Ecuaciones de Laplace y de Poisson

1 Introducción

En este documento, nos centraremos en dos ecuaciones que tienen un amplio uso en diversos ámbitos como electrostática, mecánica de fluidos, física teórica y magnetostática: la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson. Ambas ecuaciones las estudiaremos en el plano y las veremos aplicadas en problemas concretos. Veremos las limitaciones que presenta la fórumla de Poisson así como diferentes métodos analíticos para aproximar soluciones, y raíz de esto, analizaremos errores de aproximación. Por último, estudiaremos el comportamiento de soluciones tanto en un dominio dado, utilizando la desigualdad de Harnack, como asintóticamente en infinito.

CREO QUE AQUÍ ME FALTAN PUNTOS Y COMAS

2 Ecuación de Laplace

La ecuación de Laplace, cuyo nombre nombre honra al distinguido físico-matemático Pierre-Simon Laplace, es una ecuación en derivadas parciales de tipo elíptico. REFERENCIA? Construyamos un problema de derivadas parciales a partir de la ecuación de Laplace. La ecuación es,

[math] \Delta u = 0 [/math]

con [math]u:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}[/math] como incógnita. Esta ecuación se define en un dominio [math] \Omega [/math], y en su frontera [math] \partial \Omega [/math] se pueden añadir condiciones de contorno Dirichlet, Neuman o mixtas. En este trabajo nos centraremos en las condiciones de contorno de tipo Dirichlet, las cuales igualan [math] u [/math] a una función específica [math] g [/math]. Con todo esto, llegamos al siguiente problema de derivadas parciales.

[math] \begin{cases} \Delta u = 0, & \text{x} \in \Omega \\ u = g, & \text{x} \in \partial \Omega \end{cases}[/math]

A fin de comprender mejor este problema, podemos examinar el siguiente ejemplo en concreto.

2.1 Ejemplo Laplace

Sea [math] B_1 ⊂ R^2 [/math] la bola unidad centrada en [math](0, 0)[/math]. Planteamos el problema,

[math] \begin{cases} \Delta u = 0, & \text{x} \in B_1 \\ u = g, & \text{x} \in \partial B_1 \end{cases}[/math]

donde [math] g [/math] lo podemos definir tomando coordenadas polares, por ejemplo [math] g(\theta)=max\{0, 1-\frac{2}{\pi} |\theta - \pi|\} [/math] .

A lo largo de este documento, en lo que tiene que ver con la ecuación de Laplace, visitaremos este ejemplo varias veces.

3 Calcular la solución de la ecuación de Laplace en el plano

Dentro de la resolución del problema planteado existen varios métodos por los que proceder. En este trabajo estudiaremos dos: la fórmula de Poisson y la serie de Fourier.

3.1 Solución por la fórmula de Poisson

Encontrar la solución del problema mediante la fórmula de Poisson viene determinado por el siguiente teorema.

3.1.1 Teorema

La solución [math] u \in C^2(B_R \cup C(\overline{B_R}) [/math]del problema [math] \begin{cases} \Delta u = 0, & \text{x} \in B_R \\ u = g, & \text{x} \in \partial B_R \end{cases}[/math] donde [math]g[/math] es una función continua viene dado por la fórmula de Poisson [math] u(\vec{x})=\frac{R^2-|\vec{x}|^2}{w_n R}\int_{\partial B_R}\frac{g(\sigma)}{|\vec{x}-\sigma|^2} d\sigma. [/math]

Es importante destacar que el denominador [math]|\vec{x}-\sigma|^2 [/math] se anula en la frontera de la bola llevándonos a una indeterminación. Sin embargo, el término [math]R^2-|\vec{x}|^2[/math] se hace infinito compensando así la indeterminación anterior.

Otra forma de expresar la fórmula de Poisson es en coordenadas polares [math](r, \theta)[/math].

[math] u(\vec{x})=\frac{R^2-||\vec{x}||^2}{2\pi R}\int_{\partial B_R}\frac{G(\sigma)}{||\vec{x}-\sigma||^2} d\sigma, [/math]

Donde, [math]\vec{x} = (x_1, x_2) = (rcos(\theta), rsen(\theta)) [/math] y [math] g(rcos(\theta), rsen(\theta)) = G(\theta)[/math]. En estas coordenadas el problema pasa a ser,

[math] \begin{cases} \Delta U_r_r + \frac{1}{r}U_r + \frac{1}{r^2}U_\theta_\theta= 0, & \text{x} \in B_R \\ U(R, \theta) = G(\theta), & \text{x} \in \partial B_R \end{cases}[/math]<center>

3.2 Solución por la serie de Fourier

=== Comportamiento de la solución ===