La Cicloide

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La Cicloide. Grupo 11
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2023-24
Autores	Álvaro Blanco Duque Pablo Rivero Bejerano Mateo Peña Biosca Daniel Pérez Brioso
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Se considera una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)[/math]

1 Representación de la curva

A partir de su parametrización y con la ayuda de matlab obtenemos la imagen de la curva.

% Definición de parámetros
  a=0;  b=2*pi(); h=0.1;
  t=a:h:b; R=1;
  % Definición de la curva
  x=R*(t-sin(t));
  y=R*(1-cos(t));
  plot(x,y,"Color","b");
  % Leyenda de la gráfica
  legend("Cicloide");
 % Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
 ax = gca;
 ax.XAxisLocation = 'origin';
 ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
 title('Curva Cicloide.')
 grid on 
 xlabel("x","FontSize",10);
 ylabel("y","FontSize",10);
 axis("equal")

2 Vector velocidad y aceleración

El vector velocidad se obtiene con la primera derivada de cada componente y el vector velocidad con la derivada segunda de cada componente.

[math]γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost)[/math]

[math] γ´(t) = γ′(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cost)\vec i +(sent)\vec j [/math]

[math] γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = (sent)\vec i + (cost)\vec j[/math]

2.1 Representación de los vectores

% Parámetros 
  t= 0:pi()/10:2*pi;
  x= t-sin(t);
  y= 1-cos(t);
  % Velocidad y aceleración 
  Vel1 = 1-cos(t);
  Vel2 = sin(t);
  Ace1 = sin(t);
  Ace2 = cos(t);
 % Gráfica 
 figure
 hold on
 plot (x ,y ,'r') ; 
 quiver(x,y,Vel1,Vel2,1,"Color","c") ; 
 quiver(x,y,Ace1,Ace2,1,"color","m") ; 
 axis equal
 hold off;
 % Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
 ax = gca;
 ax.XAxisLocation = 'origin';
 ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
 xlabel("x","FontSize",10);
 ylabel("y","FontSize",10);

3 Longitud de la curva

[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt [/math]

4 Vector tangente y normal

Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:

Vector tangente: [math] \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}[/math]

Vector normal: [math]\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}} [/math]

4.1 Representación de los vectores

A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal

% Definición de los vectores normales y tangentes 
  t= 0:pi()/10:2*pi; %Parámetro
  x= t-sin(t);
  y= 1-cos(t);
  % Velocidades/tangentes/normales 
  Vel1= 1-cos(t);
  Vel2= sin(t);
 mod= sqrt(Vel1.^2+Vel2.^2);
 t1= Vel1./mod
 t2= Vel2./mod
 n1= t2;
 n2= -t1;
 %Representación
 figure
 axis equal
 hold on
 plot (x ,y ,'b') ;
 quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ; 
 quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ; 
  grid on
 hold off;
 title('Curva, tangente y normal' )
  % Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
 ax = gca;
 ax.XAxisLocation = 'origin';
 ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
 xlabel("x","FontSize",10);
 ylabel("y","FontSize",10);
 axis("equal")

5 Curvatura de la curva

La curvatura se obtiene a través de la siguiente fórmula:

[math]κ(t)=\frac {x´(t)y´´(t) - x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2 + y´(t)^2)^\frac{3}{2}}[/math]

6 Centro y radio de la circunferencia osculatriz

Siendo [math]P = γ(0.3)[/math] , es decir, [math] t = 0.3[/math] hallamos el centro y radio a partir de las siguientes fórmulas:

Centro: [math]Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t)[/math]

Radio: [math] R(t) = \frac {1} {|κ(t)|}[/math]

7 La Cicloide

Es una curva plana descrita como la trayectoria de un punto fijado de una circunferencia que rueda sobre una recta horizontal sin deslizamiento. Teniendo en cuenta que el punto de contacto de la circunferencia es una recta horizontal en un instante inicial, al comenzar el rodamiento observamos que el punto describe un arco hasta que se vuelve a posar sobre la recta. El arco estará encerrado en un área plana sobre la recta horizontal en el intervalo [math] [0, 2πr] [/math], siendo [math]r[/math] el radio de la circunferencia descrita.

8 Aplicación en la ingeniería de la Cicloide

La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:

Primera imagen: Puente de la Alcolea(Huelva)
Segunda imagen: Puente de la risa (Murcia)
Tercera imagen: Forma de un "Half pipe"

9 Representación de la superficie reglada

La Cicloide en un espacio R3 la podemos observar mediante la siguiente parametrización:

[math]γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)[/math]

10 Distribución de la densidad a lo largo de la superficie

Se supone la densidad de la superficie:

[math] f(x,y,z)=cos(y) [/math]

11 Referencias

Definición de la Cicloide https://idus.us.es/bitstream/handle/11441/63117/Corcho%20Guti%C3%A9rrez%20Fernando%20Manuel%20TFG.pdf?sequence=1
Sintaxis LaTeX https://geogebra.es/cvg/manual/latex/index.html