La Clotoide (Grupo 39)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La Clotoide. Grupo 39
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2023-24
Autores	Luis Relaño Rodríguez Daniel Pinyana Rodríguez Carlos Puebla Diaz Pau Vives Segui
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

En este trabajo

[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) [/math]

1 La Clotoide

1.1 Representación de la curva

Representacion de la curva

%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.
clc,clear,clf
%Comezamos discretizando los valores	
n=300;
t=linspace(0,4,n);
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.
for i=1:n
   j=t(i);
   X(i)=integral(f1,0,j);
   Y(i)=integral(f2,0,j);
end
plot(X,Y)
axis([0,2,0,2])

1.2 Vectores velocidad y aceleración

Representacion de la curva

%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:
clc,clear,clf
%Discretizamos los valores de t en n:
n=50;
t=linspace(0,4,n);
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);
for i=1:n
   j=t(i);
   X(i)=integral(f1,0,j);
   Y(i)=integral(f2,0,j);
end
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):
Vx=cos(t.^2/2);
Vy=sin(t.^2/2);
Ax=-sin(t.^2/2).*t;
Ay=cos(t.^2/2).*t;
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:
hold on
plot(X,Y,'b')
quiver(X,Y,Vx,Vy)
quiver(X,Y,Ax,Ay)
axis([0,2,0,2])
hold off
title('Curva, velocidad y aceleración')
xlabel('x')
ylabel('y')

1.3 Longitud de curva

El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:

[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 [/math]

\left |{\gamma }'(t) \right |=

1.4 Vector tangente y normal

El vector tangente de la curva se define como t(t)=૪'(t)/|૪'(t)| si observamos y relacionamos, la velocidad v(t) equivale a d/dt(૪(t)) que es justamente ૪'(t) y por tanto los vectores tg a cada punto de ૪(t) son iguales en dirección y sentido que la velocidad pero no en módulo ya que son unitarios y los de la velocidad no.

Por otro lado los vectores normales son los vectores que forman un ángulo de 𝞹/2 con los vectores tangentes → n(t)= (-y'(t)i+x'(t)j)/√x'(t)2+y'(t)2.

Representacion grafica

%Pregunta_4 -- Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.
clc,clear,clf
%Comezamos discretizando los valores
n=50;
t=linspace(0,4,n);
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.
for i=1:n
   j=t(i);
X(i)=integral(f1,0,j);
Y(i)=integral(f2,0,j);
end
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la
%curva
%como el módulo  ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty)
tx=cos(t.^2/2);
ty=sin(t.^2/2);
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)
nx=-sin(t.^2/2);
ny=cos(t.^2/2);
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:
hold on
plot(X,Y,'b')
quiver(X,Y,tx,ty)
quiver(X,Y,nx,ny)
axis([0,2,0,2])
hold off
title('Curva, tangente y normal.')
xlabel('x')
ylabel('y')

1.5 Curvatura de κ(t)

La curvatura de la clotoide viene dada por la siguiente fórmula:

Representacion grafica

siendo κ(t) la curvatura de ૪(t)

%Pregunta 5 --> Calcular la curvatura κ(t), y dibujar la gráfica de κ(t)
clc,clear,clf
%Hacemos el cálculo de la curvatura de κ(t) y después la vamos a dibujar
%discretizamos t 
t=linspace(0,4);
%Definimos la funcion k(t) la cual representa la curvatura de la clotoide.
k=@(t) t ;
x=t;  %Coordenadas abscisas
y=k(t);  %Coordenadas ordenadas
plot(x,y,'b')
title('Curvatura De La Clotoide')
xlabel('x')
ylabel('y')