Ecuación del calor ( ALA )

Solución fundamental de la ecuación del calor

Anteriormente se han representado diferentes soluciones de la ecuación del calor en una dimensión. En este apartado, se profundizará en la existencia de una función matemática que describe como se propaga y disipa el calor en un medio a lo largo del tiempo, denominada solución fundamental de la ecuación del calor. En este primer caso, se realizará para dimensión 1, la cual toma la forma de una función Gaussiana. Sin embargo, posteriormente se ampliará esta a una segunda dimensión.

La expresión de esta es la siguiente: [math]\u(x,t)={ \frac{1}{\sqrt(4t\pi}[/math]

Para su correcta comprensión, se va a realizar a continuación una representación de la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión 1, particularizando el dominio espacial en el intervalo [-1,1] y el dominio temporal en el intervalo [0.01,1]. Para ello, se ha creado el siguiente código, explicado en las anotaciones de él.

clear
close all
format long
%Se define el rango de las variables x e y creando un vector de puntos
%equidistantes en el dominio que se propone
x=linspace(-1,1,100); %Rango espacial.
t=logspace(-2,0,100); % Rango temporal. Utilizamos esta función para crear un vector de puntos en escala logarítmica.

%Se calcula la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión
%1.

u =zeros(length(x),length(t)); % Se crea esta matriz de ceros para ir metiendo los datos que se generen al evaluar la función a continuación

for i=1:length(t)
    u(:,i)=1./sqrt(4*pi*t(i))*exp(-x.^2./(4*t(i))); %Mediante este bucle se va intriduciendo en cada elemento de la matriz el valor dado al evaluarla en la función phi.
end

%Se grafica la solución obtenida.
[X,T]=meshgrid(x,t);
surf(X,T,u);
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u(x,t)');
title('Soluciónn fundamental de la ecuaciónn del calor en dimensión 1');

end

La solución fundamental es fundamental en la teoría del calor y se utiliza en una amplia gama de aplicaciones, desde la modelización del clima hasta el diseño de sistemas de calefacción y refrigeración, entre otros. La comprensión de la solución fundamental permite predecir y comprender cómo se comporta el calor en diversos contextos físicos y de ingeniería.