ECUACION LOGÍSTICA

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación de Laplace y de Poisson. Grupo ABMR
Asignatura	EDP
Curso	2023-24
Autores	Arturo Barrena y Mario Ríos
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 . Introducción

Las ecuaciones de Laplace y Poisson son fundamentales en el campo de la física matemática y la ingeniería, especialmente en el estudio de fenómenos de difusión, electrostática y flujo de calor. Ambas ecuaciones son ecuaciones diferenciales parciales (EDP) que describen el comportamiento de campos escalares en un dominio dado. La ecuación de Laplace representa un caso especial de la ecuación de Poisson, donde la función fuente es cero.

La ecuación de Laplace se expresa matemáticamente como: [math]\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}= 0[/math]

Donde [math]\phi[/math] es el campo escalar y [math]\nabla^2[/math] es el operador Laplaciano.

Por otro lado, la ecuación de Poisson se formula como: [math]\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}= f[/math]

Donde f es una función fuente que puede representar, por ejemplo, densidad de carga, densidad de masa o fuentes térmicas.

2 . Ej 4

En esta sección nos centraremos en el problema:

[math]\left \{ \begin{array}{ll} \Delta u=0, \vec{x}\in B_R,\\ u=g, \vec{x}\in \partial B_R, \\ \end{array} \right. [/math]

donde [math]B_R[/math] es la bola de radio [math]R[/math] centrada en [math](0,0)[/math] y [math]g[/math] es una función cualquiera. En este caso nos enfocaremos en el caso [math]R=1[/math].

En primer lugar, compararemos su solución usando la fórmula de Poisson frente a su solución usando la serie de Fourier, pintando sus gráficas y viendo los errores que tienen al aproximar una solución exacta. Finalmente, usaremos la desigualdad de Harnack.

2.1 .Apart 1

Comenzamos con la solución dada por la fórmula de Poisson. La fórmula de Poisson nos dice que la solución a un problema de la forma anterior es:

[math] u(\vec{x})=\frac{R^2-||\vec{x}||^2}{2\pi R}\int_{\partial B_R}\frac{g(\sigma)}{||\vec{x}-\sigma||^2} d\sigma, [/math]

donde R es el radio de la bola donde se plantea el problema y [math] ||\vec{x}|| [/math] la distancia al centro de la bola.

Consideramos en coordenadas polares [math](r,\theta)[/math] la función [math]g(\theta)=\max \left\{0, 1 - \frac{2}{\pi} \left| \theta - \pi \right| \right\} [/math] que impone la condición frontera del problema. La fórmula de Poisson escrita de otra forma, dice que la solución del problema escrita en coordenadas polares es:

[math] U(r,\theta)=\frac{R^2-r^2}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{g(s)}{R^2+r^2-2Rrcos(\theta-s)} ds. [/math]

Por lo tanto, sustituyendo nuestra función [math]g[/math] en coordenadas polares en esta fórmula con [math]R=1[/math], podemos hallar la solución mediante la fórmula de Poisson. Para dibujarla, aproximaremos la integral mediante el método del trapecio.

Antes de dibujarla, destacaremos el problema que surge con esta fórmula a la hora de aproximar la solución en puntos de la frontera de la forma [math](R,\theta)[/math] con [math]\theta \in [0,2\pi)[/math]. Es fácil ver que para los puntos de esta forma, cuando el coseno de la integral se hace 1 (para ciertos valores de [math]s[/math] entre [math]0[/math] y [math]2\pi[/math]), el denominador se anula. Por lo tanto, la integral diverge. Esto provoca que si intentamos dibujar la gráfica sin tomar esto en cuenta, se llega a lo siguiente:

Solución estacionaria

3 .Código

pie de foto

% Limpiar el espacio de trabajo y cerrar todas las figuras previas
clear all
close all

% Datos
R = 1;                                            % Radio del círculo
g = @(theta) max(0, 1 - 2/pi * abs(theta - pi));  % Condición inicial
numvalores_theta = 400;                            % Número de valores de el ángulo theta
numvalores_r = 400;                                % Número de valores de el radio r
numvalores_trapecio = 400;                         % Número de valores al discretizar para la fórmula del trapecio

% Función a integrar en la fórmula de Poisson
integrando = @(s, r, theta) g(s) ./ (R^2 + r^2 - 2 * R * r * cos(theta - s));

% Generación de puntos de evaluación
theta = linspace(0, 2*pi, numvalores_theta);        % Vector de valores de el ángulo theta
r = linspace(0, R-R/10, numvalores_r);              % Vector de valores de el radio r (sin llegar a la frontera) 
s = linspace(0, 2*pi, numvalores_trapecio);         % Discretización fórmula del trapecio

% Cálculo de la solución en función de r y theta con la fórmula de Poisson (sin calcularla 
% en los valores en los que r=R, la frontera)
U = zeros(length(r), length(theta)); % Inicialización de matriz de valores de la solución
for i = 1:length(r)-1 
    for j = 1:length(theta)
        % Integral numérica para calcular la solución en cada punto r(i),theta(j)
        U(i, j) = (R^2 - r(i)^2) / (2 * pi) * trapz(s, integrando(s, r(i), theta(j)));
    end
end

% Valores de la frontera puestos manualmente
for j = 1:length(theta)
    U(length(r),j)= g(theta(j));
end

% Gráficas
X = r' * cos(theta); % Coordenadas x tras deshacer polares
Y = r' * sin(theta); % Coordenadas y tras deshacer polares
surf(X, Y, U, 'EdgeColor', 'none'); % Gráfica de la solución en función de x e y
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('u(x,y)'); % Etiquetas de ejes
legend('u(x,y)'); % Leyenda

3.1 .Apart 2

3.1.1 .Código

{{matlab= % Limpiar el espacio de trabajo y cerrar todas las figuras previas clear all close all

% Datos R = 1;  % Radio del círculo g = @(theta) R^2*cos(theta).*sin(theta);  % Condición inicial numdiscretizaciones_trapecio=8;  % Número de discretizaciones al usar la fórmula del trapecio r=0.9; theta=pi/4;  % Punto particular en el que se quiere ver el error sol=r^2*cos(theta)*sin(theta);  % Solución exacta en dicho punto particular

% Función a integrar en la fórmula de Poisson integrando = @(s, r, theta) g(s) ./ (R^2 + r^2 - 2 * R * r * cos(theta - s));

error=zeros(1,numdiscretizaciones_trapecio); for n=1:numdiscretizaciones_trapecio

   numvalores_trapecio = 10^n;  % Número de valores en cada discretización para la fórmula del trapecio
   % Generación de puntos de evaluación
   s = linspace(0, 2*pi, numvalores_trapecio);         % Discretización para la fórmula del trapecio

   % Cálculo de la solución en el punto particular (r, theta) con la fórmula de Poisson
   u = (R^2 - r^2) / (2 * pi) * trapz(s, integrando(s, r, theta));
   
   error(n)=abs(u-sol);                % Error

end

% Gráficas plot(1:numdiscretizaciones_trapecio,log10(error)); % Gráfica de los errores en función de n xlabel('n'); ylabel('Log_{10}(Error)'); % Etiquetas de ejes legend('Log_{10}(Error)'); % Leyenda }}

4 . Apart 4

La desigualdad de Harnack establece que para una función armónica u donde [math] 0 \leq u [/math] en un dominio [math]\ D \subset \mathbb{R}^n[/math].Suponemos [math] B_{R}(z)\subset D[/math]. Entonces [math] \frac{R^{n-2} (R-r)}{(R+r)^{n-1}} u(x_0)\leq u(x) \leq \frac{R^{n-2} (R+r)}{(R-r)^{n-1}}u(x_0)[/math].

De acuerdo con el enunciado debemos hallar el mínimo de la función g(x,y)=xy en la frontera de la bola unidad [math] \partial B_1 [/math], si expresamos la función en coordenadas polares tenemos [math] g(\theta)=R^{2}cos(\theta)sen(\theta)[/math], de modo que:

[math] min(g(x,y)) = min(g(\theta))= min\{R^{2}cos(\theta)sen(\theta)\}= - \frac{1}{2} [/math]

siendo [math] U(r,\theta)=\frac{r^2}{2R^2}sin(2\theta) [/math] la solución al problema en [math] B_R [/math], y definiendo la función v como [math] v=u -M[/math] y sustituyendo el valor del mínimo obtenido tenemos

[math] v = u -M = u + \frac{1}{2} [/math] .

Sobre v aplicaremos la desigualdad de Harnack, teniendo en cuenta que el valor de la función [math] U(r, \theta) [/math] en (0,0) es 0 tendremos que [math] v(0,0)= \frac{1}{2} [/math] y sustituyendo obtenemos:

[math] \frac{R^{n-2} (R-r)}{2(R+r)^{n-1}} \leq v(x) \leq \frac{R^{n-2} (R+r)}{2(R-r)^{n-1}} [/math] con [math] r \in [0,1) [/math]

Por último representamos la región donde quedarán comprendidas estas funciones a partir de la expresión anterior.

5 . Ej 5

Se define la ecuación de Poisson mediante la siguiente expresión:

[math] \Delta u = f [/math] donde [math]u:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/math] y [math] f \in C^2(\mathbb{R})[/math].

5.1 Solución fundamental del Laplaciano para dimensión 2 y 3.

Se define la solución fundamental del laplaciano a [math] \Phi(x): \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/math] tal que:

[math] \Phi(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2\pi} log(|x|) & \text{si n=2} \\ \frac{1}{4\pi |x| } & \text{si n=3} \end{cases}[/math]

5.2 El potencial logarítmico.

En dimensión n=2 el potencial logarítmico, se define de la siguiente forma :

[math] u(\mathbf{x}) = -\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}^2} f(\mathbf{y}) ln(\frac{1}{|\mathbf{x} - \mathbf{y}|} d\mathbf{y} [/math]

5.3 .Código

right