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Series de Fourier (Grupo Eau De Parfum (EDP))
| Trabajo realizado por estudiantes | |
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| Título | Series de Fourier. Grupo Eau De Parfum (EDP) |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2023-24 |
| Autores | *Lestau Torres, Pablo
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| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
El desarrollo en serie de Fourier se realiza a funciones de cuadrado integrable, es decir, a las funciones que pertenecen al conjunto [math]L^2(\Omega;\mathbb{C})\ltmath\gt, siendo este:
:\ltmath\gtL^2(\Omega;\mathbb{C}) = \{ f : \Omega \to \mathbb{C} : \int_{Omega} |f(x)|^2 dx \lt \infty \}[/math]
Este conjunto tiene definido un producto escalar que lo dota de estructura de espacio de Hilbert [math](L^2(\Omega,\mathbb{C});\langle , \rangle_{L^2((\Omega,\mathbb{C})})\ltmath\gt. Además cumple ser separable, por tanto, existe una base hilbertiana, es decir, ortonormal. En el contexto de un intervalo de la forma [-T/2,T/2] con T\gt0, una base trigonométrica típica es la siguiente:
:\ltmath\gt\{ \frac{1}{2}, \cos(2n\pi/T x), \sin(2n\pi/T x) \}_{n \in \mathbb{N}}[/math].
Enfocándonos en un intervalo específico, como [-1,1] obtenemos la base [math]\{ \frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x) \}_{n \in \mathbb{N}}\ltmath\gt. De modo que los primeros 10 términos de esta base son: :\ltmath\gt \left\{ \frac{1}{2}, \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right), \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right), \cos(\pi x), \sin(\pi x), \ldots \right\} [/math] Esta base nos servirá para aproximarnos a funciones continuas en el intervalo [math][0, 1]\ltmath\gt, como la función \ltmath\gtf(x)=x(1-x)\ltmath\gt. Para lograr esta aproximación, primero extendemos la función de manera impar al intervalo \ltmath\gt[-1, 1]\ltmath\gt, manteniendo su continuidad. Esto nos permite utilizar las funciones impares de la base trigonométrica en el intervalo extendido, es decir \ltmath\gt\{ \sin(k\pi x) \}_{k \in \mathbb{N}}\ltmath\gt. Luego, representamos tanto la función original \ltmath\gtf(x)\ltmath\gt como la aproximación \ltmath\gtf_n(x)\ltmath\gt, que es la suma de los primeros \ltmath\gtn\ltmath\gt términos de la serie de Fourier, con \ltmath\gtn=1, 5, 10\ltmath\gt. Es importante destacar que, para obtener los coeficientes de Fourier, aproximamos las integrales numéricamente utilizando la fórmula del trapecio con una división suficientemente fina (\ltmath\gt10^{-3}\ltmath\gt). A partir de estos coeficientes, calculamos el error en las normas \ltmath\gtL^2\ltmath\gt y uniforme en función del número de términos de la serie \ltmath\gtn\ltmath\gt. Graficamos este error en ambas normas en función de \ltmath\gtn\ltmath\gt y realizamos una estimación de la función resultante.[/math]
