Tubos Concéntricos

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos de manera que el exterior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje OX₃ y pintamos la sección transversal (x₃ = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la circunferencia [math] \rho = 0 [/math] y el interior sobre la circunferencia [math] \rho = 1 [/math]. La velocidad angular del cilindro exterior es [math] \omega \gt 0 [/math].

2 Cálculo de Velocidades

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por [math] \vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\vec{e}_\theta [/math] y su presión p es constante. Sabemos que [math] (\vec{u},p) [/math] satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria.

2.1 Interpretación física del problema

La ecuación general de Navier-Stokes que satisface nuestro fluido es la siguiente:

[math] \frac{\partial\rho}{\partial t} + (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu\Delta\vec{u} [/math]

Donde [math] \rho [/math] es la densidad, p es la presión y [math] \mu [/math] es la viscosidad del fluido.

Ahora bien, conocemos lo siguiente:

1. Que es estacionario, por lo cual el diferencial de densidad en función del tiempo es igual a cero.
2. Que su presión es constante, por lo que el campo de presiones, [math] \nabla p [/math], es cero.
3. Que debemos despreciar el segundo término, [math] (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} [/math], que es la parte convectiva.

Teniendo todo esto en cuenta, nuestra fórmula de Navier-Stokes queda de la siguiente manera:

[math] \mu\triangle\vec{u} = \vec{0} [/math]

2.2 Cálculo del laplaciano vectorial del campo de velocidades

El cálculo del laplaciano en coordenadas cartesianas es relativamente sencillo y se describe de la siguiente manera:

[math] \triangle\vec{u} = \triangle(u[/math]₁[math]\vec{\imath} + u[/math]₂[math]\vec{\jmath} + u[/math]₃[math]\vec{k}) = \triangle u[/math]₁[math]\vec{\imath} + \triangle u[/math]₂[math]\vec{\jmath} + \triangle u[/math]₃[math]\vec{k}[/math]

Sin embargo, nos encontramos en coordenadas cilíndricas, lo cuál complica los cálculos. Para calcular el laplaciano vectorial podemos utilizar la siguiente igualdad:

[math] \triangle\vec{u} = \nabla(\nabla\cdot\vec{u}) - \nabla\times(\nabla\times\vec{u}) [/math]

Sin embargo, calculísticamente es más sencillo mediante la fórmula del laplaciano vectorial en coordenadas cilíndricas, la cuál es la siguiente:

[math] \Delta\vec{u} = \vec{e}_\rho(\ [/math]