicaciones, en la resonancia magnética (RM). En ocasiones, las imágenes obtenidas en RM presentan artefactos: falsas estructuras o manchas que pueden confundirse con quistes u otras patologías. Uno de los fenómenos que contribuye a la aparición de estos artefactos es el fenómeno de Gibbs, el cual se genera en presencia de discontinuidades en las señales. En este trabajo estudiaremos el fenómeno de Gibbs.
2 Aproximación por series de Fourier
Empezaremos este trabajo aproximando la función característica [math] f(x) = 1_{x \leq 1/4}(x) [/math] por su serie de Fourier. Observamos que se trata de una función discontinua no periódica. Empecemos por extender de forma par la función al intervalo [math] [-1,1] [/math].
Es fácil comprobar que la función extendida pertenece al grupo de funciones [math] L^2 [/math], además la función verifica la condición de Dirichlet, por tanto, la serie de Fourier de la función converge puntalmente al propio punto en los puntos de continuidad y al promedio en los puntos de discontinuidad. A continuación se muestra el desarrollo de Fourier de la función extendida [math] f(x) = 1_{x \leq 1/4}(x) [/math] para diferentes valores de [math] n [/math].
def f(x):
# Función a trozos extendida: devuelve 1 en [-0.25, 0.25], 0 en otro caso
return np.where((x >= -0.25) & (x <= 0.25), 1, 0)
def coef_fourier(f, a, b, n):
# Calcula los coeficientes de Fourier para una función f en [a, b]
T = b - a # Periodo
x = np.linspace(a, b, 400) # Puntos de evaluación
val_f = f(x)
a_coef = [] # Lista para almacenar los coeficientes
for j in range(n+1):
val_cos = np.cos(2 * np.pi * j * x / T) # Base coseno
aux = np.trapz(val_f * val_cos, x) * (2 / T)
a_coef.append(aux)
return a_coef
def aprox_fourier_par(a_coef, T, x, n):
# Aproxima la función usando la serie de Fourier hasta el término n
aux = a_coef[0] / 2 # Término constante
for i in range(1, n+1):
aux += a_coef[i] * np.cos(2 * np.pi * i * x / T)
return aux
En la figura anterior se puede observar lo que se conoce como el fenómeno de Gibbs. Este fenómeno establece que en el punto de discontinuidad la serie de Fourier que aproxima la función presenta una oscilación que sobrepasa superior o inferiormente a la función original (aproximadamente el [math] 9\% [/math] del salto dado). Este fenómeno se da cuando tratamos de aproximar por Fourier funciones discontinuas. A continuación se muestra una gráfica del error cometido por nuestra aproximación de Fourier usando dos normas diferentes, la norma del espacio [math] L^2 [/math] y la norma del supremo.
z = 300 # Número de aproximaciones a calcular
error_L2, error_sup = [], [] # Listas para almacenar los errores
# Obtenemos los primeros z coeficientes de Fourier
a_coef = coef_fourier(f, a, b, z)
# Definimos el intervalo de integración [0,1]
intervalo = np.linspace(0, 1, 200)
y_real = f(np.array(intervalo)) # Valores reales de la función
# Calculamos errores para cada aproximación
for k in range(1, z + 1):
y_aprox = [aprox_fourier_par(a_coef[:k+1], T, j, k) for j in intervalo]
# Cálculo del error en norma L² y norma supremo
error_L2.append(np.sqrt(np.trapz(abs(y_real - y_aprox)**2, x)))
error_sup.append(max(abs(y_real - y_aprox)))
# Eje x: número de términos en la aproximación
valor_n = list(range(1, z + 1))
# Graficamos los errores
plt.plot(valor_n, error_sup, color="#d62728", label="Error norma supremo")
plt.plot(valor_n, error_L2, color="#000080", label="Error norma $L^2$")
plt.xlabel('Número de términos')
plt.ylabel('Error')
plt.legend(loc="upper right")
plt.title("Error de aproximación")
plt.savefig("Error_aprox")
A continuación, mostraremos dos métodos diferentes para suavizar el fenómeno de Gibbs.
3 Sumas de Cesàro y Sumas de Abel
Las sumas de Cesàro ayudan a mitigar el fenómeno de Gibbs al suavizar la convergencia de las series de Fourier. En lugar de tomar directamente la serie de Fourier parcial de orden N, las sumas de Cesàro promedian las sumas parciales anteriores, reduciendo así las oscilaciones cerca de las discontinuidades. Expresado matemáticamente:
[math]\sigma_N(f) = \frac{1}{N+1} \sum_{n=0}^{N} S_n(f)[/math]
donde [math]S_n(f)[/math] es la suma parcial de Fourier de orden n. Otro método para suavizar el fenómeno de Gibbs se conoce como las sumas de Abel. Una sucesión \( \sigma_N = \sum_{n=0}^{N} S_n \) se dice que es sumable de Abel a \( f \) si para cada \( 0 \leq r < 1 \), la serie
[math] A(r) = \sum_{n=0}^{\infty} S_n r^n [/math]
converge, y
[math] \lim_{r \to 1} A(r) = f. [/math]
Las cantidades \( A(r) \) se llaman la media de Abel de la sucesión. Cuando aplicamos las sumas de Abel a las series de Fourier el térimino [math]r^i[/math] actúa como suavizador de las oscilaciones en los puntos de discontinuidad. Se puede probar que si la serie converge a \( f \) entonces la sucesión es sumable de Abel a \( f \). Además, la condición de ser Abel sumable es más fuerte que la condición de convergencia en las sumas de Cesàro. Veamos con el ejemplo inicial como estos dos métodos ayudan a mitigar el fenómeno de Gibbs.
def cesaro(f, a, b, n, x):
"""
Calcula la suma de Cesàro para una serie de Fourier.
"""
a_coef = coef_fourier(f, a, b, n) # Calculamos los coeficientes de Fourier
T = b - a # Período de la función
# Promediamos las sumas parciales de Fourier hasta el término n
cesaro_sum = sum(aprox_fourier_par(a_coef[:i+1], T, x, i) for i in range(n+1)) / (n+1)
return cesaro_sum
def Abel(a_coef, T, x, n, r):
"""
Calcula la suma de Abel para una serie de Fourier.
"""
abel_sum = a_coef[0] / 2 # Primer término (a_0 / 2)
# Aplicamos el factor de suavizado r^i a cada término de la serie
for i in range(1, n+1):
abel_sum += (a_coef[i] * np.cos(2 * np.pi * i * x / T)) * (r ** i)
return abel_sum
