Ecuación del calor (CGomJRod)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación del calor. Grupo 6-A
Asignatura	EDP
Curso	2023-24
Autores	Carlos Gómez Redondo Javier Rodríguez Carrasquilla
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Resumen del trabajo/Abstract

El primer objetivo de este trabajo es estudiar cómo afecta la variación de cada uno de los parámetros en la solución final en un problema de la ecuación del calor. Para ello, empezaremos resolviendo uno a modo de ejemplo. Posteriormente, modificaremos cada uno de los datos dejando fijo el resto y comparando las distintas soluciones obtenidas. Además, no sólo estudiaremos la solución matemática al problema sino que también trataremos de darle una interpretación física.

[math]\textbf{Añadir qué vamos a hacer en la segunda parte del trabajo :)} [/math]

3 Preliminares/Conocimientos Previos

Antes de pasar a la resolución de diferentes ejemplos de la ecuación es necesario conocer los siguientes conceptos.

Ley de Fourier. Ley que establece que el flujo de transferencia de calor por conducción tiene como dirección la de mayor diferencia de temperatura. Además, este flujo va de las zonas más calientes a las más frías. Matemáticamente se puede modelizar como [math] q=-k\nabla T[/math], donde [math]k[/math] es lo que se conoce como conductividad térmica.

Conductividad térmica. Es una propiedad física que mide la capacidad de la conducción térmica de los materiales. En el Sistema Internacional de Unidades se mide en [math]\frac{J}{m s K}[/math]. A mayor sea esta constante, que cambia en función del material, mejor conductor del calor es.

Calor específico. Es la cantidad de calor que hay que suministrar a una unidad de masa para aumentar la temperatura una unidad de temperatura. Como se puede intuir de la definición se utilizan diferentes escalas. A mayor es el calor específico del material, más energía es necesaria para aumentar la temperatura.

Coeficiente de difusión Se define el coeficiente de difusión con el cociente [math]D=\frac{K}{c}[/math]. Por la definición de conductividad térmica y calor específico podemos concluir que a mayor es el coeficiente de difusión menor es la energía para cambiar la temperatura. Como se verá más adelante esto influye directamente en la velocidad de los procesos de calentamiento o enfriamiento de un cuerpo.

Ecuación del Calor. La ecuación del calor es una ecuación diferencial en derivadas parciales que describe la distribución del calor, y por tanto las variaciones de la temperatura en una región a lo largo del transcurso del tiempo. Su expresión más general es:

[math]\partial_t u- D\Delta u=f [/math]

donde [math] u : \Omega \subset \mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R}, f : \Omega \subset \mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R} [/math] y [math]D[/math] es el coeficiente de difusión. Para ver su deducción (INSERTAR REFERENCIA LIBRITO)

Series de Fourier. Un desarrollo en serie de Fourier nos permite aproximar funciones mediante sumas de funciones periódicas, en nuestro caso usaremos senos y cosenos. Concretamente las utilizaremos para imponer que la solución que obtengamos de la ecuación verifique la condición inicial. Para más información ver (LINK NUESTRO TRABAJITO)

.

4 Ejemplo resolución ecuación del calor

Una vez ya sabemos todo lo necesario para trabajar con la ecuación de calor, resolveremos un problema a modo de ejemplo y como comentamos en [math]\textbf{LINK SECCIÓN ABSTRACT}[/math] veremos cómo cambia la solución según modificamos los datos iniciales.

Consideremos una varilla metálica de longitud 1 m. Supongamos que esta se encuentra aislada por su superficie lateral, por lo que la conducción de calor sólo se produce en la dirección longitudinal. Además, sabemos que la temperatura inicial de la varilla es 0 ºC y en los extremos izquierdo y derecho se consigue mantener la temperatura a 0ºC y 1ºC respectivamente. Por último, supongamos que la conductividad térmica y calor específico son iguales a 1. Con todos estos datos podemos plantear el primer problema a resolver

[math] \left\{ \begin{aligned} &\partial_t T - \partial_{xx} T = 0 \hspace{3cm} t\lt 0 \hspace{0.5cm} 0\lt x \lt 1 \\ &T(0, t) = 0 \\ &T(1, t) = 1 \\ &T(x, 0) = 0 \end{aligned} \right. [/math]

A continuación explicaremos los pasos clave de la resolución la ecuación mediante separación de variables. Si se quiere ver con más detalle [math]\textbf{LINK. Hablar también que hemos empleado series de Fourier y poner link.}[/math].

4.1 Homegenización del problema (No me gusta el nombre)

Para resolver esta ecuación lo primero que debemos hacer es homogeneizarla. Es decir, obtener un nuevo problema mediante un cambio de variable de tal forma que las condiciones frontera sean la función nula en ambos extremos. Para ello, necesitamos hallar lo que se conoce como solución estacionaria.

Para entender qué representa esta solución volvamos al problema anterior. Cuando dejamos pasar el tiempo y la temperatura en cada punto de la barra cambia según lo describe la ecuación del calor después de un tiempo suficiente, la distribución de temperatura en la barra se mantiene constante. En este punto, hemos alcanzado la solución estacionaria. Escribámoslo en términos matemáticos:

Definición. Sea [math]T(x,t)[/math] solución de la ecuación del calor, llamamos solución estacionaria a [math]T^*(x):=\lim_{t \to \infty} T(x,t) [/math]. Esta verifica que [math]\partial_t T^*(x)=0[/math]

Con estas ideas en mente podemos ya podemos plantear el siguiente problema cuya solución es la estacionaria:

[math] \left\{ \begin{aligned} & \partial_{xx} T^* = 0 \hspace{0.5cm} 0\lt x \lt 1 \\ &T^*(0) = 0 \\ &T^*(1) = 1 \end{aligned} \right. [/math]

Resolviéndola obtenemos que [math]T^*(x)=x[/math] cuya gráfica es: METER DIBUJOOOO

Como habíamos dicho antes, nuestro objetivo era encotrar la solución estacionaria para poder hacer un cambio de variable que homogeneizara la ecuación y así poder resolver por separación de variables LINK. Por tanto, haciendo el cambio de variable [math]u(x,t)= T(x,t)- T^*(x) [/math] obtenemos el problema

[math] \left\{ \begin{aligned} &\partial_t u - \partial_{xx} u = 0 \hspace{3cm} t\lt 0 \hspace{0.5cm} 0\lt x \lt 1 \\ &u(0, t) = 0 \\ &u(1, t) = 0 \\ &u(x, 0) = -x \end{aligned} \right. [/math]

Se observa que efectivamente se trata del problema homogéneo que podemos resolver por separación de variables. Una vez hecho esto y deshaciendo el cambio obtenemos la siguiente solución:

[math] T(x,t)=\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{2}{k\pi}e^{-k^2\pi^2t} sen(k\pi x) + x[/math]

A continuación se muestra la gráfica de la solución. En ella se aprecia claramente cómo se verifican las condiciones iniciales y de frontera. Además, se puede ver que pasado un tiempo se va aproximando a la solución estacionaria que habíamos calculado.

INSERTAR SOLCALOR1 PONER TÍTULO Y VARIABLES EN LOS EJES DECIR ARRIBA EL NÚMERO DE TÉRMINOS QUE HEMOS CALCULADO DE LA SERIE

Una vez hemos resuelto la ecuación podemos abandonar el mundo puramente matemático y adentrarnos en la física. Nuestro nuevo objetivo es darle una interpretación a lo que hemos obtenido en el desarrollo anterior. Como se puede ver en la gráfica de la solución del apartado anterior (PONER LINK?), la barra comienza teniendo una temperatura uniforme e igual a 0ºC. Una vez comienza el experimento, de forma instantánea, el extremo derecho se calienta alcanzando 1ºC que se mantendrá constante a lo largo del tiempo. Es decir, esta ecuación junto con sus condiciones iniciales y frontera modelizan una barra que comienzan teniendo una temperatura uniforme y a la que se pone en contacto con una superficie en el extremo derecho que la calienta de forma instantánea, algo imposible en la realidad, y mantiene su temperatura constante a partir de ese momento. Además, en el lado izquierdo con un mecanismo similar se consigue que su temperatura sea la misma. Luego, según avanza el experimento podemos ver cómo esta va aumentando en todos los puntos de la barra a excepción de los anteriores hasta que se llega a la solución descrita por la solución estacionaria. Esto concuerda con lo que sucede en el mundo físico, pues si [math] t\gt 0[/math] el extremo derecho de la barra está más caliente que su entorno, habrá una transferencia de energía hacia la zona que esté más fría en forma de calor, por lo que su temperatura aumenta. Por otro lado, es lógico pensar que la distribución de temperatura pasado un tiempo sea continua, pues en la realidad no se ven cuerpos en equilibrio térmico tenga grandes saltos de temperatura en puntos muy próximos. La acción del paso del tiempo tiende a homogeneizarlos en términos de temperatura. Esta idea concuerda con lo que se ve en la solución estacionaria; una función continua que verifica las condiciones frontera.

4.2 Interpretación del flujo en los extremos

Una vez hemos entendido analíticamente el comportamiento de la situación y que efectivamente concuerda con lo que se ve en el mundo físico, veamos que dicha intuición también podemos encontrarla de forma implícita en la solución de la ecuación. Según la ley de Fourier, dada una función temperatura de un cuerpo [math]T(x,t)[/math] este se puede calcular como

[math] \phi(x_0,t)=-\partial_x T(x_0,t)[/math]

Así, podemos hallar el flujo a lo largo de la barra:

[math]\phi(x,t)= 2\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}e^{-k^2\pi^2t} cos(k\pi x) +1 [/math]

Evaluando en los extremos obtenemos:

[math]\phi(0,t)=2\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}e^{-k^2\pi^2t} +1 \hspace{5 cm } \phi(1,t)=-2\sum_{k=1}^\infty e^{-k^2\pi^2t} +1[/math]

Para poder estudiar cómo se comporta el flujo es más fácil verlo a partir de las gráficas de las anteriores funciones que se muestran a continuación.

INSERTAR DERIZQ1

En ambas gráficas se puede ver que el flujo es siempre negativo, por lo que el calor va en el sentido negativo del eje [math]X[/math], es decir, el calor va del extremo derecho de la barra al izquierdo. Por tanto, esto coincide con el sentido físico que comentábamos en el apartado anterior. Otro hecho relevante es que la gráfica correspondiente al flujo en el extremo derecho para [math]t=0[/math] hay una asíntota vertical. Esto se debe a la discontinuidad en la función temperatura en esta frontera (recordemos [math]T(x,0)=0[/math] y [math]T(1,t)=1[/math] si [math]t\gt0[/math]) ya que para que la temperatura cambie de forma instantánea necesitaríamos una cantidad infinita de energía. Posteriormente, el flujo se va reduciendo con el tiempo. La interpretación física de esta moderación es que al principio encontramos una gran diferencia de temperatura por lo que todo el calor que entra en la barra se emplea en calentar las zonas más próximas al extremos derecho. Como la diferencia de temperaturas es menor, se necesita una menor cantidad de calor para igualarla por lo que el flujo entrante es menor también. En cuanto al extremo izquierdo podemos ver que en el instante inicial el flujo es nulo, ya que en un entorno de este punto la temperatura es constante. Según avanza el tiempo debido a esa entrada de calor por el extremo derecho la temperatura en dicho entorno no es constante, lo que provoca el flujo de calor de la zona más caliente a la más fría. Como dicha diferencia es cada vez mayor el flujo aumenta con el tiempo hasta que se estabiliza en [math]/phi(0,t)=-1[/math]. Es importante recalcar que este es precisamente el mismo valor al que tiende el flujo en el otro extremo de la barra. Esto se debe a que se llega a la solución estacionaria previamente calculada, en la que la temperatura no es constante a lo largo del intervalo. Por un lado, al ser la solución estacionaria no puede haber variación de temperatura por lo que el flujo debe ser igual en ambos extremos, si hubiera una diferencia neta entre ambos valores habría al menos un punto en la barra que es una fuente o sumidero de calor; se enfría o calienta respectivamente. Por otro lado, al ser una solución estacionaria en el que la temperatura no es constante a lo largo de la barra debe de existir un flujo no nulo en los extremos. Si este fuera nulo, tendríamos una barra aislada y su temperatura tendería a igualarse.

5 Efecto modificación coeficiente de difusión

Lo que hemos visto hasta ahora es la resolución matemática del problema Cauchy de un ejemplo en concreto y la comprensión física del fenómeno que modeliza, pero como ya adelantamos en la primera sección del documento, otro de nuestros objetivos era estudiar el efecto que tenían la variación de los distintos parámetros en la solución final del problema. En este caso veremos cómo cambia esta según lo hace el coeficiente de difusión.

Como vimos en (PONER LINK A PRELIMINARES) el coeficiente de difusión depende del calor específico de forma inversamente proporcional y la conductividad térmica de forma directamente proporcional. En el ejemplo anterior teníamos [math]K=1[/math] y [math]c=1[/math], por lo que [math]D=1[/math]. Supongamos ahora que la conductividad térmica se ve modificado a [math]K=\frac{1}{2}[/math] y por tanto [math]D=\frac{1}{2}[/math]. Sin embargo, en vez de trabajar directamente con este valor, hagámoslo de forma general y luego particularicemos. Así el problema general queda:

[math] \left\{ \begin{aligned} &\partial_t T -D \partial_{xx} T = 0 \hspace{3cm} t\lt 0 \hspace{0.5cm} 0\lt x \lt 1 \\ &T(0, t) = 0 \\ &T(1, t) = 1 \\ &T(x, 0) = 0 \end{aligned} \right. [/math]

Hagamos el cambio de variable [math]\tau=\alpha t [/math] con [math]\alpha \in \mathbb{R} [/math] para simplificar lo anterior. De esta manera buscamos que [math]T(t,x)=u(\tau,x)=u(\alpha t,x)[/math], y por tanto obtenemos que :

[math] 0= \partial_t T-D\partial_{xx}T=\alpha\partial_t u-D\partial_{xx}u[/math]

Finalmente, tomando [math]\alpha=D[/math] llegamos a [math]\partial_t u-\partial_{xx}u=0[/math], que resulta la misma ecuación que ya hemos resuelto en apartados anteriores. Además, es fácil comprobar que las condiciones iniciales y frontera no cambian respecto al problema original, pues sólo estamos cambiando la escala temporal. Así, llegamos al mismo problema que teníamos antes y cuya solución conocemos:

[math] \left\{ \begin{aligned} &\partial_\tau u - \partial_{xx} u = 0 \\ &u(0, \tau) = 0 \\ &u(1, \tau) = 1 \\ &u(x, 0) = 0 \end{aligned} \right. \implies u(x,\tau)=\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{2}{k\pi}e^{-k^2\pi^2\tau} sen(k\pi x) + x [/math]

Ahora sólo queda deshacer el cambio de variable para [math]\alpha=D[/math] obtenemos que:

[math] T(x,t)=\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{2}{k\pi}e^{-Dk^2\pi^2 t} sen(k\pi x) + x[/math]

Finalmente particularizamos para [math]D=\frac{1}{2}[/math]:

[math] T(x,t)=\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{2}{k\pi}e^\frac{-k^2\pi^2 t}{2} sen(k\pi x) + x[/math]

Para comparar con las solución anterior es mejor dibujarla, obteniendo lo que se obtiene a continuación: (INSERTAR SOLCALORCAMBIODIFUSIÓN)

En esta no se ve un cambio apreciable respecto de la anterior gráfica. Sin embargo, podemos ver la diferencia de temperatura de la barra en un punto fijado y la temperatura en ese mismo punto en la solución estacionaria en función del tiempo para cada uno de los valores de la difusión. De esta manera podemos comparar la velocidad de calentamiento de la barra en un punto; hagámoslo para [math]x=\frac{1}{2}[/math].

(INSERTAR CAMBIO DIFUSIÓN)

En la gráfica anterior se muestra la función mencionada en el párrafo anterior para [math]D=1[/math] a la izquierda y [math]D=\frac{1}{2}[/math] en la derecha. Ahora si podemos ver que para un coeficiente de difusión mayor la diferencia de las temperaturas se acerca más rápido a 0 que en la otra ,es decir, que tiende más rápido a la solución estacionaria. Por tanto, se puede afirmar que la diferencia entre ambas situaciones radica en el diferencia de velocidad del proceso. Esto cuadra con nuestra intuición física del problema, pues como se ha mencionado en (LINK PRELIMINARES) a mayor conductividad térmica más fácil es para el calor atravesar el material del que está hecho la barra y por tanto más rápido es el proceso descrito. Como dicho coeficiente ha disminuido a la mitad, el material con el que está hecha la segunda barra es peor conductor del calor y por tanto el proceso es más lento que en el primer caso, como se ha podido observar en la gráfica.

6 Efecto modificación de la condición inicial

Tras visualizar el efecto que tiene la modificación de las constantes involucradas en la EDP, veamos el efecto de un cambio en la condición inicial. Tomemos ahora el siguiente problema.

[math] \left\{ \begin{aligned} & \partial_{t} u-\partial_{xx} u = 0 \hspace{0.5cm} 0\lt x \lt 1 \\ &u(0,t) = 0 \\ &u(1,t) = 0 \\ &u(x,0) = \max\lbrace 0,1−4\lvert x−\frac{1}{2}\rvert\rbrace \end{aligned} \right. [/math]

La condición inicial por tanto ahora es esta función: ESTA Esta representa un estado inicial de la barra con un calor inicial concentrado en el centro de la barra. En este caso como las condiciones frontera están ya homogeneizadas, no hace falta suponer la exitencia de solución estacionaria, cálcularla y restarsela al problema original para obtener uno con condiciones frontera homogéneas. Buscamos entonces una solución de nuevo por el método de separación de variables y hallamos que la función

[math] u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}e^{-k^{2}\pi^{2}x} sen(k\pi x) [/math]

es solución del sistema. Aquí [math]c_{k}[/math] denotan los coeficientes de Fourier de la función [math]u(x,0) = \max\lbrace 0,1−4\lvert x−\frac{1}{2}\rvert\rbrace[/math] en la base [math]\lbrace sen(k\pi x)\rbrace_{n\in\mathbb{N}}[/math]. Para más información ver ESTO. Los calcularemos mediante la siguiente integral

[math] c_{k}=\frac{\int_{0}^{1}u(x,0)sen(k\pi x)dx}{\int_{0}^{1}sen^2(k\pi x)dx} [/math]

que aproximaremos numéricamente en MatLab. La gráfica de la solución quedaría de la siguiente manera: ASÍ QUEDARÍA

Podemos ver en esta gráfica como en unos primeros instantes el calor concentrado en el centro de la barra se distribuye a lo largo de esta, y a su vez este pico de calor inicial disminuye. No obstante debido a la ausencia de calor que estamos imponiendo en los extremos, este se va escapando a través de estos hasta que la barra llega a un estado estacionario de temperatura constante igual a cero. Veamos el flujo en los extremos para comprender mejor cómo se disipa el calor. AQUI FOTO Y CODIGO

Se puede ver cómo en la izquierda el flujo comienza a ser negativo, lo que implica que el calor se desplaza hacia la izquierda en dicho punto, y en la derecha comienza siendo positivo, lo que implica que en dicho punto se mueve hacia la derecha. Esto nos describe de nuevo el fenómeno enunciado de cómo el calor se va escapando por los extremos. A medida que se recorre el eje temporal en ambas gráficas se ve como cada vez se escapa menos calor hasta que el flujo es cero, ni entra ni sale calor. Este comportamiento hace referencia a cuando se alcanza el estado estacionario de temperatura igual a cero, en el que ni queda temperatura en el interior de la barra, ni entra o sale temperatura a través de los extremos.

7 Efecto modificación condiciones frontera

Tras la modificación se la condición inicial, veamos como influyen condiciones fronteras de distinto tipo, pongamos ahora una condición del tipo [math]\partial _x u=0[/math] en el extremo derecho. La interpretación física de esta condición sería aislar el extremo derecho para que no entre ni salga calor a través de este.

[math] \left\{ \begin{aligned} & \partial_{t} u-\partial_{xx} u = 0 \hspace{0.5cm} 0\lt x \lt 1 \\ &u(0,t) = 0 \\ &\partial _x u(1,t) = 0 \\ &u(x,0) = \max\lbrace 0,1−4\lvert x−\frac{1}{2}\rvert\rbrace \end{aligned} \right. [/math]

Resolviendo de nuevo por separación de variables obtenemos que la solución es la función

[math] u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}e^{-\frac{\pi^{2}}{4}(2n-1)^{2}t} sen(\frac{\pi}{2}(2n-1) x) [/math]

Los [math]c_{k}[/math] denotan de nuevo los coeficientes de Fourier de la función [math]u(x,0) = \max\lbrace 0,1−4\lvert x−\frac{1}{2}\rvert\rbrace[/math] en la base [math]\lbrace sen(\frac{\pi}{2}(2n-1) x)\rbrace_{n\in\mathbb{N}}[/math]. Grafiquemos la solución para ver su desarrollo en tiempo y espacio: GRAFICA

Llama la atención cómo la primera tendencia es igual que en el sistema anterior LINK AL APARTADO ANTERIOR, el pico de calor central va perdiendo temperatura mientras el resto de la barra lo gana. En el extremo izquierdo se observa una tendencia similar al problema previo mientras que en el extremo derecho se acumula calor que no puede salir por la condición aislante de este. A partir de aquí la barra acaba tendiendo de igual manera al estado estacionario de temperatura cero, con la diferencia de que el calor se va perdiendo solo por uno de los dos extremos. Veamos un gráfico del flujo en los extremos para observar mejor esta tendencia. GRAFICA

Se puede observar en primer lugar el flujo nulo del extremo derecho impuesto por la condición frontera, como no podía ser de otra manera. En el extremo del izquierdo por su parte vemos como se va escapando todo el calor, el flujo es negativo. Este respecto al ejemplo anterior tarda más en anularse ya que todo el calor de la barra sale por ese extremo y no por ambos. Finalmente se puede observar cómo este acaba haciéndose nulo, y dando por resultado el aislamiento de la barra a cero grados, el estado estacionario

8 Principio del máximo

Como se ha visto en los gráficos anteriores, la ecuación del calor tiene un efecto regularizante que hace que la función en cuanto se despega del instante inicial pasa a ser infinitamente derivable. Esto intuitivamente nos indica que los picos de temperatura se deberían encontrar en el instante inicial de la barra o a lo largo de los extremos de esta, la llamada frontera parabólica. Formalmente, esta intuición es un resultado conocido como el principio del máximo.

Teorema (Principio del máximo). Sea [math]u\in\mathcal{C}^{2,1}(\mathcal{Q}_T)\times\mathcal{C}(\overline{\mathcal{Q}_T})[/math] que cumple

[math]u_{t}(x,t)-\Delta u(x,t)\leq 0,\hspace{1cm}[/math](resp. [math]u_{t}-\Delta u\geq 0[/math]) [math]\forall (x,t)\in\mathcal{Q}_T[/math],

entonces

[math]\max_{(x,t)\in\overline{\mathcal{Q}_T}}u(x,t)=\max_{(x,t)\in\partial_{p}\mathcal{Q}_T}u(x,t)\hspace{1cm}[/math](resp. [math]\min_{(x,t)\in\overline{\mathcal{Q}_T}}u(x,t)=\min_{(x,t)\in\partial_{p}\mathcal{Q}_T}u(x,t))[/math]

donde [math]\partial_{p}\mathcal{Q}_T[/math] denota la frontera hiperbólica, conformada por la frontera de [math]{Q}_T[/math] excluyendo los puntos de la forma [math](x,T)[/math].

Rescatemos las soluciones de los apartados anteriores para comprobar que se verifica este teorema. En esta solución se puede observar que la imposición de forzar la temperatura del extremo derecho a que sea constantemente igual a [math]1[/math] hace que el máximo se encuentre en el extremo derecho de la barra