Análisis del comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento. (GRUPO G7)
Contenido
1 INTRODUCCIÓN
El trabajo se centra en el análisis del comportamiento físico de un sólido plano, (dimensión 2), con forma rectangular. Para llevar a cabo dicho análisis definimos los campos: temperatura y desplazamiento, que afectan al comportamiento físico del sólido. Para facilitar la comprensión del comportamiento, se ha realizado una representación de los campos mencionados anteriormente ayudándonos del programa informático MATLAB.
2 SUPERFICIE DE TRABAJO
La superficie sobre la que se ha realizado el trabajo es un placa con forma rectangular que ocupa la región: [-0.5;0.5]x[0;2] tal y como se muestra en la figura1. La representación de la placa se ha realizado implementando el siguiente código en MATLAB.
clear all
h=0.1; % definimos el paso
u=-0.5:h:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
v=0:h:2; % definimos el intervalo [0,2]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices de u y v
figure(1)
xx=uu; % parametrización
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionar la región de dibujo
view(2) % vemos el dibujo en planta
mallado de la placa rectangular
3 CAMPO DE TEMPERATURAS
El campo de temperaturas, es un campo escalar que depende de dos variables espaciales (x,y) y el tiempo (t). En nuestro caso definimos el campo de temperaturas como [math]T(x,y)=e^{-y}[/math] con t=0 por lo tanto depende únicamente de la posición de cada punto, es decir, sus coordenadas x e y.
3.1 DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA
Tal y como está definido el campo de temperatura [math]T(x,y)=e^{-y}[/math] depende única y exclusivamente del valor de la variable "Y" o lo que es lo mismo el de la temperatura es independiente al valor de la variable "x", con este dato deducimos que fijando un valor para la variable "y" en la placa, la temperatura se mantendrá constante para cualquier valor de la "x". Además al tratarse de una función exponencial la separación entre las curvas de nivel variará de una manera geométrica. Para dar veracidad a todas las hipótesis expuestas anteriormente se ha representado el campo de temperaturas mediante el siguiente código MATLAB, obteniéndose como resultado la figura que se muestra a continuación; donde se puede visualizar con claridad todo lo expuesto anteriormente.
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el límite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos una región de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
Distribución de la temperatura
3.2 VARIACIÓN DE LA TEMPERATURA
El análisis de la variación de la temperatura a lo largo de la placa se realiza analizando el gradiente [math]\nabla T[/math], en nuestro caso sera: [math]\nabla T=-e^{-y}[/math] Procedemos ahora a representar este campo vectorial junto con las curvas de nivel en la superficie implementando el siguiene código MATLAB.
x=-1/2:.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:.1:2; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); % definimos las matrices X e Y
f=inline('exp(-y)','x','y');
U=zeros(21,11);
V=-exp(-Y); % gradiente
hold on
subplot(1,2,1) % en la primera ventana
quiver(X,Y,U,V);
axis image
xlabel('Gradiente')
subplot(1,2,2) % en la segunda ventana
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,10,'k') %dibujo las curvas de nivel
axis image
xlabel('Campo')
hold off
Representación de las curvas de nivel y gradiente
En la representación se observa que el módulo del gradiente va aumentando según nos desplazamos en sentido negativo a lo largo del eje de ordenadas, esta observación esta basada en qué el gradiente indica la dirección de crecimiento de la función en cada punto. Por otra parte observamos que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente, la razón de este hecho se basa en la definición de curvas de nivel y gradiente. Por una parte las curvas de nivel es el lugar geométrico de puntos equipotenciales y el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto. Con esto deducimos que si el gradiente tuviera un componente paralelo a las curvas de nivel, la definiciones anteriores sería una contradicción.
4 CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
Sobre la superficie de trabajo se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración que produce sobre ella un desplazamiento en un instante [math]t_0[/math] que queda definido por el vector:[math]\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j[/math] Si aplicamos este vector a cada punto tendremos el desplazamiento total respecto a la posición de la placa en reposo. La representación de este campo se ha hecho mediante el siguiente código MATLAB:
clear all
x=-1/2:.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:.1:2; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); % definimos las matrices X e Y
f=inline('sin(pi*y)/10','x','y'); % introducimos mediante inline el campo
U=zeros(21,11); % matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
V=sin(Y)/10; % definimos V
quiver(X,Y,U,V) % dibujamos el campo
axis image
Campo de desplazamiento.
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente [math]\vec j [/math]. Hay dos zonas bien diferenciadas: la mitad inferior donde la placa toma valores positivos, con lo cual hay un sentido ascendente y la mitad superior que toma valores positivos, lo que indica un sentido descendente. Tres puntos característicos: extremos superior e inferior y parte central de la placa donde el campo es nulo debido a la función seno.
4.1 CONSECUENCIAS DE LA VIBRACIÓN
El resultado de la vibración sobre la placa da lugar a un desplazamiento. La representación de dicho desplazamiento se ha representado en MATLAB mediante el siguiente código:
u=-0.5:0.1:0.5; % defino el intervalo [-1/2,1/2]
v=0:0.1:2; % defino el intervalo [0,2]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creo la matriz de uu vv
figure(1)
xx=uu; % parametrización
yy=vv;
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-2,2,-1,3])
axis equal
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
x1=u; % parametrización + desplazamiento
y1=v+sin(pi*v)/10;
[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1); % creo la matriz de xx1, yy1
mesh(xx1,yy1,0*xx) % gráfico
axis([-2,2,-1,3])
axis equal
view(2)
desplazamiento respecto de la posición original
Como se observa en la imagen se observa un desplazamiento en la zona central en la dirección j.
4.2 VARIACIÓN DEL VOLUMEN SOBRE LA PLACA
Utilizamos el operador divergencia para analizar la medida del cambio de volumen debido al desplazamiento. [math]\nabla \cdot \vec u=\frac{\pi cos(\pi y)}{10}\vec j[/math] La representación de dicha divergencia queda representada en MATLAB por el código:
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:2; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=pi*cos(pi*Y)/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2DDándonos lugar a este gráfico:
medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento
Podemos observar en el gráfico y comprobar después analíticamente que la zona con mayor divergencia será la zona de y=1.
4.3 ROTACIONAL
Calculamos el rotacional para todos los puntos de la placa. El rotacional de un campo vectorial es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. El rotacional se define como: [math]|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz \\u_x & u_y & u_z\end{array} \right)[/math], que particularizada para nuestro campo queda [math]|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)=0[/math]. Al ser el rotacional 0, podemos afirmar que los vectores del campo no van a sufrir un cambio de dirección, es decir, no va a haber rotación.
5 TENSIONES Y DEFORMACIONES
El tensor de deformación (ε) es el define las tensiones la placa en ambas dimesiones x e y. Viene dado por la parte simétrica del gradiente del campo de desplazamientos (u) [math]\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2[/math]. Se define el tensor de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo como: [math]\sigma_{ij}[/math] a través de la fórmula: [math] \sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}, [/math] siendo [math]\nabla \cdot \vec u[/math] la divergencia del campo y λ=μ=1. En nuestro caso: [math] \nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right), [/math] por lo que el tensor de tensiones nos queda como: [math] \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) [/math] Después calculamos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante MATLAB.
Tensiones normales en la dirección del eje x: [math] \vec t_x=t_x \vec i [/math]
[math] t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=0 [/math]
Tensiones normales en la dirección del eje y:
[math] \vec t_y=t_y \vec j [/math]
[math] t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy) [/math]
la dibujamos en MATLAB implementado el programa:
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales eje y %
ty=3*pi/10*cos(pi*Y);
tx=0*ty2;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje y')
axis([-1,1,-0.5,2.5])
axis equal
view(2)observamos la gráfica:
tensiones normales eje y
Concluimos apoyándonos en la matriz de tensiones calculada y evaluando ésta en la placa en las direcciones estudiadas [math]\vec i [/math] y [math]\vec j [/math] que las tensiones normales en ambas direcciones toman el mismo valor en cada punto, esto es, que se equilibran.
Por último calculamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\vec i [/math]
[math] |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - 0 | = 0 [/math]
y las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\vec j [/math]
[math] |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 [/math]
Conclusión: nuestra placa no tiene tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales a [math]\vec i [/math] ni a [math]\vec j [/math], este hecho se debe a que las tensiones normales se equilibran en las direcciones estudiadas [math]\vec i [/math] y [math]\vec j [/math], impidiendo que se generen esfuerzos cortantes.
