Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Flujo de Poiseuille (Grupo 23)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2023-24
Autores	Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

2 Mallado de la sección transversal de la tubería

El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería [math] x_{1} = 0 [/math], fijando los ejes en la región [math] \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. [/math]

centro

x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)                                                    
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,3,0,10])
view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off

3 Ecuación Navier-Stokes

La velocidad esta definida por el campo vectorial [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}[/math] y su presión por el camp escalar [math]p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) [/math] siendo [math] p_{1} [/math] es la presión en [math] z=1 [/math], [math] p_{2} [/math] la presión en [math] z=3 [/math] y [math] \mu [/math] su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: [math] \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, [/math]

Si [math] \left ( \vec{u},\rho \right ) [/math] satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

[math] \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} [/math].

Mutiplicando por [math] \rho [/math] e integramos dos veces obtenemos que

[math] f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k[/math].

Para encontrar la solución exacta suponemos que para [math] \rho=2 [/math] y para [math] \rho=2 [/math], [math] f\left ( \rho \right )=0 [/math],obteniendo:

[math]f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ][/math]

Ademas, al ser la funcion de velocidad [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}[/math] y [math] f\left ( \rho \right ) [/math] no depender de [math] z [/math] su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

4 Representación del campo de presiones y velocidades

Suponiendo que [math] p_{1}=4, p_{2}=1 [/math] y [math]\mu=1 [/math], primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el campo de presiones introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión [math]p\left ( x,y \right ) [/math]: [math]p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} [/math]

- Calculamos ahora el campo de velocidades utilizando la ecuación de la velocidad dada: [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} [/math], siendo [math] f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}[/math],(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos: [math]f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}[/math]

Una vez calculados procedemos a representarlos:

Campo de presiones: como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.

centro

z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');

Campo de velocidades: el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.

centro

x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')

5 Líneas de Corriente del Campo

Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo [math]\vec{v}[/math] que es ortogonal a [math]\vec{u}[/math] en cada punto. [math]\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}[/math].

Sustituyendo [math]f\left(\rho\right)[/math] en la ecuación se obtiene:

[math]\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}[/math].

Como [math]\vec{v} [/math] tiene un potencial escalar [math]\psi[/math], calculamos [math]\psi[/math] sabiendo que [math]\bigtriangledown\psi=\vec{v}[/math], la cual se conoce como función de corriente de [math]\vec{u}[/math].

[math]\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ [/math].

[math]\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho[/math].

Sustituyendo los valores de [math]p_{1}[/math], [math]p_{2}[/math] y [math]mu[/math] obtenemos:

[math]\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho[/math]

Una vez calculado [math]\psi[/math] dibujamos las líneas de corriente del campo [math]\psi=cte[/math]:

centro

rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-1/4*(R.^3)+5*R;
contour(R,Z,F,10);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')

6 Velocidad Máxima del Fluido

centro

rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])

7 Rotacional del Campo

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

[math]\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )= \frac{1}{\rho }\begin{vmatrix} \overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\ \frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\ 0 & 0 &f\left ( \rho \right ) \end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}[/math]

Si sutimos los valores anteriores llegamos a que </math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=\frac{-3\rho}2</math> Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en los extremos, al depender solo de </math>\rho</math>.

x=0:0.1:2;
 y=0:0.1:10;
 [xx,yy]=meshgrid(x,y);
 rot=abs((-3/2).*xx);
 hold on
 surf(xx,yy,rot);
 colorbar;
 axis([0,2.5,0,10]);
 title('Rotacional de  u');
 hold off

8 Temperatura del fluido

La temperatura de nuestro fluido viene dada por el campo escalar <mathT(\rho,\theta, z) = log (1 + p) e^-(z-2)2

8.1 Gradiente de Temperatura

Jorge y Galarza

8.2 Caudal de la Sección Transversal

Jorge y Galarza