Flujo de Poiseuille (Grupo 9B)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Flujo de Poiseuille . Grupo 9-B
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2022-23
Autores	Jesus Berlanga Serrano,Iñigo Castells Gómez, Javier Azañedo Guisado, Adriana Fernández Rivas
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

La Ley de Poiseuille (o de Hagen-Poiseuille) es una ecuación hemodinámica fundamental. Debido a que la longitud de las tuberías y la viscosidad son relativamente constantes, el flujo viene determinado básicamente por el gradiente de presión y por el radio. Dicha ecuación está formulada para flujos laminares de fluidos homogéneos con viscosidad constante, si la velocidad del flujo es alta o si el gradiente de presión es elevado, se pueden generar remolinos o turbulencias que modifican el patrón del flujo.

Para la creación de este artículo, se ha hecho uso de programa informático Matlab para la representación gráfica de mallados, gradientes, etc.

2 Mallado de la sección

Este mallado de dimensión 2 muestra la mitad de la sección longitudinal de la tubería, centrada en el eje OZ.

x=0:0.2:2; %Vector X.
y=0:0.2:10; %Vector Y.
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Mallado XY.
hold on
mesh(xx,yy,0.*xx); %Representamos la tubería
axis([0,3,0,10]); %Rango de los ejes
xlabel('ρ') ;
ylabel('z') ;
view(2);
title ('Mallado de la sección');
hold off

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3 Ecuación de Navier-Stokes para fluidos incompresibles

En física, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido viscoso. La velocidad de las partículas del fluido viene dada por el campo vectorial [math]\overrightarrow{u}[/math] y su presión p, donde [math]\mu[/math] es el coeficiente de viscosidad. En este caso, se utilizará la ecucación de Navier-Stoker estacionaria (independiente del tiempo), ya que [math]\left ( \overrightarrow{u},p \right )[/math] satisface dicha ecuación. Se va despreciar el primer término, la parte convectiva. [math]\left ( \overrightarrow{u}\cdot \bigtriangledown \right )\cdot u +\bigtriangledown p = \mu \Delta \overrightarrow{u}[/math].

Se comprueba que [math]f\left ( \rho \right )[/math] satisface la ecuación diferencial:

[math] \frac{1}{\rho } \frac{\partial }{\partial \rho } \left ( \rho \frac{\partial f(\rho )}{\partial \rho } \right ) = \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu }[/math]

Se supone previamente que la velocidad del fluido en [math] \rho =2[/math] es nula y en [math] \rho =0[/math] no se hace infinito. Multiplicando por [math] \rho [/math] e integrando dos veces se obtiene:

[math]f\left ( \rho \right )=\frac{p2-p1}{4\mu}\rho ^{2} +Cln\left (\rho \right )+K[/math]

[math]K=\frac{p1-p2}{\mu}[/math]

[math]f\left (2\right )=0[/math]

[math]f\left ( 0 \right )=0[/math]

Finalmente, se verificará que se cumple la condición de incompresibilidad (ya que el fluido siempre ocupa el mismo volumen). La divergencia del campo en un ounto indica si una partícula de fluido sometida a la fuerza del campo se exmapnde o se contrae, dependinedo dle signo, o si el fluido es incompresible (siendo la divergencia cero)

[math]\bigtriangledown \cdot \overrightarrow{u}=0[/math]

7 Rotacional

x=0:0.2:2;
y=0:0.2:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs(-(xx.^2/4)-1);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
view(2);
axis([0,3,0,10]);
title('Rotacional del campo');
hold off

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8 Campo de temperaturas

8.1 Campo

x=0:0.2:2;
y=0:0.2:10;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
hold on
T=1+((rho-(1/2)).^2).*(exp(-(Y-1).^2));
surf(X,Y,T);
view
axis([0,3,0,10]);
colorbar
title('Campo de temperaturas')
hold off

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8.2 Curvas de nivel del campo

x=0:0.2:2;
y=0:0.2:10;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
hold on
T=1+((rho-(1/2)).^2).*(exp(-(Y-1).^2));
contour(X,Y,T,10);
axis([0,3,0,10]);
view(2);
title('Curvas de nivel de temperatura')
colorbar
hold off

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9 Gradiente de la temperatura

x=0:0.2:2;
y=0:0.2:10;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure(1);
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
T=1+((rho-(1/2)).^2).*(exp(-(Y-1).^2));
[TX,TY]=gradient(T);
hold on
quiver(X,Y,TX,TY)
axis([0,3,0,10]);
title('Gradiente de temperatura');
shading flat
grid on
hold off

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