Grupo 37 Cicloide

Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)[/math]

1 Representación gráfica de la curva

Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab:

Figura 1. Representación del cicloide

% Definición de parámetros de la curva
   n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
   % Definición de la curva
   x=(t-sin(t));
   y=(1-cos(t));
   plot(x,y,"Color","r");
   % Leyenda de la gráfica
   legend("Curva Cicloide");
   % Etiquetas
   title('Representación Gráfica Curva.')
   grid on 
   xlabel("Eje X","FontSize",15);
   ylabel("Eje Y","FontSize",15);
   axis("equal")

2 Vector velocidad y aceleración

2.1 Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración

2.1.1 Vector posición

El vector posición es el vector que describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.

• [math]γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sin(t),1-cos(t))[/math]

2.1.2 Vector velocidad

El vector velocidad indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.

• [math] γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cos(t))\vec i +sen(t)\vec j [/math]

2.1.3 Vector aceleración

El vector aceleración indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.

• [math] γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = sen(t)\vec i + cos(t)\vec j[/math]

2.2 Representación gráfica de los vectores

Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos las representaciones:

Figura 2. Representación de los vectores velocidad y aceleración

n =30;
 t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
 x = (t-sin(t)) ;
 y = (1-cos(t));
 % Derivada Primera
 V1 =1-cos(t);
 V2 =sin(t);
 % Derivada Segunda
 A1 = sin(t);
 A2 =cos(t);
 figure
 hold on
 % Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
 plot (x ,y ,'r');
 % Campo Velocidad
 quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
 % Campo Aceleración
 quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
 axis equal
 legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
 hold off ;
 title ('Curva , velocidad y aceleración.');

3 Longitud de la curva

3.1 Definición de la longitud

La longitud de la curvatura se obtiene calculando la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo:
[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8[/math]

3.2 Cálculo de la longitud mediante el "Método del rectángulo"

Calculamos el valor numérico de la integral mediante un método de aproximación, el "Método del rectángulo".

n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
   i=0;
   area=0;
   x=(t-sin(t));
   y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end

Matlab nos devuelve: La longitud de la cicloide es 8u.

4 Vectores tangente y normal

4.1 Definición de los vectores tangente y normal

4.1.1 Vector tangente

El vector tangente es un vector paralelo a la dirección de la curva en ese punto.

• [math] \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}[/math]

4.1.2 Vector normal

El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente y apunta hacia el lado cóncavo de la curva.

• [math]\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}[/math]

4.2 Representación de los vectores tangente y normal

Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.

Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal

n =30;
 t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
 x = (t-sin(t)) ;
 y = (1-cos(t));
 % Derivada Primera
 V1 =1-cos(t);
 V2 =sin(t);
 % Derivada Segunda
 A1 =sin(t);
 A2 =cos(t);
 % Vector tangente
 norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
 T1 =V1./norma ;
 T2 =V2./norma ;
 figure
 hold on ;
 % Curva
 plot (x ,y ,'r') ; 
 % Campo Tangente
 quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ; 
 %Campo Normal
 quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
 axis equal
 grid on
 hold off ;
 legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
 title ('Curva , tangente y normal.') ;

5 Curvatura

5.1 Definición de la curvatura

La curvatura de [math]\gamma(t)[/math] queda definida por la siguiente función:

[math]\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}[/math]

Desarrollando:

[math]\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(1-cos(t)).cos(t)-sen(t).sen(t)}{((1-cos(t))^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-cos(t)^{2}-sen(t)^{2}}{(1-2cos(t)+cos(t)^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-1}{(2-2cos(t))^{\frac{3}{2}}}[/math]

5.2 Representación de la curvatura

Representamos la curvatura mediante el siguiente código de Matlab:

Figura 4. Representación de la curvatura del cicloide

n =100;
 t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
 x = (t-sin(t)) ;
 y = (1-cos(t));
 % Derivada Primera
 V1 =1-cos(t);
 V2 =sin(t);
 % Derivada Segunda
 A1 =sin(t);
 A2 =cos(t);
 k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2))  ;
 figure
 plot (t ,k ,'b') ;
 axis equal
 title ('Curvatura kappa (t). ') ;

6 Circunferencia osculatriz

6.1 Definición

La circunferencia osculatriz en un punto de la cicloide es una circunferencia tangente a la cicloide. Al ser tangente, por definición tendrá su centro en la recta normal de la cicloide que pasa por dicho punto. Además el radio de esta circunferencia será inversamente proporcional a la curvatura de la cicloide en ese punto.

• Centro: [math]Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t)[/math]
• Radio: [math] R(t) = \frac {1} {|κ(t)|}[/math]

Figura . Representación animada de una circunferencia osculatriz

6.2 Representación de la circunferencia osculatriz

Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos la representación gráfica de la circunferencia osculatriz:

Figura 5. Representación de la circunferencia osculatriz.

% Definición de la curva
 x=(t-sin(t));   
 y=(1-cos(t));
    % Derivada Primera
 V1 =1-cos(t);
 V2 =sin(t);
    % Derivada Segunda
 A1 = sin(t);
 A2 =cos(t);
    % Vector normal
 norma = sqrt (V1.^2+V2.^2);
 T1 =-V2./norma ;
 T2 =V1./norma ;
    % curvatura
 k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2));
    % centro de la circunferencia osculatriz
 Q1=x+T1./k ;
 Q2=y+T2./k ;
    % el centro para el valor 0.3
 q1=Q1(1,48) ;
 q2=Q2(1,48) ;
    % radio de la circunferencia osculatriz
 R=1./abs(k) ;
    % el radio para el valor 0.3
 r=R(1,48) ;
    %representación
 figure
 hold on
 plot(x,y,"Color","r");
 plot(q1+r*cos(t),q2+r*sin(t));
 axis equal
 hold off
 title ('Circunferncia oscilatriz');

7 Información acerca del cicloide

La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.

Figura . Representación animada de la curva cicloide

Históricamente, el estudio de la cicloide y sus propiedades ha dado lugar a intensas disputas entre matemáticos, por lo que es conocida como "La Helena de los Geómetras".

En 1599, Galileo demostró por medio de sus cálculos matemáticos que su área es casi tres veces la del círculo que la genera.

Entre sus propiedades físicas se encuentra la resolución del problema de la tautócrona, descubierto por Christian Huygens. Esta es una curva en la que un objeto, bajo la influencia exclusiva de la gravedad, tarda el mismo tiempo en llegar desde cualquier punto inicial hasta la base, independientemente de su posición inicial.

Figura. Curva tautócrona.

Otra de sus propiedades es que se trata de una curva braquiostocrona, es decir, que es la curva de descenso más rápido de un cuerpo sometido a un campo gravitatorio uniforme. Este descubrimiento lo realizó Johann Bernoulli en el año 1696.

Figura. Curva braquiostocrona

La cicloide se emplea en el estudio del movimiento de los cuerpos, así como en el diseño de sistemas mecánicos. Aunque sus aplicaciones en el campo de la ingeniería son escasos. Entre ellos podemos destacar su uso en dientes de engranajes, y en péndulos isócronos.

8 El cicloide en la ingeniería civil

Su aplicación en ingeniería civil se encuentra en la resolución de problemas físicos y matemáticos, estrechamente relacionados con el diseño de curvas para elementos arquitectónicos o estructurales.

La aplicación de una cicloide en un puente tiene que ver con su arco estructural, ya que según estudios de Galileo las propiedades mecánicas de esta curva eran apropiadas para su construcción.

Podemos apreciar la forma de esta curva por ejemplo en el Punete de Segovia, en Madrid.

Otras aplicaciones se encuentran también en el diseño de vías ferroviarias para evitar el descarrilamiento de trenes.

También se emplea la cicloide en la construcción de medios tubos y toboganes aprobechándose de sus propiedades físicas como curva tautócrona y braquistócrona.

En el Kimbell Art Museum se encuentra esta estructura civil con arco cicloide.

Imagen. Kimbell Art Museum

9 La cicloide en [math]\mathbb{R}^3[/math]

9.1 Definición

La Cicloide en un espacio [math]\mathbb{R}^3[/math] se puede ver mediante la siguiente parametrización en cartesianas:

[math]γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)[/math]

9.2 Representación gráfica

La representamos mediante el siguiente código de Matlab:

Figura 6. Representación de la superficie reglada

n=30;
u = linspace (0,1,n) ;
v = linspace (0,2*pi,n);
[U,V] = meshgrid(u,v) ;
x = U;
y = V-sin(V);
z = 1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada.') ;

10 Masa de la superficie

La densidad varía según la función [math]f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)[/math]
El [math]cos(x_2)[/math] oscila entre -1 y 1 a medida que [math]x_2[/math] cambia, por lo que la densidad en toda la superficie irá variando entre -1 y 1, siendo máxima cuando [math]x_2=0[/math] y mínima cuando [math]x_2= \pi [/math] o [math]x_2=-\pi[/math].

10.1 Cálculo mediante Matlab

%Definición de parámetros de la curva 
n=100; t=linspace(0,2*pi,n);
 x = t-sin(t);
 y = 1+cos(t);
%se crean las variables que hacen falta
i=0;
masa=0;
%al dividir la superficie en 100 trozos, una aproximaxion de la masa se
%podra aproximar mediante el siguiente sumatorio con la fórmula
%masa=densidad*superficie
while i<99
i=i+1;
masa=sqrt((y(i)-y(i+1))^2+(2*pi/100)^2)*((x(i)));
end

11 Bibliografía

https://geogebra.es/cvg/manual/latex/index.html