Ecuación de Ondas (CGomJRod)

1 Introducción

En el siguiente documento se tiene como objetivo estudiar las soluciones de la ecuación de ondas. En primer lugar, la estudiaremos en dimensión en el compacto [math][0,1][/math]. Además, comprobaremos las diferencias entre las soluciones al imponer diferentes condiciones frontera, concretamente Dirichlet y Neumann [math]\textbf{INTERPRETACIÓN?}[/math]. En segundo lugar, pasaremos al estudio de las soluciones fundamentales de esta ecuación en dimensiones 1, 2 y 3. Estas son soluciones de la ecuación de ondas cuando dejamos de resolverla en un conjunto acotado y tratamos de hallarla para todo [math]\mathbb{R}^n[/math]. Su importancia radica en que podemos calcular soluciones de otros problemas a partir de esta. En este trabajo nos centraremos únicamente en sacar las gráficas de estas funciones más que en su desarrollo teórico.

2 Conocimientos Previos

Como se ha comentado en la sección anterior, en este documento estudiaremos la ecuación de ondas, por lo que será necesario conocer ciertos resultados en relación con esta famosa ecuación. En primer lugar, aunque su nombre ya es muy representativo, veamos que modeliza para tener algo de intuición sobre esta. Imaginemos una cuerda vibrante que ocupa el intervalo [math][0, L][/math]. Consideremos que tiene una densidad [math]d[/math] y tensión [math]\tau[/math] constantes tales que la velocidad de propagación [math]c = \tau/d[/math]. Se puede demostrar que la ecuación que modeliza este comportamiento es la ecuación de ondas:

[math]u_{tt} – c^2 u_{xx} =0 [/math]

Esta se trata de una ecuación en derivadas parciales de segundo orden por lo que necesitaremos alguna información extra para poder resolver el problema que tenemos entre manos. Supongamos que tiene los extremos fijos, por lo que hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet [math]u(0,t)=u(L,t)=0[/math]. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos [math]u_0(x)[/math] y [math]u_1(x)[/math] su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:

[math]\left \{ \begin{array}{ll} u_{tt} – c^2 u_{xx} =0 \\ u(0,t)=u(L,t)=0 \\ u(x,0)=u_0(x) \\ u_t(x,0)=u_1(x) \end{array} \right. [/math]

Este problema se puede resolver por separación de variables, y apoyándonos en el principio de superposición y en la teoría de series de Fourier [math]\textbf{LINK TRABAJO SERIES DE FOURIER}[/math] se puede demostrar el siguiente resultado:

[math]\textbf{Teorema (Existencia de soluciones):}[/math] Sea un problema como el anterior, entonces existe una solución de la forma:

[math] u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} (\frac{L}{k\pi c} u_{1,k} sin(\frac{k \pi c}{L}t)+ u_{0,k}cos(\frac{k\pi c}{L}t)) sin(\frac{k\pi}{L}x) [/math]

donde [math]u_{0,k}[/math] y [math]u_{1,k}[/math] son los coeficientes de Fourier que se calculan como sigue:

[math] u_{0,k}= \frac{\int_0^L sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^L sin^2(k \pi x) dx}[/math]

[math] u_{1,k}= \frac{\int_0^L sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^L sin^2(k \pi x) dx}[/math]

Otro resultado importante que debemos conocer previo al estudio que haremos en este trabajo es la fórmula de D'Alembert. Esta nos da una expresión de la solución del problema de Cauchy global, es decir que el abierto sobre el que trabajamos no es acotado; todo el espacio. Utilizaremos su expresión para dimensión 1.

[math]\textbf{Teorema (Fórmula de D'Alembert):}[/math] Sea el problema de Cauchy global:

[math]\left \{ \begin{array}{ll} u_{tt} – c^2 u_{xx} =0 \\ u(x,0)=u_0(x) \\ u_t(x,0)=u_1(x) \end{array} \right. [/math]

Entonces la solución de la ecuación viene dada por la expresión:

[math]u(x,t)=\frac{1}{2}(u_0(x-ct)+u_0(x+ct))+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}u_1(y)dy[/math]

A partir de esta expresión es posible obtener una cierta intuición sobre el funcionamiento de las soluciones de esta ecuación. Como se puede ver en la fórmula anterior, para calcular [math]u(x,t)[/math] solo necesitamos conocer los valores de [math]u_0[/math] en los puntos [math]x\pm ct[/math] y los de [math]u_1[/math] en [math][x-ct,x+ct][/math]. Es decir, la solución solo depende de cómo es la condición inicial en dicho intervalo. A esto se le conoce como dominio de dependencia de [math]u(x,t)[/math]. Por otro lado, podemos obtener otra interpretación que veremos más adelante pero cuya intuición se puede ver en el primer sumando de la fórmula; la solución está compuesta por dos ondas iguales que se mueven en la misma dirección y sentido contrario a la misma velocidad.

[math]\textbf{Principio de Huygens:}[/math] El principio de Huygens fue formulado originalmente por el físico y matemático holandés Christiaan Huygens en 1678. Nos dice que todo punto de un frente de onda inicial puede considerarse como una fuente de ondas esféricas secundarias que se extienden en todas las direcciones con la misma velocidad, frecuencia y longitud de onda que el frente de onda del que proceden.

3 Ejemplos de resolución

Una vez hemos visto muy por encima algunos resultados y conceptos teóricos previos, podemos pasar a resolver algunos ejercicios a modo de ejemplo. Supongamos una cuerda vibrante como la anterior con los extremos fijos y donde [math]L=1[/math]. Además, como condición inicial vamos a imponer [math]u_0(x)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}[/math] y [math]u_1(x)=0[/math]. Es decir, queremos resolver el siguiente problema:

[math]\left \{ \begin{array}{ll} u_{tt} – u_{xx} =0 \\ u(0,t)=u(1,t)=0 \\ u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2} \\ u_t(x,0)=0 \end{array} \right. [/math]

Aplicando el teorema de existencia de la sección anterior, obtenemos la siguiente solución:

[math]\textbf{METER FORMULONCIO JAVI}[/math]

A continuación se muestra la gráfica de la solución para [math]t \in [0,2][/math] tomando los 50 primeros términos de la serie.

[math]\textbf{INSERTAR IMAGEN}[/math]

En ella se aprecia como aparecen dos ondas que se mueven en sentidos opuestos hasta que al llegar al límite del intervalo rebotan y ``cambian su orientación. Estas dos se vuelven a unir en el centro y posteriormente continúan su camino hasta que vuelven a rebotar cambiando de nuevo la orientación y encontrándose en el centro, empezando de nuevo el proceso; la solución es periódica en tiempo. Esto se aprecia mejor en el siguiente GIF

[math]\textbf{INSERTAR VIDEO}[/math]

Hemos visto que nada más empezar el proceso, la onda se divide en dos y se mueven en sentidos opuestos. Sin embargo, podemos eliminar este efecto cambiando las condiciones iniciales del problema a estudiar. Si consideramos [math]u_0=f(x)[/math] y [math]u_1(x)=-f'(x)[/math] con [math]e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}[/math], podemos comprobar a continuación que el comportamiento que muestra la solución anterior es el mismo salvo que en este caso no encontramos dos ondas, sino una.

[math]\textbf{INSERTAR IMAGEN Y VIDEO}[/math]

La pregunta que surge ahora es por qué pasa esto, ya que parece que las nuevas condiciones escogidas salen de la nada. Sin embargo si recordamos la fórmula de D'Alembert que presentamos en [math]\textbf{INSERTAR Link intro}[/math] y hacemos los siguientes calculos podemos observar que estas condiciones no son tan caprichosas y en realidad obedecen a lo que dicta esta fórmula. Sustituyendo en esta las condiciones del nuevo problema y haciendo uso del teorema fundamental del cálculo: