Ecuación de Ondas

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación de Laplace y de Poisson. Grupo ABMR
Asignatura	EDP
Curso	2023-24
Autores	Arturo Barrena y Mario Ríos
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Planteamiento del problema

El problema que estás describiendo corresponde a la ecuación de ondas, la cual modela la vibración de una cuerda fija en los extremos. Vamos a plantear el sistema de ecuaciones correspondiente, describiendo cada término.

1.1 Ecuación de ondas

La ecuación de ondas en una dimensión, con una cuerda de densidad \(d\) y tensión \(\tau_0\), donde la velocidad de propagación es \(c = \sqrt{\tau_0/d}\), se escribe como:

\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]

Dado que en este caso \(c = 1\), la ecuación se simplifica a:

\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]

1.2 Condiciones de frontera

Dado que la cuerda está fija en los extremos, tenemos:

\[ u(0, t) = 0 \] \[ u(1, t) = 0 \]

Estas condiciones indican que la posición de la cuerda en los puntos \(x = 0\) y \(x = 1\) siempre es cero, es decir, la cuerda no se mueve en los extremos.

1.3 Condiciones iniciales

Las condiciones iniciales especifican la posición y la velocidad inicial de la cuerda:

Posición inicial:

\[ u(x, 0) = u_0(x) \]

Esto describe la forma inicial de la cuerda en \(t = 0\).

Velocidad inicial:

\[ \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = u_1(x) \]

Esto describe la velocidad inicial de cada punto de la cuerda en \(t = 0\).