Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

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Trabajo realizado por estudiantes
Título Parametrización de una curva plana. La cicloide
Asignatura Teoría de Campos
Curso 2023-24
Autores Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo
Nerea García Puig
Ana Rua Marin
Natalia Esteban Tezanos
Jose Ramos Marín
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura


1 Introducción

[Intro]

1.1 Definición

Se define la clicoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

[math] γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)[/math].

Donde

[math]γ:t\to\mathbb{R}^2[/math]
[math]I[/math] es el intervalo de [math]a[/math] hasta [math]b[/math]
[math]a,b∈\mathbb{R}[/math]

1.2 Interpretación

La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

Figura 1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R

2 Representación de la curva

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: [math]R=1, a=0, b=2\pi[/math]. Por tanto, la curva se expresa según:

[math] γ(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t)))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)[/math]

2.1 Código

Figura 2: Representación gráfica de la curva.
%Trayectoria
a=0;b=2*pi(); 
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i}  $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j}  $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on


3 Vectores Velocidad y Aceleración

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función [math]γ(t)[/math], según la expresión:

[math] γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)[/math]

Y su módulo según

[math] |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)[/math]

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:

[math] γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)[/math]

Y su módulo vale

[math] |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1[/math]

Por tanto, para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando [math]t=0,2\pi,...[/math]

3.1 Código

Figura 3: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i}  $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j}  $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on


Como se puede observar en la Figura 3, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, [math]t=0,2\pi,...[/math], la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo

[math] γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0[/math]

Cuando P está en el punto más alto,[math]t=\pi[/math], la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.

[math] γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i[/math]

4 Longitud de la curva

El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:

[math] \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt [/math]

Si [math]f(γ(t))=1, \;[/math] entonces

[math]Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt[/math]

Sustituyendo se tiene que

[math]Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt [/math]


4.1 Aproximación de la integral

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio[1].

4.1.1 Código

Figura 4: Representación gráfica de la integral y de la curva
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200;                            %Número de puntos
a=0; b=2*pi();                    %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N;                        %Paso
t=a:h:b;                          %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))';        %Función
w=ones(N+1,1);                    %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f                     %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5)   %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);                        
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")                     

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on


5 Vectores Tangentes y Normales

Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por [math]\gamma(t)[/math], por tanto, para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,

[math] \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)[/math]

Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo [math]\frac{\pi}{2}[/math] los vectores tangentes. En el plano esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro.

[math] \vec n=\frac{sin(t).\vec i+\-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)[/math]

5.1 Código

Figura 5: Vectores tangentes y normales a la curva
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2)
t1=V1./mod
t2=V2./mod
%normales
n1=t2
n2=-t1

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i}  $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j}  $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on


6 Bibliografía

Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales
Mathworks. Help Center

6.1 Referencias

  1. ↑ Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida
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