Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Parametrización de una curva plana. La cicloide
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2023-24
Autores	Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

[Intro]

1.1 Definición

Se define la clicoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

[math] γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t))[/math], [math]t∈I=(a,b)[/math].

Donde

[math]γ:t\to\mathbb{R}^2[/math]

[math]I[/math] es el intervalo de [math]a[/math] hasta [math]b[/math]

[math]a,b∈\mathbb{R}[/math]

1.2 Interpretación

La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

Figura 1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R

2 Representación de la curva

Figura 2: Representación gráfica de la curva.

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: [math]R=1, a=0, b=2\pi[/math]. Por tanto, la curva se expresa según:

[math] γ(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))[/math], [math]t∈(0,2\pi)[/math]

2.1 Código

%Representación de la cicloide

t=0:0.1:2*pi;  %Valores del intervalo
x=t-sin(t);    %Coord. X de la curva
y=1-cos(t);    %Coord. Y de la curva

plot (x,y);    
axis equal;   
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
grid on
box off
legend("Cicloide")

3 Vectores Velocidad y Aceleración

Figura 3: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función [math]γ(t)[/math], según la expresión:

[math] γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j[/math], [math]t∈(0,2\pi)[/math]

Y su módulo según

[math] |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}[/math], [math]t∈(0,2\pi)[/math]

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:

[math] γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j[/math], [math]t∈(0,2\pi)[/math]

Y su módulo vale

[math] |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1[/math]

Por tanto, para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando [math]t=0,2\pi,...[/math]

3.1 Código

%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:0.3:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);
figure
hold on
plot (x ,y ,'r') ; %curva
quiver (x , y , V1 , V2 , 'b') ; %velocidad
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g') ; %aceleracion
axis equal
hold off;
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");

Como se puede observar en la Figura 3, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, [math]t=0,2\pi,...[/math], la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo

[math] γ''(0)=(0,1)=\vec j[/math]

[math] γ'(0)=(0,0)=\vec 0[/math]

Cuando P está en el punto más alto,[math]t=\pi[/math], la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.

[math] γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j[/math]

[math] γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i[/math]

4 Longitud de la curva

El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes,

4.1 Aproximación de la integral

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio

5 Vectores Tangente y Normal

[Cálculo]

6 Bibliografía

Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales