El vórtice de Rankine (grupo 34)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	El vórtice de Rankine (Grupo 34)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

El modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

2 Campo de velocidades

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del vórtice y la región exterior. Para un vórtice con ojo de radio [math]\text{R}[/math] y circulación máxima [math]\Gamma[/math], el campo de velocidad se define en coordenadas cilíndricas [math](r, θ, z)[/math] como [math]\overrightarrow{V}=\overrightarrow{V}=v_{\rho}\overrightarrow{e}_{\rho}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}[/math], donde:

[math]\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,[/math]

%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%  
Vo = 360; %km/h%  
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
    for j=1:n
        if r(i,j)<=R
    u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
    v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
        else 
    uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
    vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
        end
    end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off

Campo de Velocidades del Tornado Bridge

3 Divergencia y rotacional del campo de velocidades

La divergencia del velocidad es nula en todos los puntos del espacio, ya que [math]\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0[/math].

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen [math] r\le R[/math] y nula para todos los puntos que cumplen [math]r\gt R[/math].

[math]\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix} \overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\ \frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ u_{r} & ru_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix} = \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} \frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\ 0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r \gt R \end{aligned} \right. \end{equation} [/math]

Este cálculo nos indica que los puntos fuera del ojo rotan al rededor del eje de simetría pero no sobre sí mismos, si por ejemplo tuviéramos una barca en la parte exterior del ojo del vórtice, siempre apuntaría a la misma dirección, es el mismo movimiento que siguen las cabinas de una noria. Mientras que los puntos dentro del ojo rotan tanto al rededor del eje de simetría como sobre sí mismos con un valor constante, por lo que si la barca estuviese en del ojo, sí que cambiaría su orientación. Esto se debe a que la viscosidad del fluido aumenta dentro del ojo, y hace que los puntos se comporten como un sólido rígido girando sobre sí mismo, y fuera del ojo, a pesar de girar el rededor de él, la viscosidad permite que mantengan su dirección

4 Ojo del vórtice

Cuando una barca se encuentra en el ojo de un vórtice, lo que sucede depende de la exactitud de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas. Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos: - Barca en el ojo del vórtice (centro) : esta parte es donde los fluidos se mantienen estáticos, es decir, no se mueven. En esta sección, el vórtice está calmado, sin la

fuerza de rotación que hay en los bordes. Cuando la barca está en el centro del vórtice, no experimenta la fuerza de rotación que se encuentran en las capas externas. La 
barca no rota sobre si misma ni se mueve de manera circular. 

- Barca en la parte exterior del vórtice : cuando se encuentra en la región exterior, los fluidos se mueven con más velocidad y la situación cambia. El fluido en la periferia del vórtice tiene un movimiento de giro o rotación que provoca el arrastre de objetos en esa dirección. El fluido se mueve en espiral, y la barca también se ve arrastrada por ese movimiento. En esta región , el vórtice tiene más fuerza y la barca va a girar y moverse de acuerdo con la dirección del flujo del agua o aire. No se mantiene paralela a una dirección fija, sino que sigue la misma rotación que el vórtice, moviéndose con el flujo.

5 Campo de presiones con planos paralelos a la superficie

Se adjunta el código de Matlab que se utiliza para crear el gráfico:

% Parámetros
P0 = 90000;    % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225;   % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81;      % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300;       % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100;     % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200;     % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
    if RR(i) <= R
        P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
    else
        P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
    end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');

"Campo de presiones"

"Animación campo de presiones"

6 Campo del gradiente de presión

Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

8 Diferencia de presión

Calculo de diferencia de presión: P_∞-P_0=ρ(τ/2πR)^2

P_0+1/2 ρ(τ/2πR)^2- ρgz=P_∞-1/2 ρ(τ/2πR)^2- ρgz